特征值與特征向量的計(jì)算.ppt
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第10章矩陣特征值與特征向量的計(jì)算,10.1冪法及反冪法10.2Jacobi方法10.3QR方法10.4特征值與特征向量的MATLAB函數(shù)求解10.5實(shí)例解析,本章目標(biāo):計(jì)算矩陣的特征值及對應(yīng)的特征向量,一、冪法,條件:A有特征根|1|2|n|0,對應(yīng)n個線性無關(guān)的特征向量,|i/1|3|n|,從任意出發(fā),,不妨假定,當(dāng)k充分大時,有:,所以,可以證明,對應(yīng)于1的A的特征向量為:,事實(shí)上,,類似地,對應(yīng)于2的A的特征向量為:,2|1|=|2|3|n|,此時,1和2有可能是共軛復(fù)數(shù)(也可能1=2,也可能是情況11=-2);|1|3|.,不妨假設(shè),當(dāng)k充分大時,有:,Q:如何找到表示1(2)的較好的關(guān)系呢?,不難驗(yàn)證:間近似地成立下述線性關(guān)系,為求得1和2,可任取兩組分量,并解下列方程組得p,q:,其余分量是否也滿足關(guān)系式?若滿足,即,1和2是方程2+p+q=0的兩個根:,顯然:p22n,且|2|n|。,p=(2+n)/2,思路,令B=ApI,則有|IA|=|I(B+pI)|=|(p)IB|Ap=B。而,所以求B的特征根收斂快。,p是假定的,p究竟是多少?,p的選擇或憑借于經(jīng)驗(yàn),或通過多次試算而得.,二、反冪法,Q:Howmustwecomputeineverystep?,A:SolvealinearsystemwithAfactorized.,若知道某一特征根i的大致位置p,即對任意ji有|ip|n|0,則當(dāng)n時,Ak本質(zhì)上收斂于一三角矩陣R.于是R主對角線上的元素就是所求的特征值.,矩陣A的QR分解可借助于施密特正交化過程得到.記A的n個列依次為1,2,n.,10.3QR方法,單位化,A=,Q,R,(r1r2rn-1rn),將A按列向量1,2,n用正交化向量表示出來,10.4特征值與特征向量的MATLAB函數(shù)求解,MATLAB提供的eig()函數(shù)可以很方便地用來求解矩陣特征值與特征向量問題,該函數(shù)的調(diào)用格式為:V,D=eig(A)V,D=eig(A,nobalance)V,D=eig(A,B)V,D=eig(A,B,flag)其中,V是特征向量組成的矩陣(其每一列對應(yīng)矩陣A的一個特征值),D是由特征值構(gòu)成的對角矩陣。Nobalance表示直接求解矩陣A的特征值和特征向量,沒有這個參數(shù)的時候會先對A進(jìn)行相似變換,然后求矩陣A的特征值和特征向量。當(dāng)表達(dá)式中含有參數(shù)B時,函數(shù)eig()計(jì)算廣義特征向量矩陣V和廣義特征值矩陣D,滿足AV=BVD。參數(shù)flag用來指定算法計(jì)算特征值D和特征向量V,flag的值為chol表示對B使用cholesky分解算法,這里A為對稱Hermitian矩陣,B為正定陣;flag的值為qz表示使用QZ算法,這里A和B為非對稱或非Hermitian矩陣。另外,針對稀疏矩陣,MATLAB還提供了eigs()函數(shù)來求解矩陣的特征值和特征向量,該函數(shù)的調(diào)用格式為:V,D=eigs(A,k)其中k表示返回前k個最大的特征值,其默認(rèn)值為6。其余參數(shù)的含義同于eig()函數(shù)。,- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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- 特征值 特征向量 計(jì)算
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