2019年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第五單元 四邊形 課時訓(xùn)練（二十六）正方形及中點四邊形練習(xí).doc

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課時訓(xùn)練(二十六)　正方形及中點四邊形 (限時:30分鐘) |夯實基礎(chǔ)| 1.[xx廣安] 下列說法: ①四邊相等的四邊形一定是菱形; ②順次連接矩形各邊中點形成的四邊形一定是正方形; ③對角線相等的四邊形一定是矩形; ④經(jīng)過平行四邊形對角線交點的直線,一定能把平行四邊形分成面積相等的兩部分. 其中說法正確的個數(shù)為 (　　) A.4 B.3 C.2 D.1 2.小紅用次數(shù)最少的對折方法驗證了一條四邊形絲巾的形狀是正方形,她對折了 (　　) A.1次 B.2次 C.3次 D.4次 3.若順次連接四邊形ABCD四邊的中點,得到的圖形是一個矩形,則四邊形ABCD一定是 (　　) A.矩形 B.菱形 C.對角線相等的四邊形 D.對角線互相垂直的四邊形 4.[xx河北] 如圖K26-1是邊長為10 cm的正方形鐵片,過兩個頂點剪掉一個三角形,以下四種剪法中,裁剪線長度所標的數(shù)據(jù)(單位:cm)不正確的是 (　　) 圖K26-1 圖K26-2 5.[xx黔東南州] 如圖K26-3,正方形ABCD中,E為AB中點,FE⊥AB,AF=2AE,FC交BD于點O,則∠DOC的度數(shù)為 (　　) 圖K26-3 A.60 B.67.5 C.75 D.54 6.小明在學(xué)習(xí)了正方形之后,給同桌小文出了道題,從下列四個條件:①AB=BC;②∠ABC=90;③AC=BD;④AC⊥BD中選兩個作為補充條件,使?ABCD成為正方形(如圖K26-4),現(xiàn)有下列四種選法,你認為錯誤的是 (　　) 圖K26-4 A.①② B.②③ C.①③ D.②④ 7.[xx黃岡] 已知:如圖K26-5,在正方形ABCD的外側(cè),作等邊三角形ADE,則∠BED=　　　　度. 圖K26-5 8.[xx大慶] 如圖K26-6,點M,N在半圓的直徑AB上,點P,Q在AB上,四邊形MNPQ為正方形.若半圓的半徑為5,則正方形的邊長為　　　　. 圖K26-6 9.[xx深圳] 如圖K26-7,四邊形ACDF是正方形,∠CEA和∠ABF都是直角且E,A,B三點共線,AB=4,則陰影部分的面積是　　　　. 圖K26-7 10.[xx武漢] 以正方形ABCD的邊AD為邊作等邊三角形ADE,則∠BEC的度數(shù)是　　　　. 11.[xx義烏] 如圖K26-8為某城市部分街道示意圖,四邊形ABCD為正方形,點G在對角線BD上,GE⊥CD,GF⊥BC,AD=1500 m,小敏行走的路線為B→A→G→E,小聰行走的路線為B→A→D→E→F,若小敏行走的路程為3100 m,則小聰行走的路程為　　　　m. 圖K26-8 12.[xx舟山] 如圖K26-9,等邊三角形AEF的頂點E,F在矩形ABCD的邊BC,CD上,且∠CEF=45. 求證:矩形ABCD是正方形. 圖K26-9 13.如圖K26-10,四邊形ABCD是正方形,點E是BC邊的中點,∠AEF=90,且EF交正方形外角的平分線CF于點F. 求證:AE=EF. 圖K26-10 |拓展提升| 14.[xx煙臺] 【問題解決】 一節(jié)數(shù)學(xué)課上,老師提出了這樣一個問題:如圖K26-11①,點P是正方形ABCD內(nèi)一點,PA=1,PB=2,PC=3,你能求出∠APB的度數(shù)嗎? 小明通過觀察、分析、思考,形成了如下思路: 思路一:將△PBC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90,得到△BPA,連接PP,求出∠APB的度數(shù); 思路二:將△APB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90,得到△CPB,連接PP,求出∠APB的度數(shù). 請參考小明的思路,任選一種寫出完整的解答過程. 【類比探究】 如圖②,若點P是正方形ABCD外一點,PA=3,PB=1,PC=11,求∠APB的度數(shù). 圖K26-11  參考答案 1.C　[解析] ①正確;由于矩形的對角線相等,根據(jù)三角形的中位線定理,可得順次連接矩形各邊中點所得四邊形的四邊都相等,由此可判定所得四邊形是菱形,故②錯誤;對角線相等的平行四邊形是矩形,對角線相等的四邊形不一定是矩形,故③錯誤;④正確.綜上所述,正確的說法有2個.故選C. 2.B 3.D　[解析] 如圖,四邊形EFGH是矩形,且E,F,G,H分別是AB,BC,CD,AD的中點, 根據(jù)三角形中位線定理得:EH∥FG∥BD,EF∥AC∥HG. ∵四邊形EFGH是矩形,即EF⊥FG, ∴AC⊥BD. 4.A　[解析] 選項A不正確.理由:正方形的邊長為10,所以對角線=102≈14,因為15>14,所以這個圖形不可能存在.故選A. 5.A　[解析] 連接BF,∵E為AB中點,FE⊥AB,∴EF垂直平分AB,∴AF=BF.∵AF=2AE, ∴AF=AB,∴AF=BF=AB,∴△ABF為等邊三角形,∴∠FBA=60,BF=BC,∴∠FCB=∠BFC=15,∵四邊形ABCD為正方形,∴∠DBC=45,根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和得∠DOC=15+45=60. 6.B　[解析] 此題考查正方形的判定,即在平行四邊形的基礎(chǔ)上,需要再同時具備矩形和菱形的特征.①是菱形的特征;②是矩形的特征;③是矩形的特征,④是菱形的特征.而B中都是矩形的特征.故選B. 7.45　[解析] 由題意得,AB=AE,∠BAD=90,∠DAE=∠AED=60,所以∠BAE=150,∠AEB=15.所以∠BED=∠AED-∠AEB=60-15=45. 8.2　[解析] 連接OP,設(shè)正方形的邊長為a(a>0),則ON=a2,PN=a,在Rt△OPN中,ON2+PN2=OP2,即a22+a2=(5)2,解得a=2. 9.8　[解析] ∵四邊形ACDF是正方形,∴AC=AF,∠CAF=90,∴∠CAE+∠BAF=90,又∠CAE+∠ECA=90,∴∠ECA=∠BAF,則在△ACE和△FAB中,∵∠AEC=∠ABF=90,∠ECA=∠BAF,AC=AF, ∴△ACE≌△FAB(AAS),∴AB=CE=4, ∴陰影部分的面積=12ABCE=1244=8. 10.30或150　[解析] 如圖①,∵△ADE是等邊三角形, ∴DE=DA,∠DEA=∠1=60. ∵四邊形ABCD是正方形,∴DC=DA,∠2=90. ∴∠CDE=150,DE=DC,∴∠3=12(180-150)=15. 同理可求得∠4=15. ∴∠BEC=30. 如圖②,∵△ADE是等邊三角形,∴DE=DA,∠1=∠2=60,∵四邊形ABCD是正方形,∴DC=DA,∠CDA=90. ∴DE=DC,∠3=30,∴∠4=12(180-30)=75. 同理可求得∠5=75.∴∠BEC=360―∠2―∠4―∠5=150. 故答案為30或150. 11.4600　[解析] 連接GC,由四邊形ABCD為正方形可得△ADG≌△CDG,所以GC=AG,由四邊形GECF為矩形可得GC=EF,所以EF=AG,因為小敏行走的路線為B→A→G→E,所以BA+AG+GE=3100 m.因為小聰行走的路線為B→A→D→E→F,所以BA+AD+DE+EF=BA+1500+GE+AG=3100+1500=4600(m). 12.證明:∵四邊形ABCD是矩形, ∴∠B=∠D=∠C=90, ∵△AEF是等邊三角形, ∴AE=AF,∠AEF=∠AFE=60, ∵∠CEF=45, ∴∠CFE=∠CEF=45, ∴∠AFD=∠AEB=180-45-60=75, ∴△ABE≌△ADF, ∴AB=AD, ∴矩形ABCD是正方形. 13.證明:取AB的中點H,連接EH. ∵∠AEF=90, ∴∠2+∠AEB=90, ∵四邊形ABCD是正方形, ∴∠1+∠AEB=90, ∴∠1=∠2, ∵E是BC的中點,H是AB的中點, ∴BH=BE,AH=CE, ∴∠BHE=45, ∵CF是∠DCG的平分線, ∴∠FCG=45,∴∠AHE=∠ECF=135, 在△AHE和△ECF中,∠1=∠2,AH=EC,∠AHE=∠ECF, ∴△AHE≌△ECF(ASA),∴AE=EF. 14.[解析] 將△PBC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90得到△PBA,連接PP,得到等腰直角三角形BPP,從而得到PP=22,∠BPP=45,又AP=CP=3,AP=1,∴AP2+PP2=1+8=9=PA2,∴根據(jù)勾股定理的逆定理得∠APP=90,從而求出∠APB=45+90=135. 將△PBC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90,得到△PBA,連接PP,方法和上述類似,求出∠APB=45. 解:【問題解決】如圖①,將△PBC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90,得到△PBA,連接PP. ① ∵PB=PB=2,∠PBP=90, ∴PP=22,∠BPP=45. 又AP=CP=3,AP=1, ∴AP2+PP2=1+8=9=PA2, ∴∠APP=90, ∴∠APB=45+90=135. ② 【類比探究】如圖②,將△PBC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90,得到△PBA,連接PP. ∵PB=PB=1, ∠PBP=90, ∴PP=2,∠BPP=45. 又AP=CP=11,AP=3, ∴AP2+PP2=9+2=11=PA2, ∴∠APP=90,∴∠APB=90-45=45.