2019-2020年九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第五講 一元二次方程的整數(shù)整數(shù)解.doc
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2019-2020年九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第五講 一元二次方程的整數(shù)整數(shù)解在數(shù)學(xué)課外活動中,在各類數(shù)學(xué)競賽中,一元二次方程的整數(shù)解問題一直是個熱點,它將古老的整數(shù)理論與傳統(tǒng)的一元二次方程知識相結(jié)合,涉及面廣,解法靈活,綜合性強,備受關(guān)注,解含參數(shù)的一元二次方程的整數(shù)解問題的基本策略有: 從求根入手,求出根的有理表達式,利用整除求解; 從判別式手,運用判別式求出參數(shù)或解的取值范圍,或引入?yún)?shù)(設(shè)=),通過窮舉,逼近求解; 從韋達定理入手,從根與系數(shù)的關(guān)系式中消去參數(shù),得到關(guān)于兩根的不定方程,借助因數(shù)分解、因式分解求解; 從變更主元入人,當(dāng)方程中參數(shù)次數(shù)較低時,可考慮以參數(shù)為主元求解注:一元二次方程的整數(shù)根問題,既涉及方程的解法、判別式、韋達定理等與方程相關(guān)的知識,又與整除、奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等整數(shù)知識密切相關(guān)【例題求解】【例1】若關(guān)于的方程的解都是整數(shù),則符合條件的整數(shù)是的值有 個思路點撥 用因式分解法可得到根的簡單表達式,因方程的類型未指明,故須按一次方程、二次方程兩種情形討論,這樣確定是的值才能全面而準(zhǔn)確注:系數(shù)含參數(shù)的方程問題,在沒有指明是二次方程時,要注意有可能是一次方程,根據(jù)問題的題設(shè)條件,看是否要分類討論【例2】 已知、為質(zhì)數(shù)且是方程的根,那么的值是( ) A B C D 思路點撥 由韋達定理、的關(guān)系式,結(jié)合整數(shù)性質(zhì)求出、的值 【例3】 試確定一切有理數(shù),使得關(guān)于的方程有根且只有整數(shù)根 思路點撥 由于方程的類型未確定,所以應(yīng)分類討論當(dāng)時,由根與系數(shù)關(guān)系得到關(guān)于r的兩個等式,消去r,利用因式(數(shù))分解先求出方程兩整數(shù)根【例4】 當(dāng)為整數(shù)時,關(guān)于的方程是否有有理根?如果有,求出的值;如果沒有,請說明理由 思路點撥 整系數(shù)方程有有理根的條件是為完全平方數(shù)設(shè)=(為整數(shù))解不定方程,討論的存在性注:一元二次方程 (a0)而言,方程的根為整數(shù)必為有理數(shù),而=為完全平方數(shù)是方程的根為有理數(shù)的充要條件【例5】 若關(guān)于的方程至少有一個整數(shù)根,求非負整數(shù)的值思路點撥 因根的表示式復(fù)雜,從韋達定理得出的的兩個關(guān)系式中消去也較困難,又因的次數(shù)低于的次數(shù),故可將原方程變形為關(guān)于的一次方程 學(xué)歷訓(xùn)練1已知關(guān)于的方程的根都是整數(shù),那么符合條件的整數(shù)有 2已知方程有兩個質(zhì)數(shù)解,則m 3給出四個命題:整系數(shù)方程(a0)中,若為一個完全平方數(shù),則方程必有有理根;整系數(shù)方程(a0)中,若方程有有理數(shù)根,則為完全平方數(shù);無理數(shù)系數(shù)方程(a0)的根只能是無理數(shù);若、均為奇數(shù),則方程沒有有理數(shù)根,其中真命題是 4已知關(guān)于的一元二次方程 (為整數(shù))的兩個實數(shù)根是、,則= 5設(shè)rn為整數(shù),且4m0, 0(1)求證:0,0,0, 0;(2)求證:;(3)求、所有可能的值13如果直角三角形的兩條直角邊都是整數(shù),且是方程的根(為整數(shù)),這樣的直角三角形是否存在?若存在,求出滿足條件的所有三角形的三邊長;若不存在,請說明理由 參考答案- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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