2019-2020年九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第二講 判別式——二次方程根的檢測器.doc
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2019-2020年九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第二講 判別式二次方程根的檢測器 為了檢查產(chǎn)品質(zhì)量是否合格,工廠里通常使用各種檢驗(yàn)儀器,為了辨別鈔票的真?zhèn)?,銀行里常常使用驗(yàn)鈔機(jī),類似地,在解一元二次方程有關(guān)問題時(shí),最好能知道根的特性:如是否有實(shí)數(shù)根,有幾個(gè)實(shí)數(shù)根,根的符號特點(diǎn)等我們形象地說,判別式是一元二次方程根的“檢測器”,在以下方面有著廣泛的應(yīng)用: 利用判別式,判定方程實(shí)根的個(gè)數(shù)、根的特性; 運(yùn)用判別式,建立等式、不等式,求方程中參數(shù)或參數(shù)的取值范圍; 通過判別式,證明與方程相關(guān)的代數(shù)問題; 借助判別式,運(yùn)用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型,解幾何存在性問題、最值問題【例題求解】【例1】 已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,那么的取值范圍是 思路點(diǎn)撥 利用判別式建立關(guān)于的不等式組,注意、的隱含制約注:運(yùn)用判別式解題,需要注意的是: (1)解含參數(shù)的二次方程,必須注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0的隱含制約; (2)在解涉及多個(gè)二次方程的問題時(shí),需在整體方法、降次消元等方法思想的引導(dǎo)下,綜合運(yùn)用方程、不等式的知識【例2】 已知三個(gè)關(guān)于的方程:,和,若其中至少有兩個(gè)方程有實(shí)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ) A B或 C D思路點(diǎn)撥 “至少有兩個(gè)方程有實(shí)根”有多種情形,從分類討論人手,解關(guān)于的不等式組,綜合判斷選擇【例3】 已知關(guān)于的方程, (1)求證:無論取任何實(shí)數(shù)值,方程總有實(shí)數(shù)根; (2)若等腰三角形ABC的一邊長1,另兩邊長、c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根,求ABC的周長 思路點(diǎn)撥 對于(1)只需證明0;對于(2)由于未指明底與腰,須分或、中有一個(gè)與c相等兩種情況討論,運(yùn)用判別式、根的定義求出、的值注:(1)涉及等腰三角形的考題,需要分類求解,這是命題設(shè)計(jì)的一個(gè)熱點(diǎn),但不一定每個(gè)這類題均有多解,還須結(jié)合三角形三邊關(guān)系定理予以取舍 (2)運(yùn)用根的判別式討論方程根的個(gè)數(shù)為人所熟悉,而組合多個(gè)判別式討論方程多個(gè)根(三個(gè)以上)是近年中考,競賽依托判別式的創(chuàng)新題型,解這類問題常用到換元、分類討論等思想方法【例4】 設(shè)方程,只有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求的值和相應(yīng)的3個(gè)根 思路點(diǎn)撥 去掉絕對值符號,原方程可化為兩個(gè)一元二次方程原方程只有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則其中一個(gè)判別式大于零,另一個(gè)判別式等于零【例5】已知:如圖,矩形ABCD中,AD,DC,在 AB上找一點(diǎn)E,使E點(diǎn)與C、D的連線將此矩形分成的三個(gè)三角形相似,設(shè)AE,問:這樣的點(diǎn)E是否存在?若存在, 這樣的點(diǎn)E有幾個(gè)?請說明理由 思路點(diǎn)撥 要使RtADE、RtBEC、RtECD彼此相似,點(diǎn)E必須滿足AED+BEC90,為此,可設(shè)在AE上存在滿足條件的點(diǎn)E使得RtADERtBEC,建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型,通過判別式討論點(diǎn)E的存在與否及存在的個(gè)數(shù) 注:有些與一元二次方程表面無關(guān)的問題,可通過構(gòu)造方程為判別式的運(yùn)用鋪平道路,常見的構(gòu)造方法有: (1)利用根的定義構(gòu)造; (2)利用根與系數(shù)關(guān)系構(gòu)造; (3)確定主元構(gòu)造學(xué)力訓(xùn)練1已知,若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則= 2若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則的取值范圍是 3已知關(guān)于方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解,化簡= 4若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則的取值范圍是( ) A B C且 D且5已知一直角三角形的三邊為、,B90,那么關(guān)于的方程的根的情況為( ) A有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B沒有實(shí)數(shù)根 C有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D無法確定 6如果關(guān)于的方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,那么方程的根的情況是( ) A沒有實(shí)數(shù)根 B有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 7在等腰三角形ABC中, A、B、C的對邊分別為、,已知,和是 關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,求ABC的周長 8已知關(guān)于的方程 (1)求證:無論m取什么實(shí)數(shù),方程總有實(shí)數(shù)根; (2)如果方程的兩實(shí)根分別為、,滿足=3,求實(shí)數(shù)的值 9、為實(shí)數(shù),關(guān)于的方程有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根(1)求證:;(2)若該方程的三個(gè)不等實(shí)根,恰為一個(gè)三角形三內(nèi)角的度數(shù),求證該三角形必有一個(gè)內(nèi)角是60;(3)若該方程的三個(gè)不等實(shí)根恰為一直角三角形的三條邊,求和的值 10關(guān)于的兩個(gè)方程,中至少有一個(gè)方程有實(shí)根,則m的取值范圍是 11當(dāng)= ,= 時(shí),方程有實(shí)數(shù)根 12若方程有且只有相異二實(shí)根,則的取值范圍是 13如果關(guān)于的方程沒有實(shí)數(shù)根,那么關(guān)于的方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)( ) A2 B1 C0 D不能確定14已知一元二次方程,且、可在1、2、3、4、5中取值,則在這些方程中有實(shí)數(shù)根的方程共有( ) A12個(gè) B10個(gè) C 7個(gè) D5個(gè) 15已知ABC的三邊長為a、b、c,且滿足方程,則方程根的情況是( ) A有兩相等實(shí)根 B有兩相異實(shí)根 C無實(shí)根 D不能確定 16若a、b、c、d0,證明:在方程;中,至少有兩個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 17已知三個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c滿足,abc1,求證:a、b、c中至少有一個(gè)大于18關(guān)于的方程有有理根,求整數(shù)是的值 19考慮方程(1)若=24,求一個(gè)實(shí)數(shù),使得恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)滿足式(2)若25,是否存在實(shí)數(shù),使得恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)滿足式?說明你的結(jié)論20如圖,已知邊長為的正方形ABCD內(nèi)接于邊長為的正方形EFGH,試求的取值范圍參考答案- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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