2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第八講 由常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué).doc
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2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第八講 由常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)漫長(zhǎng)的發(fā)展歷史大致歷經(jīng)四個(gè)時(shí)期:以自然數(shù)、分?jǐn)?shù)體系形成的萌芽期;以代數(shù)符號(hào)體系形成的常量數(shù)學(xué)時(shí)期;以函數(shù)概念產(chǎn)生的變量數(shù)學(xué)時(shí)期;以集合論為標(biāo)志的現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期 函數(shù)是數(shù)學(xué)中最重要的概念之一,它是變量數(shù)學(xué)的標(biāo)志,“函數(shù)”是從量的側(cè)面去描述客觀世界的運(yùn)動(dòng)變化、相互聯(lián)系,從量的側(cè)面反映了客觀世界的動(dòng)態(tài)和它們的相互制約性 函數(shù)的基本知識(shí)有:與平面直角坐標(biāo)系相關(guān)的概念、函數(shù)概念、函數(shù)的表示法、函數(shù)圖象概念及畫法 在坐標(biāo)平面內(nèi),由點(diǎn)的坐標(biāo)找點(diǎn)和由點(diǎn)求坐標(biāo)是“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)換的最基本形式點(diǎn)的坐標(biāo)是解決函數(shù)問題的基礎(chǔ),函數(shù)解析式是解決函數(shù)問題的關(guān)鍵,所以,求點(diǎn)的坐標(biāo)、探求函數(shù)解析式是研究函數(shù)的兩大重要課題【例題求解】【例1】 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),已知點(diǎn)A(2,2),B(2,-3),點(diǎn)P在y軸上,且APB為直角三角形,則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為 思路點(diǎn)撥 先在直角坐標(biāo)平面內(nèi)描出A、B兩點(diǎn),連結(jié)AB,因題設(shè)中未指明APB的哪個(gè)角是直角,故應(yīng)分別就A、B、C為直角來(lái)討論,設(shè)點(diǎn)P(0,x),運(yùn)用幾何知識(shí)建立x的方程注: 點(diǎn)的坐標(biāo)是數(shù)與形結(jié)合的橋梁,求點(diǎn)的坐標(biāo)的基本方法有: (1)利用幾何計(jì)算求; (2)通過解析式求;(3)解由解析式聯(lián)立的方程組求【例2】 如圖,向放在水槽底部的燒杯注水(流量一定),注滿燒杯后,繼續(xù)注水,直至注滿水槽水槽中水面上升高度與注水時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系,大致是下列圖象中的( ) 思路點(diǎn)撥 向燒杯注水需要時(shí)間,并且水槽中水面上升高注: 實(shí)際生活中量與量之間的關(guān)系可以形象地通過圖象直觀地表現(xiàn)出來(lái),如心電圖、,股市行情走勢(shì)圖等,圖象中包含著豐富的圖象信息,要善于從圖象的形狀、位置、發(fā)展變化趨勢(shì)等有關(guān)信息中獲得啟示【例3】 南方A市欲將一批容易變質(zhì)的水果運(yùn)往B市銷售,共有飛機(jī)、火車、汽車三種運(yùn)輸方式,現(xiàn)只可選擇其中的一種,這三種運(yùn)輸方式的主要參考數(shù)據(jù)如下表所示:運(yùn)輸工具途中速度(千米時(shí)) 途中費(fèi)用(元千米)裝卸費(fèi)用(元)裝卸時(shí)間(小時(shí))飛機(jī)2001610002火車1004xx4汽車50810002 若這批水果在運(yùn)輸(包括裝卸)過程中的損耗為200元/小時(shí),記A、B兩市間的距離為x千米 (1)如果用Wl、W2、W3分別表示使用飛機(jī)、火車、汽車運(yùn)輸時(shí)的總支出費(fèi)用(包括損耗),求出Wl、W2、W3與小x間的函數(shù)關(guān)系式 (2)應(yīng)采用哪種運(yùn)輸方式,才使運(yùn)輸時(shí)的總支出費(fèi)用最小? 思路點(diǎn)撥 每種運(yùn)輸工具總支出費(fèi)用途中所需費(fèi)用(含裝卸費(fèi)用)+損耗費(fèi)用;總支出費(fèi)用隨距離變化而變化,由WlW20,W2一W3=0,先確定自變量的特定值,通過討論選擇最佳運(yùn)輸方式【例4】 已知在菱形ABCD中,BAD60,把它放在直角坐標(biāo)系中,使AD邊在y軸上,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,8) (1)畫出符合題目條件的菱形與直角坐標(biāo)系; (2)寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);(3)設(shè)菱形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)為P問:在y軸上是否存在一點(diǎn)F,使得點(diǎn)P與點(diǎn)F關(guān)于菱形ABCD的某條邊所在的直線對(duì)稱,如果存在,寫出點(diǎn)F的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由 思路點(diǎn)撥 (1)關(guān)鍵是探求點(diǎn)A是在y軸正半軸上、負(fù)半軸上還是坐標(biāo)原點(diǎn),只須判斷COy與CAD的大??;(2)利用解直角三角形求A,B兩點(diǎn)坐標(biāo);(3)設(shè)軸上存在點(diǎn)F(0,y),則P與F只可能關(guān)于直線DC對(duì)稱注:建立函數(shù)關(guān)系式,實(shí)際上都是根據(jù)具體的實(shí)際問題和一些特殊的關(guān)系、數(shù)據(jù)而抽象、歸納建立函數(shù)的模型 【例5】 如圖,已知在RtABC中,B90,BC4cm,AB8cm,D、E、F分別為AB、AC、BC邊上的中點(diǎn),若P為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),PQBC,且交AC于點(diǎn)Q,以PQ為一邊,在點(diǎn)A的右側(cè)作正方形PQMN,記PQMN與矩形EDBF的公共部分的面積為y (1)當(dāng)AP3cm時(shí),求的值; (2)設(shè)AP=cm時(shí),求y與x的函數(shù)關(guān)系式; (3)當(dāng)y=2cm2,試確定點(diǎn)P的位置(xx年天津市中考題)思路點(diǎn)撥 對(duì)于(2),由于點(diǎn)P的位置不同,y與x之間存在不同的函數(shù)關(guān)系,故需分類討論;對(duì)于(3),由相應(yīng)函數(shù)解析式求x值注:確定幾何元素間的函數(shù)關(guān)系式,首先是借助幾何知識(shí)與方法把相應(yīng)線段用自變量表示,再代入相應(yīng)的等量關(guān)系式,需要注意的是: (1)當(dāng)圖形運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致圖形之間位置發(fā)生變化,需要分類討論; (2)確定自變量的幾何意義,常用到運(yùn)動(dòng)變化、考慮極端情形、特殊情形等思想方法學(xué)力訓(xùn)練1 如圖,在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(4,0)、B(4,4),OAB90,有直角三角形與RtABO全等且以AB為公共邊,請(qǐng)寫出這些直角三角形未知頂點(diǎn)的坐標(biāo) 2在直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A(4,0),B(0,2),如果點(diǎn)C在x軸上(C與A不重合),當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為 時(shí),使得由點(diǎn)B、O、C組成的三角形與AOB相似(至少找出兩個(gè)滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)) 3根據(jù)指令S,A(S0,0A180),機(jī)器人在平面上能完成下列動(dòng)作:先原地逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度A,再朝其面對(duì)的方向沿直線行走距離S現(xiàn)機(jī)器人在直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn),且面對(duì)x軸的正方向,(1)若給機(jī)器人下了一個(gè)指令4,60,則機(jī)器人應(yīng)移動(dòng)到點(diǎn) ;(2)請(qǐng)你給機(jī)器人下一個(gè)指令 ,使其移動(dòng)到點(diǎn)(一5,5) 4如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線AB與x軸的夾角為60,且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(一2,0),點(diǎn)B在x軸上方,設(shè)AB,那么點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為( ) A B C D 5一天,小軍和爸爸去登山,已知山腳到山頂?shù)穆烦虨?00米,小軍先走了一段路程,爸爸才開始出發(fā)圖中兩條線段分別表示小軍和爸爸離開山腳登山的路程(米)與登山所用的時(shí)間(分鐘的關(guān)系)(從爸爸開始登山時(shí)計(jì)時(shí)),根據(jù)圖象,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( ) A爸爸登山時(shí),小軍已走了50米 B爸爸走了5分鐘,小軍仍在爸爸的前面 C小軍比爸爸晚到山頂 D爸爸前10分鐘登山的速度比小軍慢,10分鐘之后登山的速度比小軍快6若函數(shù)的自變量的取值范圍為一切實(shí)數(shù),則的取值范圍是( ) Aml Dm17如圖,在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(4,0)、點(diǎn)B(0,3),若有一個(gè)直角三角形與RtABO全等,且它們有一條公共邊,請(qǐng)寫出這個(gè)直角三角形未知頂點(diǎn)的坐標(biāo)(不必寫出計(jì)算過程)8如圖,用同樣規(guī)格黑白兩色的正方形瓷磚鋪設(shè)矩形地面,請(qǐng)觀察下列圖形并解答有關(guān)問題:(1)設(shè)鋪設(shè)地面所用瓷磚的總塊數(shù)為,請(qǐng)寫出與(表示第個(gè)圖形)的函數(shù)關(guān)系式;(2)按上述鋪設(shè)方案,鋪一塊這樣的矩形地面共用了506塊瓷磚,求此時(shí)的值;(3)若黑瓷磚每塊4元,白瓷磚每塊3元,在問題(2)中,共需花多少元錢購(gòu)買瓷磚? (4)是否存在黑瓷磚與白瓷磚塊數(shù)相等情形?請(qǐng)通過計(jì)算說(shuō)明為什么?9如圖,在平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)正方形ABCD,它的4個(gè)頂點(diǎn)為A(10,0),B (0,10),C(一10,0),D(0,一10),則該正方形內(nèi)及邊界上共有 個(gè)整點(diǎn)(即縱橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn))10如圖,已知邊長(zhǎng)為l的正方形OABC在直角坐標(biāo)系中,A、B兩點(diǎn)在第一象限內(nèi),OA與軸的夾角為30,那么點(diǎn)B的坐標(biāo)是 11如圖,一個(gè)粒子在第一象限運(yùn)動(dòng),在第一分鐘內(nèi)它從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到(1,0),而后它接著按圖所示在與軸、軸平行的方向上來(lái)回運(yùn)動(dòng),且每分鐘移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度,那么在1989分鐘后這個(gè)粒子所處位置為 12在直角坐標(biāo)系中,已知A(1,1),在軸上確定點(diǎn)P,使AOP為等腰三角形,則符合條件的點(diǎn)P共有( ) A1個(gè) B2個(gè) C 3個(gè) D4個(gè) 13已知點(diǎn)P的坐標(biāo)是(l,),這里、是有理數(shù),PA、PB分別是點(diǎn)P到軸和軸的垂線段,且矩形OAPB的面積為,則P點(diǎn)可能出現(xiàn)的象限有( ) A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè) 14甲、乙二人同時(shí)從A地出發(fā),沿同一條道路去B地,途中都使用兩種不同的速度Vl與V2(ViV2),甲用一半的路程使用速度Vl、另一半的路程使用速度V2;關(guān)于甲乙二人從A地到達(dá)B地的路程與時(shí)間的函數(shù)圖象及關(guān)系,有圖中4個(gè)不同的圖示分析其中橫軸表示時(shí)間,縱軸表示路程,其中正確的圖示分析為( ) A圖(1) B圖(1)或圖(2) C圖(3) D圖(4) 15依法納稅是每個(gè)公民應(yīng)盡的義務(wù)中華人民共和國(guó)個(gè)人所得稅法規(guī)定,公民每月工資、薪金收入不超過800元,不需交稅;超過800元的部分為全月應(yīng)納稅所得額,都應(yīng)交稅,且根據(jù)超過部分的多少按不同的稅率交稅,詳細(xì)的稅率如下表:級(jí)別全月應(yīng)納稅所得額稅率()1不超過500元部分52超過500元至xx元部分103超過xx元至5000元部分15(1)某公民xx年10月的總收人為1350元,問他應(yīng)交稅款多少元?(2)設(shè)表示每月收入(單位:元),表示應(yīng)交稅款(單位:元),當(dāng)1300x2800時(shí),請(qǐng)寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;(3)某企業(yè)高級(jí)職員xx年11月應(yīng)交稅款55元,問該月他的總收入是多少元? 16如圖,在ABC中,C90,AC3,BC4,點(diǎn)D是AB上任意一點(diǎn)(A、B兩點(diǎn)除外),過D作AB垂線與ABC的直角邊相交于E,設(shè)AD=,ADE的面積為,當(dāng)點(diǎn)D在AB上移動(dòng)時(shí),求關(guān)于之間的函數(shù)關(guān)系式17現(xiàn)計(jì)劃把甲種貨物1240噸和乙種貨物880噸用一列貨車運(yùn)往某地,已知這列貨車掛有A、B兩種不同規(guī)格的貨車廂共40節(jié),使用A型車廂每節(jié)費(fèi)用6000元,使用月型車廂每節(jié)費(fèi)用為8000元(1)設(shè)運(yùn)送這批貨物的總費(fèi)用為萬(wàn)元,這列貨車掛A型車廂節(jié),試寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式; (2)如果每節(jié)A型車廂最多可裝甲種貨物35噸和乙種貨物15噸,每節(jié)月型B車廂最多可裝甲種貨物25噸和乙種貨物35噸,裝貨時(shí)按此要求安排A、B兩種車廂的節(jié)數(shù),那么共有哪幾種安排車廂的方案? (3)在上述方案中,哪個(gè)方案運(yùn)費(fèi)最高?最少運(yùn)費(fèi)為多少元? 18如圖,梯形OABC中,O為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),A、B、C的坐標(biāo)分別為(14,0),(14,3),(4,3)點(diǎn)P、Q同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā),分別作勻速運(yùn)動(dòng),其中點(diǎn)P沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),速度為每秒1個(gè)單位;點(diǎn)Q沿OC、CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),當(dāng)這兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)自己的終點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng) (1)設(shè)從出發(fā)起運(yùn)動(dòng)了秒,如果點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位,試分別寫出這時(shí)點(diǎn)Q在OC上或在CB上時(shí)的坐標(biāo)(用含的代數(shù)式表示);(2)設(shè)從出發(fā)起運(yùn)動(dòng)了秒,如果點(diǎn)P與點(diǎn)Q所經(jīng)過的路程之和恰好為梯形OABC的周長(zhǎng)的一半,試用含的代數(shù)式表示這時(shí)點(diǎn)Q所經(jīng)過的路程和它的速度;試問:這時(shí)直線PQ是否可能同時(shí)把梯形OABC的面積也分成相等的兩部分?如有可能,求出相應(yīng)的的值和P、Q的坐標(biāo);如不可能,請(qǐng)說(shuō)明理由 參考答案- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問題本站不予受理。
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