2019年春九年級數(shù)學(xué)下冊《第27章 相似》單元測試卷1（含解析）（新版）新人教版.doc

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《第27章 相似》單元測試卷 一．選擇題（共10小題） 1．已知5x＝6y（y≠0），那么下列比例式中正確的是（　?。? A． B． C． D． 2．在比例尺是1：40000的地圖上，若某條道路長約為5cm，則它的實(shí)際長度約為（　?。? A．0.2km B．2km C．20km D．200km 3．如圖，已知點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且PA＞PB，若S1表示以PA為邊的正方形的面積，S2表示長為AB、寬為PB的矩形的面積，那么S1（　?。㏒2． A．＞ B．＝ C．＜ D．無法確定 4．如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC分別交l1，l2，l3于點(diǎn)A，B，C；直線DF分別交l1，l2，l3于點(diǎn)D、E、F，AC與DF相交于點(diǎn)H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，則＝（　　） A． B．2 C． D． 5．下列說法正確的是（　?。? A．相似三角形一定全等 B．不相似的三角形不一定全等 C．全等三角形不一定是相似三角形 D．全等三角形一定是相似三角形 6．如果兩個相似多邊形面積的比是4：9，那么這兩個相似多邊形對應(yīng)邊的比是（　　） A．4：9 B．2：3 C．16：81 D．9：4 7．若△ABC∽△A′B′C′，∠A＝40，∠C＝110，則∠B′等于（　?。? A．30 B．50 C．40 D．70 8．如圖，每個小正方形邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與圖中△ABC相似的是（　?。? A． B． C． D． 9．如圖，△ABC中，D、E是BC邊上的點(diǎn)，BD：DE：EC＝3：2：1，M在AC邊上，CM：MA＝1：2，BM交AD，AE于H，G，則BH：HG：GM等于（　?。? A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：10 10．如圖，放映幻燈片時，通過光源把幻燈片上的圖形放大到屏幕上，若光源到幻燈片的距離為20cm，到屏幕的距離為60cm，且幻燈片中的圖形的高度為6cm，則屏幕上圖形的高度為（　?。? A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm 二．填空題（共5小題） 11．已知＝，則＝　 ?。? 12．在比例尺為1：50000的地圖上，量得A、B兩地的圖上距離AB＝3cm，則A、B兩地的實(shí)際距離為　 　km． 13．已知P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AB＝6cm，AP＞BP，那么AP＝　 　cm． 14．如圖，已知：l1∥l2∥l3，AB＝6，DE＝5，EF＝7.5，則AC＝　 ?。? 15．若一個三角形的各邊長擴(kuò)大為原來的5倍，則此三角形的周長擴(kuò)大為原來的　 　倍． 三．解答題（共6小題） 16．已知，求下列算式的值． （1）； （2）． 17．某考察隊(duì)從營地P處出發(fā)，沿北偏東60前進(jìn)了5千米到達(dá)A地，再沿東南方向前進(jìn)到達(dá)C地，C地恰好在P地的正東方向．回答下列問題： （1）用1cm代表1千米，畫出考察隊(duì)行進(jìn)路線圖； （2）量出∠PAC和∠ACP的度數(shù)（精確到1）； （3）測算出考察隊(duì)從A到C走了多少千米？此時他們離開營地多遠(yuǎn)？（精確到0.1千米）． 18．三角形中，頂角等于36的等腰三角形稱為黃金三角形，如圖1，在△ABC中，已知：AB＝AC，且∠A＝36． （1）在圖1中，用尺規(guī)作AB的垂直平分線交AC于D，并連接BD（保留作圖痕跡，不寫作法）； （2）△BCD是不是黃金三角形？如果是，請給出證明；如果不是，請說明理由； （3）設(shè)，試求k的值； （4）如圖2，在△A1B1C1中，已知A1B1＝A1C1，∠A1＝108，且A1B1＝AB，請直接寫出的值． 19．如圖，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB＝1：3，AE＝3． （1）求EC的值； （2）求證：AD?AG＝AF?AB． 20．我們已經(jīng)知道：如果兩個幾何圖形形狀相同而大小不一定相同，我們就把它們叫做相似圖形．比如兩個正方形，它們的邊長，對角線等所有元素都對應(yīng)成比例，就可以稱它們?yōu)橄嗨茍D形． 現(xiàn)給出下列4對幾何圖形：①兩個圓；②兩個菱形；③兩個長方形；④兩個正六邊形．請指出其中哪幾對是相似圖形，哪幾對不是相似圖形，并簡單地說明理由． 21．學(xué)生會舉辦一個校園攝影藝術(shù)展覽會，小華和小剛準(zhǔn)備將矩形的作品四周鑲上一圈等寬的紙邊，如圖所示．兩人在設(shè)計(jì)時發(fā)生了爭執(zhí)：小華要使內(nèi)外兩個矩形相似，感到這樣視覺效果較好；小剛試了幾次不能辦到，表示這是不可能的．小紅和小莉了解情況后，小紅說這一要求只有當(dāng)矩形是黃金矩形時才能做到，小莉則堅(jiān)持只有當(dāng)矩形是正方形時才能做到．請你動手試一試，說一說你的看法．  2019年人教版九下數(shù)學(xué)《第27章 相似》單元測試卷 參考答案與試題解析 一．選擇題（共10小題） 1．已知5x＝6y（y≠0），那么下列比例式中正確的是（　?。? A． B． C． D． 【分析】比例的基本性質(zhì)：組成比例的四個數(shù)，叫做比例的項(xiàng)．兩端的兩項(xiàng)叫做比例的外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做比例的內(nèi)項(xiàng)，根據(jù)兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積可得答案． 【解答】解：A、＝，則5y＝6x，故此選項(xiàng)錯誤； B、＝，則5x＝6y，故此選項(xiàng)正確； C、＝，則5y＝6x，故此選項(xiàng)錯誤； D、＝，則xy＝30，故此選項(xiàng)錯誤； 故選：B． 【點(diǎn)評】此題主要考查了比例的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積． 2．在比例尺是1：40000的地圖上，若某條道路長約為5cm，則它的實(shí)際長度約為（　?。? A．0.2km B．2km C．20km D．200km 【分析】根據(jù)比例尺＝圖上距離：實(shí)際距離，依題意列比例式直接求解即可． 【解答】解：設(shè)這條道路的實(shí)際長度為x，則：＝， 解得x＝200000cm＝2km． ∴這條道路的實(shí)際長度為2km． 故選：B． 【點(diǎn)評】本題考查比例線段問題，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)比例尺的定義構(gòu)建方程，注意單位的轉(zhuǎn)換． 3．如圖，已知點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且PA＞PB，若S1表示以PA為邊的正方形的面積，S2表示長為AB、寬為PB的矩形的面積，那么S1（　?。㏒2． A．＞ B．＝ C．＜ D．無法確定 【分析】根據(jù)黃金分割的概念知：，變形后求解． 【解答】解：根據(jù)黃金分割的概念得：， 則＝1，即S1＝S2． 故選：B． 【點(diǎn)評】此題主要考查了線段黃金分割點(diǎn)的概念，根據(jù)概念表示出比例式，再結(jié)合正方形的面積進(jìn)行分析計(jì)算． 4．如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC分別交l1，l2，l3于點(diǎn)A，B，C；直線DF分別交l1，l2，l3于點(diǎn)D、E、F，AC與DF相交于點(diǎn)H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，則＝（　　） A． B．2 C． D． 【分析】求出AB＝3，由平行線分線段成比例定理得出比例式，即可得出結(jié)果． 【解答】解：∵AH＝2，HB＝1， ∴AB＝AH+BH＝3， ∵l1∥l2∥l3， ∴＝＝． 故選：A． 【點(diǎn)評】本題考查了平行線分線段成比例定理；熟記平行線分線段成比例定理是解決問題的關(guān)鍵． 5．下列說法正確的是（　?。? A．相似三角形一定全等 B．不相似的三角形不一定全等 C．全等三角形不一定是相似三角形 D．全等三角形一定是相似三角形 【分析】根據(jù)全等三角形是相似三角形的特殊情況，對各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解． 【解答】解：A、相似三角形大小不一定相等，所以不一定全等，故本選項(xiàng)錯誤； B、不相似的三角形一定不全等，不是不一定全等，故本選項(xiàng)錯誤； C、全等三角形一定是相似三角形，故本選項(xiàng)錯誤； D、全等三角形是相似比為1的相似三角形，所以一定是相似三角形，正確． 故選：D． 【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形與相似三角形的關(guān)系，熟記全等三角形是相似三角形的特殊情況是解題的關(guān)鍵． 6．如果兩個相似多邊形面積的比是4：9，那么這兩個相似多邊形對應(yīng)邊的比是（　?。? A．4：9 B．2：3 C．16：81 D．9：4 【分析】由兩個相似多邊形面積的比是4：9，根據(jù)相似多邊形的面積比等于相似比的平方，即可求得答案． 【解答】解：∵兩個相似多邊形面積的比是4：9， ∴這兩個相似多邊形對應(yīng)邊的比是2：3． 故選：B． 【點(diǎn)評】此題考查了相似多邊形的性質(zhì)．注意熟記定理是解此題的關(guān)鍵． 7．若△ABC∽△A′B′C′，∠A＝40，∠C＝110，則∠B′等于（　?。? A．30 B．50 C．40 D．70 【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠B，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等解答． 【解答】解：∵∠A＝40，∠C＝110， ∴∠B＝180﹣∠A﹣∠C＝180﹣40﹣110＝30， ∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠B′＝∠B＝30． 故選：A． 【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形對應(yīng)角相等的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 8．如圖，每個小正方形邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與圖中△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根據(jù)網(wǎng)格中的數(shù)據(jù)求出AB，AC，BC的長，求出三邊之比，利用三邊對應(yīng)成比例的兩三角形相似判斷即可． 【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝，BC＝2，AC＝＝， ∴AC：BC：AB＝1：：， A、三邊之比為1：：2，圖中的三角形（陰影部分）與△ABC不相似； B、三邊之比：1：：，圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似； C、三邊之比為：：3，圖中的三角形（陰影部分）與△ABC不相似； D、三邊之比為2：：，圖中的三角形（陰影部分）與△ABC不相似． 故選：B． 【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵． 9．如圖，△ABC中，D、E是BC邊上的點(diǎn)，BD：DE：EC＝3：2：1，M在AC邊上，CM：MA＝1：2，BM交AD，AE于H，G，則BH：HG：GM等于（　　） A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：10 【分析】連接EM，根據(jù)已知可得△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA，根據(jù)相似比從而不難得到答案． 【解答】解：連接EM， CE：CD＝CM：CA＝1：3 ∴EM平行于AD ∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA ∴HD：ME＝BD：BE＝3：5，ME：AD＝CM：AC＝1：3 ∴AH＝（3﹣）ME， ∴AH：ME＝12：5 ∴HG：GM＝AH：EM＝12：5 設(shè)GM＝5k，GH＝12k， ∵BH：HM＝3：2＝BH：17k ∴BH＝K， ∴BH：HG：GM＝k：12k：5k＝51：24：10 故選：D． 【點(diǎn)評】此題主要考查相似三角形的性質(zhì)的理解及運(yùn)用． 10．如圖，放映幻燈片時，通過光源把幻燈片上的圖形放大到屏幕上，若光源到幻燈片的距離為20cm，到屏幕的距離為60cm，且幻燈片中的圖形的高度為6cm，則屏幕上圖形的高度為（　?。? A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm 【分析】根據(jù)題意可畫出圖形，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)對應(yīng)邊成比例解答． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△AED∽△ABC ∴， 設(shè)屏幕上的小樹高是x，則， 解得x＝18cm． 故選：C． 【點(diǎn)評】本題考查相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用．解題時關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題． 二．填空題（共5小題） 11．已知＝，則＝　?。? 【分析】用b表示出a，然后代入比例式進(jìn)行計(jì)算即可得解． 【解答】解：∵＝， ∴a＝b， ∴＝＝． 故答案為：． 【點(diǎn)評】本題考查了比例的性質(zhì)，用b表示出a是解題的關(guān)鍵． 12．在比例尺為1：50000的地圖上，量得A、B兩地的圖上距離AB＝3cm，則A、B兩地的實(shí)際距離為　1.5　km． 【分析】由在比例尺為1：50000的地圖上，量得A、B兩地的圖上距離AB＝3cm，根據(jù)比例尺的定義，可求得兩地的實(shí)際距離． 【解答】解：∵比例尺為1：5000，量得兩地的距離是20厘米， ∴， ∴A、B兩地的實(shí)際距離＝150000cm＝1.5km． 故答案為：1.5． 【點(diǎn)評】此題考查了比例尺的性質(zhì)．注意掌握比例尺的定義，注意單位要統(tǒng)一． 13．已知P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AB＝6cm，AP＞BP，那么AP＝　3（﹣1）　cm． 【分析】根據(jù)黃金分割的概念得到AP＝AB，把AB＝6cm代入計(jì)算即可． 【解答】解：∵P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AP＞BP， ∴AP＝AB， 而AB＝6cm， ∴AP＝6＝3（﹣1）cm． 故答案為3（﹣1）． 【點(diǎn)評】本題考查了黃金分割的概念：如果一個點(diǎn)把一條線段分成兩條線段，并且較長線段是較短線段和整個線段的比例中項(xiàng)，那么就說這個點(diǎn)把這條線段黃金分割，這個點(diǎn)叫這條線段的黃金分割點(diǎn)；較長線段是整個線段的倍． 14．如圖，已知：l1∥l2∥l3，AB＝6，DE＝5，EF＝7.5，則AC＝　15?。? 【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，代入求出BC的值，即可得出答案． 【解答】解：∵：l1∥l2∥l3， ∴＝， ∵AB＝6，DE＝5，EF＝7.5， ∴BC＝9， ∴AC＝AB+BC＝15， 故答案為：15． 【點(diǎn)評】本題考查了平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，能根據(jù)定理得出正確餓比例式是解此題的關(guān)鍵． 15．若一個三角形的各邊長擴(kuò)大為原來的5倍，則此三角形的周長擴(kuò)大為原來的　5　倍． 【分析】由題意一個三角形的各邊長擴(kuò)大為原來的5倍，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及對應(yīng)邊長成比例來求解． 【解答】解：∵一個三角形的各邊長擴(kuò)大為原來的5倍， ∴擴(kuò)大后的三角形與原三角形相似， ∵相似三角形的周長的比等于相似比， ∴這個三角形的周長擴(kuò)大為原來的5倍， 故答案為：5． 【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的周長的比等于相似比． 三．解答題（共6小題） 16．已知，求下列算式的值． （1）； （2）． 【分析】（1）由比例的性質(zhì)容易得出結(jié)果； （2）設(shè)a＝3k，則b＝2k，代入計(jì)算化簡即可． 【解答】解：（1）∵， ∴＝； （2）∵， ∴設(shè)a＝3k，則b＝2k， ∴＝＝＝． 【點(diǎn)評】本題考查了比例的性質(zhì)，代數(shù)式的求值；熟練掌握比例的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵． 17．某考察隊(duì)從營地P處出發(fā)，沿北偏東60前進(jìn)了5千米到達(dá)A地，再沿東南方向前進(jìn)到達(dá)C地，C地恰好在P地的正東方向．回答下列問題： （1）用1cm代表1千米，畫出考察隊(duì)行進(jìn)路線圖； （2）量出∠PAC和∠ACP的度數(shù)（精確到1）； （3）測算出考察隊(duì)從A到C走了多少千米？此時他們離開營地多遠(yuǎn)？（精確到0.1千米）． 【分析】（1）先畫出方向標(biāo)，再確定方位角、比例尺作圖； （2）動手操作利用量角器測量即可； （3）先利用刻度尺測量出圖上距離，再根據(jù)比例尺換算成實(shí)際距離． 【解答】解：（1）路線圖（6分）（P、A、C點(diǎn)各2分） 注意：起點(diǎn)是必須在所給的圖形中畫，否則即使畫圖正確扣；（2分） （2）量得∠PAC≈105，∠ACP≈45；（9分）（只有1個正確得2分） （3）量路線圖得AC≈3.5厘米，PC≈6.8厘米． ∴AC≈3.5千米；PC≈6.8千米（13分） 【點(diǎn)評】主要考查了方位角的作圖能力．要會根據(jù)比例尺準(zhǔn)確的作圖，并根據(jù)圖例測算出實(shí)際距離． 18．三角形中，頂角等于36的等腰三角形稱為黃金三角形，如圖1，在△ABC中，已知：AB＝AC，且∠A＝36． （1）在圖1中，用尺規(guī)作AB的垂直平分線交AC于D，并連接BD（保留作圖痕跡，不寫作法）； （2）△BCD是不是黃金三角形？如果是，請給出證明；如果不是，請說明理由； （3）設(shè)，試求k的值； （4）如圖2，在△A1B1C1中，已知A1B1＝A1C1，∠A1＝108，且A1B1＝AB，請直接寫出的值． 【分析】（1）可根據(jù)基本作圖中線段垂直平分線的作法進(jìn)行作圖； （2）求得各個角的度數(shù)，根據(jù)題意進(jìn)行判斷； （3）通過證明△BDC∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可； （4）由黃金三角形的性質(zhì)可知的值． 【解答】解：（1）如圖所示； （2）△BCD是黃金三角形． 證明如下：∵點(diǎn)D在AB的垂直平分線上， ∴AD＝BD， ∴∠ABD＝∠A． ∵∠A＝36，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝72， ∴∠ABD＝∠DBC＝36． 又∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72， ∴∠BDC＝∠C， ∴BD＝BC， ∴△BCD是黃金三角形． （3）設(shè)BC＝x，AC＝y(tǒng)， 由（2）知，AD＝BD＝BC＝x． ∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C， ∴△BDC∽△ABC， ∴，即， 整理，得x2+xy﹣y2＝0， 解得． 因?yàn)閤、y均為正數(shù)，所以． （4）． 理由：延長BC到E，使CE＝AC，連接AE． ∵∠A＝36，AB＝AC， ∴∠ACB＝∠B＝72， ∴∠ACE＝180﹣72＝108， ∴∠ACE＝∠B1A1C1． ∵A1B1＝AB， ∴AC＝CE＝A1B1＝A1C1， ∴△ACE≌△B1A1C1， ∴AE＝B1C1． 由（3）知， ∴，， ∴． 【點(diǎn)評】此題考查的知識綜合性較強(qiáng)，能夠熟記黃金比的值，根據(jù)黃金比進(jìn)行計(jì)算．注意根據(jù)題目中定義的黃金三角形進(jìn)行分析計(jì)算． 19．如圖，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB＝1：3，AE＝3． （1）求EC的值； （2）求證：AD?AG＝AF?AB． 【分析】（1）由平行可得＝，可求得AC，且EC＝AC﹣AE，可求得EC； （2）由平行可知＝＝，可得出結(jié)論． 【解答】（1）解： ∵DE∥BC， ∴＝， 又＝，AE＝3， ∴＝， 解得AC＝9， ∴EC＝AC﹣AE＝9﹣3＝6； （2）證明： ∵DE∥BC，EF∥CG， ∴＝＝， ∴AD?AG＝AF?AB． 【點(diǎn)評】本題主要考查平行線分線段成比例的性質(zhì)，掌握平行線分線段所得線段對應(yīng)成比例是解題的關(guān)鍵． 20．我們已經(jīng)知道：如果兩個幾何圖形形狀相同而大小不一定相同，我們就把它們叫做相似圖形．比如兩個正方形，它們的邊長，對角線等所有元素都對應(yīng)成比例，就可以稱它們?yōu)橄嗨茍D形． 現(xiàn)給出下列4對幾何圖形：①兩個圓；②兩個菱形；③兩個長方形；④兩個正六邊形．請指出其中哪幾對是相似圖形，哪幾對不是相似圖形，并簡單地說明理由． 【分析】根據(jù)相似圖形的定義，對題目條件進(jìn)行一一分析，作出正確回答． 【解答】解：①兩個圓，它們的所有對應(yīng)元素都成比例，是相似圖形； ②兩個菱形，邊的比一定相等，而對應(yīng)角不一定對應(yīng)相等，不一定是相似圖形； ③兩個長方形，對應(yīng)角的度數(shù)一定相同，但對應(yīng)邊的比值不一定相等，不一定是相似圖形； ④兩個正六邊形，它們的邊長、對應(yīng)角等所有元素都對應(yīng)成比例，是相似圖形． ∴①④是相似圖形，②③不一定是相似圖形． 【點(diǎn)評】本題考查的是相似形的識別，相似圖形的形狀相同，但大小不一定相同． 21．學(xué)生會舉辦一個校園攝影藝術(shù)展覽會，小華和小剛準(zhǔn)備將矩形的作品四周鑲上一圈等寬的紙邊，如圖所示．兩人在設(shè)計(jì)時發(fā)生了爭執(zhí)：小華要使內(nèi)外兩個矩形相似，感到這樣視覺效果較好；小剛試了幾次不能辦到，表示這是不可能的．小紅和小莉了解情況后，小紅說這一要求只有當(dāng)矩形是黃金矩形時才能做到，小莉則堅(jiān)持只有當(dāng)矩形是正方形時才能做到．請你動手試一試，說一說你的看法． 【分析】可先假設(shè)矩形成立，根據(jù)相似列式計(jì)算，最后求得矩形的長和寬相等，則只能是正方形． 【解答】解：只有正方形才能做到，理由： 設(shè)矩形的一邊為a，另一邊為b，等寬的紙邊寬c， 如果要兩矩形相似，則a：b＝（a﹣2c）：（b﹣2c）， 解得a＝b， ∴只能是正方形了． 【點(diǎn)評】本題考查相似多邊形的性質(zhì)．根據(jù)題意設(shè)未知數(shù)并列式是關(guān)鍵．