2019年高考數(shù)學真題分類匯編 10.5 曲線與方程 理 .doc

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2019年高考數(shù)學真題分類匯編 10.5 曲線與方程 理 考點　軌跡與軌跡方程 1.(xx廣東,20,14分)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個焦點為(,0),離心率為. (1)求橢圓C的標準方程; (2)若動點P(x0,y0)為橢圓C外一點,且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直,求點P的軌跡方程. 解析　(1)由題意知c=,e==, ∴a=3,b2=a2-c2=4, 故橢圓C的標準方程為+=1. (2)設兩切線為l1,l2, ①當l1⊥x軸或l1∥x軸時,l2∥x軸或l2⊥x軸,可知P(3,2). ②當l1與x軸不垂直且不平行時,x0≠3,設l1的斜率為k,且k≠0,則l2的斜率為-,l1的方程為y-y0=k(x-x0),與+=1聯(lián)立, 整理得(9k2+4)x2+18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0)2-36=0, ∵直線l1與橢圓相切,∴Δ=0,即9(y0-kx0)2k2-(9k2+4)[(y0-kx0)2-4]=0, ∴(-9)k2-2x0y0k+-4=0, ∴k是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的一個根, 同理,-是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的另一個根, ∴k=,整理得+=13,其中x0≠3, ∴點P的軌跡方程為x2+y2=13(x≠3). 檢驗P(3,2)滿足上式. 綜上,點P的軌跡方程為x2+y2=13. 2.(xx重慶,21,12分)如圖,設橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2,點D在橢圓上,DF1⊥F1F2,=2,△DF1F2的面積為. (1)求橢圓的標準方程; (2)設圓心在y軸上的圓與橢圓在x軸的上方有兩個交點,且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點,求圓的半徑. 解析　(1)設F1(-c,0),F2(c,0),其中c2=a2-b2. 由=2得|DF1|==c. 從而=|DF1||F1F2|=c2=,故c=1. 從而|DF1|=,由DF1⊥F1F2 得|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2=, 因此|DF2|=. 所以2a=|DF1|+|DF2|=2, 故a=,b2=a2-c2=1. 因此,所求橢圓的標準方程為+y2=1. (2)如圖,設圓心在y軸上的圓C與橢圓+y2=1相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是兩個交點,y1>0,y2>0,F1P1,F2P2是圓C的切線,且F1P1⊥F2P2. 由圓和橢圓的對稱性,易知x2=-x1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|. 由(1)知F1(-1,0),F2(1,0),所以=(x1+1,y1),=(-x1-1,y1).再由F1P1⊥F2P2得-(x1+1)2+=0.由橢圓方程得1-=(x1+1)2,即3+4x1=0,解得x1=-或x1=0. 當x1=0時,P1,P2重合,此時題設要求的圓不存在. 當x1=-時,過P1,P2分別與F1P1,F2P2垂直的直線的交點即為圓心C. 由F1P1,F2P2是圓C的切線,且F1P1⊥F2P2,知CP1⊥CP2. 又|CP1|=|CP2|,故圓C的半徑|CP1|=|P1P2|=|x1|=.