系統(tǒng)建模-最小二乘法.ppt

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第二章系統(tǒng)建模,2.2系統(tǒng)建模概述,,1建模的重要性,,“勾股定理”由于上升到“數(shù)學(xué)抽象/數(shù)學(xué)描述/數(shù)學(xué)模型”的具有普遍意義的理論高度，得以在工程力學(xué)、電磁學(xué)等許多領(lǐng)域所廣泛應(yīng)用，從而對(duì)科學(xué)與技術(shù)的發(fā)展產(chǎn)生了不可估量的影響。,勾股定理與數(shù)學(xué)模型,2.2系統(tǒng)建模概述,,電磁波的發(fā)現(xiàn)與數(shù)學(xué)模型,,麥克斯韋（1831-1879）通過對(duì)前人成果的繼承、歸納與推演而建立的“Maxwell方程組”，把電磁學(xué)提升到“數(shù)學(xué)抽象/數(shù)學(xué)模型”的理論高度。后來產(chǎn)生的電話、電報(bào)、無線電通訊、等成果都是它結(jié)出的“碩果”。,,幾點(diǎn)結(jié)論,把世間的現(xiàn)象/問題上升到“數(shù)學(xué)抽象/數(shù)學(xué)模型”的理論高度是現(xiàn)代科學(xué)發(fā)現(xiàn)與技術(shù)創(chuàng)新的基礎(chǔ)。,“實(shí)驗(yàn)、歸納、推演”是建立系統(tǒng)“數(shù)學(xué)模型”的重要手段/方法/途徑。,“數(shù)學(xué)模型”是人們對(duì)自然世界的一種抽象理解，它與自然世界/現(xiàn)象/問題具有“性能相似”的特點(diǎn)，人們可利用“數(shù)學(xué)模型”來研究/分析自然世界的問題與現(xiàn)象，以達(dá)到認(rèn)識(shí)世界與改造世界的目的。,2.2系統(tǒng)建模概述,,目的要明確,方法要得當(dāng),結(jié)果要驗(yàn)證,同一個(gè)系統(tǒng)，不同的研究目的，所建立的模型也不同。,歸納推演類比移植,機(jī)理建模實(shí)驗(yàn)建模綜合建模,,邏輯方法,,,建模方法,驗(yàn)證所建立的模型能夠“真實(shí)反映”實(shí)際系統(tǒng),2建模三要素,目的、方法和驗(yàn)證,,2.2系統(tǒng)建模概述,,,2.2系統(tǒng)建模概述,系統(tǒng)建模過程示意圖,2.3系統(tǒng)建模方法,1機(jī)理模型法,采用由一般到特殊的推理演繹方法，對(duì)已知結(jié)構(gòu)，參數(shù)的物理系統(tǒng)運(yùn)用相應(yīng)的物理定律或定理，經(jīng)過合理分析簡化而建立起來的描述系統(tǒng)各物理量動(dòng)、靜態(tài)變化性能的數(shù)學(xué)模型。,例：直流電機(jī),,,,,,,例直流電動(dòng)機(jī),1.明確輸入與輸出：,輸入ua和ML，輸出w,2.列寫原始微分方程：,3.消除中間變量，并整理：,電機(jī)的反電勢(shì)ed反電勢(shì)常數(shù)kd電磁力矩M電磁力矩常數(shù)km,得,,1.列寫微分方程：,2.Laplace變換：,例：傳遞函數(shù)模型,3.局部傳遞函數(shù)框圖：,4.系統(tǒng)傳遞函數(shù)框圖：,2實(shí)驗(yàn)建模法,采用由特殊到一般的邏輯、歸納方法，根據(jù)一定數(shù)量的在系統(tǒng)運(yùn)行過程中實(shí)測(cè)、觀察的物理數(shù)據(jù)，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)規(guī)律、系統(tǒng)辨識(shí)等理論合理估計(jì)出反應(yīng)實(shí)際系統(tǒng)各物理量相互制約關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。,2.3系統(tǒng)建模方法,通過實(shí)驗(yàn)方法測(cè)得某系統(tǒng)的開環(huán)頻率響應(yīng)，來建立該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)模型,(1)頻率特性法,,2.3系統(tǒng)建模方法,(1)由已知數(shù)據(jù)繪制該系統(tǒng)開環(huán)頻率響應(yīng)bode圖,(2)用20dB/dec及其倍數(shù)的折線逼近幅頻特性，得到兩個(gè)轉(zhuǎn)折頻率,相應(yīng)的慣性環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)為,(3)由低頻幅頻特性可知,,2.3系統(tǒng)建模方法,(4)由高頻段相頻特性知，該系統(tǒng)存在純滯后環(huán)節(jié)，為非最小相位系統(tǒng)，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)應(yīng)為以下形式,(5)確定純滯后時(shí)間值,再查圖中,(6)最終求得該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)模型G(s)為,,(2)系統(tǒng)辨識(shí)法,2.3系統(tǒng)建模方法,系統(tǒng)辨識(shí)法依據(jù)測(cè)量到的輸入與輸出數(shù)據(jù)來建立靜態(tài)與動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型.,,“數(shù)據(jù)、假設(shè)模型、準(zhǔn)則”是系統(tǒng)辨識(shí)建模過程中的“三要素”。,,,2.3系統(tǒng)建模方法,實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的平滑處理—插值與逼近,所謂“插值”，就是求取兩測(cè)量點(diǎn)之間“函數(shù)值”的計(jì)算方法，常用的有“線性插值”和“三次樣條插值”。,線性插值,三樣條插值,線性插值所建立的數(shù)學(xué)描述/模型在插值點(diǎn)上是“非光滑的”。三次樣條插值可以較完美地逼近理想的數(shù)學(xué)描述/模型，其代價(jià)是計(jì)算量與存儲(chǔ)空間的增加。,,,,,,,,,,,,,,插值法及主要特性：,插值函數(shù)必須過所有插值數(shù)據(jù)點(diǎn)；,通常適用于數(shù)據(jù)點(diǎn)不是特別多的情形；,插值函數(shù)的應(yīng)用主要局限于插值區(qū)間內(nèi)部；,誤差一般只考慮插值區(qū)間內(nèi)的局部點(diǎn)；,插值函數(shù)必須過所有插值數(shù)據(jù)點(diǎn)；,插值函數(shù)的應(yīng)用主要局限于插值區(qū)間內(nèi)部；,,知識(shí)回顧,,插值區(qū)間外近似函數(shù)的表達(dá)式怎么求？,數(shù)據(jù)點(diǎn)特別多時(shí)，什么函數(shù)近似方法更有效呢？,問題1.,問題2.,,,數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法,,,已知函數(shù)y=f(x)的數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi)(i=0,…,m)，,,在函數(shù)空間Φ=span{φ0(x),φ1(x),…,φn(x)}中，,選擇函數(shù),(αj為待定系數(shù)),使φ(x)到(xi,yi)(i=0,…,m)的距離最小。,,,一、數(shù)據(jù)擬合概述,,不要求擬合函數(shù)φ(x)過所有數(shù)據(jù)點(diǎn)；,要求擬合函數(shù)φ(x)到插值數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi)(i=0,…,m)的整體距離最??；,擬合函數(shù)整體表現(xiàn)數(shù)據(jù)的趨勢(shì)和規(guī)律，更利于結(jié)果在插值區(qū)間外的擴(kuò)展和延伸；,,,一、數(shù)據(jù)擬合概述,一、數(shù)據(jù)擬合概述,擬合函數(shù)類Φ的選擇；,擬合函數(shù)φ(x)到插值數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi)(i=0,…,m)的距離的度量方式；,根據(jù)實(shí)際問題的性質(zhì)，選擇合適的擬合函數(shù)類Ф；,通?？扇〉暮瘮?shù)類有多項(xiàng)式類、三角函數(shù)類、指數(shù)函數(shù)類、冪函數(shù)類、樣條函數(shù)類等；,常用的是不超過n次的多項(xiàng)式類；特別地，當(dāng)n=1時(shí)，稱為線性擬合或直線擬合；,擬合函數(shù)到插值數(shù)據(jù)點(diǎn)距離的度量方式不同，得到不同的數(shù)據(jù)擬合方法；,,,已知函數(shù)y=f(x)的數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi)(i=0,…,m)，,1.最小二乘法定義,在函數(shù)空間Φ=span{φ0(x),φ1(x),…,φn(x)}中，,求函數(shù)(aj*為待定系數(shù))，,使擬合函數(shù)S*(x)與所有數(shù)據(jù)點(diǎn)的誤差向量δ*的,分量平方和最?。?,,二、最小二乘法定義,二、最小二乘法定義,,,,如何求最小二乘解S*(x)呢？,問題：,二、最小二乘法定義,2.最小二乘法示例,,,S*(x)=a*+b*x,S*(x)=x∕(a*+b*x),,,---------(1),---------(2),滿足,在函數(shù)空間Φ中，若函數(shù),則稱函數(shù)S*(x)為最小二乘問題的最小二乘解,,,三、最小二乘解,等價(jià)于求一組擬合系數(shù){ai*|i=0,1,…,n}，使得,1.擬合系數(shù),,因此求最小二乘解的問題，,因S(x)∈Ф與擬合系數(shù){ai*|i=0,1,…,n}一一對(duì)應(yīng),,滿足插值條件,,將求最小二乘解問題轉(zhuǎn)化為求擬合系數(shù)問題,轉(zhuǎn)化一,,,三、最小二乘解,2.擬合系數(shù)與極值點(diǎn),,,為擬合系數(shù){ai|i=0,1,…,n}的二次函數(shù)，,,,三、最小二乘解,定義多元二次函數(shù),則最小二乘解的,擬合系數(shù){ai*|i=0,1,…,n},為多元函數(shù)的極小值點(diǎn)；,,,,,三、最小二乘解,就轉(zhuǎn)化為求多元函數(shù)的,因此求最小二乘解的問題，,極值點(diǎn)的問題；,,將求擬合系數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極值點(diǎn)問題,轉(zhuǎn)化二,,,三、最小二乘解,3.法方程組,因極值點(diǎn)是駐點(diǎn)，所以極值點(diǎn)一定滿足,整理,,,,,,三、最小二乘解,,是關(guān)于的線性方程組，稱為法方程組,---------(3),按整理,,,將函數(shù)的極值點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程組解的問題,轉(zhuǎn)化三,,,三、最小二乘解,4.法方程組的解,引入記號(hào),,,,三、最小二乘解,三、最小二乘解,則法方程組(3)可表示成矩陣形式,且法方程組的系數(shù)矩陣是對(duì)稱的。,,,,,三、最小二乘解,由于為函數(shù)類Ф的基底，,相應(yīng)的擬合函數(shù)即為最小二乘解。,所以法方程組的系數(shù)矩陣非奇異，,因此法方程組有唯一解：,,只需要求解法方程組，然后將解代入S*(x)即可。,因此：,,,,三、最小二乘解,5.最小二乘法求解過程,,,,,散點(diǎn)圖,擬合類Ф,Ф的基底,擬合函數(shù)φ(x),,,最小二乘解φ*(x),解法方程組,法方程組,,,,數(shù)據(jù)點(diǎn),,手工預(yù)處理過程,最小二乘法的實(shí)現(xiàn)步驟,由數(shù)據(jù)表中的數(shù)值，點(diǎn)畫出未知函數(shù)的粗略圖形——散點(diǎn)圖；,依據(jù)散點(diǎn)圖，確定擬合函數(shù)類Ф及Ф的基底；,根據(jù)最小二乘原理，確定擬合函數(shù)中的未知參數(shù)；具體步驟如下：,,,最小二乘法的實(shí)現(xiàn)步驟,,,(xi,yi),i=1,2,…,m,(a>0,b>0),,例:,求擬合下列數(shù)據(jù)的最小二乘解,x=.24.65.951.241.732.012.232.522.772.99y=.23-.26-1.1-.45.27.10-.29.24.561,解:,從數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出,因此假設(shè)擬合函數(shù)與基函數(shù)分別為,6.7941-5.347563.2589-5.34755.1084-49.008663.2589-49.00861002.5,1.6163-2.382726.7728,計(jì)算得法方程組的系數(shù)矩陣及常數(shù)項(xiàng)向量為,用Gauss列主元消去法,得,-1.0410-1.26130.030735,離散,三、最小二乘解,6.特別強(qiáng)調(diào),,,最小二乘法是一種近似函數(shù)方法；,過程：,最小二乘解主要體現(xiàn)原函數(shù)的趨勢(shì)和走向，以找出原函數(shù)的規(guī)律，在更大的范圍得到較好的近似函數(shù)；,,,連續(xù),離散,,,,本節(jié)主要知識(shí)連連看,,,最小二乘法,,數(shù)據(jù)點(diǎn),組合系數(shù)ai*(i=0,1,…,n),法方程組,,,二次函數(shù)的極值點(diǎn),,,解法方程組得：ai*(i=0,1,…,n),,,回代,2.3系統(tǒng)建模方法,例：求之間水的定壓比熱變化的數(shù)學(xué)模型問題,,,,2.3系統(tǒng)建模方法,例：求之間水的定壓比熱變化的數(shù)學(xué)模型問題,,,,2.3系統(tǒng)建模方法,試用三次多項(xiàng)式,,,用最小二乘法求系數(shù)A0,A1,A2,A3.把數(shù)據(jù)代入到三次多項(xiàng)式后得到的平方和最小.,方程組的法方程,求解出上式的未知數(shù),得所給數(shù)據(jù)的最小二乘擬合三次多項(xiàng)式為,,2.3系統(tǒng)建模方法,,,,2.3系統(tǒng)建模方法,,,最小二乘法的特點(diǎn)：,a.原理易于理解（不需要數(shù)理統(tǒng)計(jì)方面的知識(shí)；b.應(yīng)用廣泛（動(dòng)態(tài)/靜態(tài)系統(tǒng)，線性/非線性系統(tǒng)的辨識(shí)；c.所得的“估計(jì)值”具有條件最優(yōu)的統(tǒng)計(jì)特性。,誤差約為0.0017,,3綜合建模法,2.3系統(tǒng)建模方法,當(dāng)對(duì)控制的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和特性有部分了解，但又難以完全用機(jī)理模型的方法表述出來，這是需要結(jié)合一定的實(shí)驗(yàn)方法確定另外一部分不甚了解的結(jié)構(gòu)特性，或是通過實(shí)際測(cè)定來求取模型參數(shù)。這種方法是機(jī)理模型法和統(tǒng)計(jì)模型法的結(jié)合，故稱為混合模型法。,水輪發(fā)電機(jī)系統(tǒng)建模,,2019年12月16日星期一,基于MATLAB/SIMULINK的系統(tǒng)建模與仿真,Simulink仿真實(shí)例,例題,對(duì)于非線性系統(tǒng),,求取系統(tǒng)的階躍響應(yīng).其中,系數(shù)分別是的函數(shù),其值隨的變化為,2019年12月16日星期一,基于MATLAB/SIMULINK的系統(tǒng)建模與仿真,Simulink仿真實(shí)例,的值為,2019年12月16日星期一,基于MATLAB/SIMULINK的系統(tǒng)建模與仿真,Simulink仿真實(shí)例,2019年12月16日星期一,基于MATLAB/SIMULINK的系統(tǒng)建模與仿真,Simulink仿真實(shí)例,的值為,2019年12月16日星期一,基于MATLAB/SIMULINK的系統(tǒng)建模與仿真,Simulink仿真實(shí)例,2019年12月16日星期一,基于MATLAB/SIMULINK的系統(tǒng)建模與仿真,Simulink仿真實(shí)例,的值為,2019年12月16日星期一,基于MATLAB/SIMULINK的系統(tǒng)建模與仿真,Simulink仿真實(shí)例,2019年12月16日星期一,基于MATLAB/SIMULINK的系統(tǒng)建模與仿真,Simulink仿真實(shí)例,的值為,2019年12月16日星期一,基于MATLAB/SIMULINK的系統(tǒng)建模與仿真,Simulink仿真實(shí)例,2019年12月16日星期一,基于MATLAB/SIMULINK的系統(tǒng)建模與仿真,Simulink仿真實(shí)例,對(duì)于分別建立子系統(tǒng).,2019年12月16日星期一,基于MATLAB/SIMULINK的系統(tǒng)建模與仿真,Simulink仿真實(shí)例,2019年12月16日星期一,基于MATLAB/SIMULINK的系統(tǒng)建模與仿真,Simulink仿真實(shí)例,2019年12月16日星期一,基于MATLAB/SIMULINK的系統(tǒng)建模與仿真,Simulink仿真實(shí)例,2019年12月16日星期一,基于MATLAB/SIMULINK的系統(tǒng)建模與仿真,Simulink仿真實(shí)例,2019年12月16日星期一,基于MATLAB/SIMULINK的系統(tǒng)建模與仿真,Simulink仿真實(shí)例,2019年12月16日星期一,基于MATLAB/SIMULINK的系統(tǒng)建模與仿真,Simulink仿真實(shí)例,2019年12月16日星期一,基于MATLAB/SIMULINK的系統(tǒng)建模與仿真,Simulink仿真實(shí)例,Outline,,2.1控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,2.2系統(tǒng)建模概述,2.3系統(tǒng)建模方法,2.4模型驗(yàn)證,2.6問題與探究,2.5系統(tǒng)建模實(shí)例,2.4模型驗(yàn)證,,在仿真實(shí)驗(yàn)過程中，其結(jié)果的有效性取決于“系統(tǒng)模型”的可靠性；因此，模型驗(yàn)證是一項(xiàng)十分重要的工作，它應(yīng)該貫穿于“系統(tǒng)建?！抡鎸?shí)驗(yàn)”這一過程中，直到仿真實(shí)驗(yàn)取得滿意的結(jié)果。,1模型驗(yàn)證的內(nèi)容,驗(yàn)證“系統(tǒng)模型”能否準(zhǔn)確地描述實(shí)際系統(tǒng)的性能與行為；檢驗(yàn)基于“系統(tǒng)模型”的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果與實(shí)際系統(tǒng)的近似程度。,2模型驗(yàn)證中應(yīng)該注意的問題,模型驗(yàn)證工作是一個(gè)過程。模型驗(yàn)證工作具有模糊性。模型的全面驗(yàn)證往往不可能或者是難于實(shí)現(xiàn)的。,2.4模型驗(yàn)證,,3模型驗(yàn)證的基本方法,(1)基于機(jī)理建模的必要條件法,(2)基于實(shí)驗(yàn)建模的數(shù)理統(tǒng)計(jì)法,通過對(duì)實(shí)際系統(tǒng)所存在的各種特性/規(guī)律/現(xiàn)象（人通過推演/經(jīng)驗(yàn)可認(rèn)識(shí)到的系統(tǒng)的必要性質(zhì)/條件）進(jìn)行“仿真模擬/仿真實(shí)驗(yàn)”，通過仿真結(jié)果與“必要條件”的吻合程度來驗(yàn)證系統(tǒng)模型的可信性/有效性。,通過考察在相同輸入條件下，系統(tǒng)模型與實(shí)際系統(tǒng)的輸出結(jié)果在一致性/最大概率性/最小方差性等“數(shù)理統(tǒng)計(jì)”方面的情況來綜合判斷其可信性與準(zhǔn)確性。,2.4模型驗(yàn)證,,例：新生兒童營養(yǎng)保健問題是醫(yī)學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)長期探討的問題；定期體重測(cè)定并保證新生兒迅速生長所需的足夠營養(yǎng)是一項(xiàng)重要保健工作，每周紀(jì)錄一新生兒的體重，采用的數(shù)字是連續(xù)三天體重的平均值。下面給出了20個(gè)周的體重值(單位：千克)。,采用分段線性化模型——自激勵(lì)門限自回歸模型(Self-ExcitingThresholdAuto-Regressivemodel,簡稱SETAR)來描述該系統(tǒng)，,2.4模型驗(yàn)證,,利用分段模型對(duì)新生兒體重進(jìn)行預(yù)報(bào)，并與實(shí)際數(shù)值相比較,,從直方圖中可以明顯看出，新生兒體重預(yù)測(cè)值與實(shí)際值相差很小，最大差值為0.375kg，從而可以證明我們所建立模型的合理性，以及在一定誤差范圍內(nèi)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)的正確性。,2.4模型驗(yàn)證,,(3)實(shí)物模型驗(yàn)證法,對(duì)于“機(jī)電系統(tǒng)”、“化工過程系統(tǒng)”以及“工程力學(xué)”等一類可依據(jù)“相似原理”建立“實(shí)物模型”的仿真研究問題，應(yīng)用“實(shí)物（或半實(shí)物）仿真技術(shù)”可以在可能的條件下實(shí)現(xiàn)最高精度的“模型驗(yàn)證”。,1：100比例的三峽水利排沙子系統(tǒng)實(shí)物模型,Outline,,2.1控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,2.2系統(tǒng)建模概述,2.3系統(tǒng)建模方法,2.4模型驗(yàn)證,2.6問題與探究,2.5系統(tǒng)建模實(shí)例,,2.5.1獨(dú)輪自行車實(shí)物仿真問題,2.5.2龍門起重機(jī)運(yùn)動(dòng)控制問題,2.5.3水箱液位控制問題,2.5.4燃煤熱水鍋爐控制問題,2.5.1獨(dú)輪自行車實(shí)物仿真問題,,控制理論中，把獨(dú)輪自行車問題歸結(jié)為一階倒立擺控制問題，此外，諸如機(jī)器人行走過程中的平衡控制，火箭發(fā)射中的垂直度控制，衛(wèi)星飛行中的姿態(tài)控制，海上鉆井平臺(tái)的穩(wěn)定控制，飛機(jī)的安全著陸控制等均涉及到“倒立擺的控制問題。,1問題的提出,系統(tǒng)建模實(shí)例,2.5.1獨(dú)輪自行車實(shí)物仿真問題,,單一剛性鉸鏈，兩自由度動(dòng)力學(xué)問題,獨(dú)輪自行車實(shí)物仿真模型,2建模機(jī)理,系統(tǒng)建模實(shí)例,2.5.1獨(dú)輪自行車實(shí)物仿真問題,,小車的質(zhì)量為m0,倒立擺的質(zhì)量為m，擺長為2l，擺的偏角為，小車的位移為x，作用在小車上水平方向的力為F,O1為擺桿的質(zhì)心。,3系統(tǒng)建模,系統(tǒng)建模實(shí)例,2.5.1獨(dú)輪自行車實(shí)物仿真問題,,1)擺桿繞其中心的轉(zhuǎn)動(dòng)方程為,2)擺桿重心的水平運(yùn)動(dòng)可能描述為,3系統(tǒng)建模,系統(tǒng)建模實(shí)例,根據(jù)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)微分方程，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與加速度乘積等于作用于剛體主動(dòng)力對(duì)該軸的代數(shù)和.,2.5.1獨(dú)輪自行車實(shí)物仿真問題,,3)擺桿中心在垂直方向上的運(yùn)動(dòng)可描述為,4)小車水平方向運(yùn)動(dòng)可描述為,3系統(tǒng)建模,系統(tǒng)建模實(shí)例,2.5.1獨(dú)輪自行車實(shí)物仿真問題,,精確模型：,系統(tǒng)建模實(shí)例,2.5.1獨(dú)輪自行車實(shí)物仿真問題,,,因?yàn)閿[桿為均勻細(xì)桿，其對(duì)于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,,,系統(tǒng)建模實(shí)例,若只考慮在工作點(diǎn)附近附近,2.5.1獨(dú)輪自行車實(shí)物仿真問題,,若給定一階直線倒立擺系統(tǒng)的參數(shù)為：小車的質(zhì)量=1kg；倒擺振子的質(zhì)量m=1kg；倒擺長度2l=0.6m；重力加速度取g=10m/s2，則可得到進(jìn)一步簡化模型：,,,,系統(tǒng)建模實(shí)例,2.5.1獨(dú)輪自行車實(shí)物仿真問題,,,,,系統(tǒng)建模實(shí)例,2.5.1獨(dú)輪自行車實(shí)物仿真問題,,,,,系統(tǒng)建模實(shí)例,2.5.1獨(dú)輪自行車實(shí)物仿真問題,,,,,系統(tǒng)建模實(shí)例,2.5.1獨(dú)輪自行車實(shí)物仿真問題,,,,,系統(tǒng)建模實(shí)例,2.5.1獨(dú)輪自行車實(shí)物仿真問題,,,,,系統(tǒng)建模實(shí)例,2.5.1獨(dú)輪自行車實(shí)物仿真問題,,,,對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型為,,系統(tǒng)建模實(shí)例,2.5.1獨(dú)輪自行車實(shí)物仿真問題,,,,,系統(tǒng)狀態(tài)為,系統(tǒng)建模實(shí)例,2.5.2龍門吊車運(yùn)動(dòng)控制問題,,龍門吊車作為一種運(yùn)載工具，廣泛的用于現(xiàn)代工廠，安裝工地和集裝箱貨場以及室內(nèi)外倉庫的裝卸與運(yùn)輸作業(yè)。它在離地面很高的軌道上運(yùn)行，具有占地面積小，省工省時(shí)的優(yōu)點(diǎn)。,,1問題提出,系統(tǒng)建模實(shí)例,2.5.2龍門吊車運(yùn)動(dòng)控制問題,,起重機(jī)系統(tǒng)的物理抽象模型,龍門吊車?yán)美K索一類的柔性體代替剛體工作，以使得吊車的結(jié)構(gòu)輕便，工作效率高。但是，采用柔性體吊運(yùn)也帶來一些負(fù)面影響，吊車的擺動(dòng)問題一直是困擾提高吊車裝運(yùn)效率的難題。,,系統(tǒng)建模實(shí)例,,小車的質(zhì)量為m0,收到水平方向的外力F作用，重物的質(zhì)量為m，繩索的長度為l。對(duì)重物的快速吊運(yùn)與定位問題可以描述成：,,系統(tǒng)建模實(shí)例,2.5.2龍門吊車運(yùn)動(dòng)控制問題,,求小車在所受的外力F的作用下，使得小車能在最短的時(shí)間ts由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，且，為系統(tǒng)允許的最小擺角。,,系統(tǒng)建模實(shí)例,2.5.2龍門吊車運(yùn)動(dòng)控制問題,,2建模機(jī)理,系統(tǒng)建模實(shí)例,龍門吊車運(yùn)動(dòng)問題為多剛體，多自由度，多約束的質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問題。,對(duì)于約束質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問題來說，拉格朗日給出了解決具有完整約束的質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問題的具有普遍意義的方程，稱為拉格朗日方程。,2.5.2龍門吊車運(yùn)動(dòng)控制問題,,小車在行走電機(jī)的水平拉力F1的作用下在水平軌道上運(yùn)動(dòng)，小車的質(zhì)量為m0，重物的質(zhì)量為m，繩索的長度為l，重物可在提升電機(jī)的提升力F2的作用之下進(jìn)行升降運(yùn)動(dòng)；,小車與水平軌道的摩擦阻尼系數(shù)為D；重物擺動(dòng)時(shí)的阻尼系數(shù)為，其他擾動(dòng)可忽略。,3系統(tǒng)建模,系統(tǒng)建模實(shí)例,2.5.2龍門吊車運(yùn)動(dòng)控制問題,,小車和重物的位置,小車和重物的速度分量,3系統(tǒng)建模,系統(tǒng)建模實(shí)例,2.5.2龍門吊車運(yùn)動(dòng)控制問題,,系統(tǒng)拉格朗日方程為：,系統(tǒng)的動(dòng)能：,,系統(tǒng)建模實(shí)例,2.5.2龍門吊車運(yùn)動(dòng)控制問題,,吊車系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程：,不考慮繩長的變化時(shí)，，：,,,,,系統(tǒng)建模實(shí)例,2.5.2龍門吊車運(yùn)動(dòng)控制問題,4模型簡化,,考慮到實(shí)際吊車運(yùn)行過程中擺動(dòng)角較小(不超過)，且平衡位置為,有如下近似，忽略擺動(dòng)阻尼，則,,,,,,系統(tǒng)建模實(shí)例,龍門吊車運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型為非線性微分方程組。,2.5.2龍門吊車運(yùn)動(dòng)控制問題,4模型簡化,,,,拉氏變換得,,,,定擺長龍門吊車運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖,系統(tǒng)建模實(shí)例,2.5.2龍門吊車運(yùn)動(dòng)控制問題,4模型簡化,,,,變形得,,,,系統(tǒng)建模實(shí)例,2.5.2龍門吊車運(yùn)動(dòng)控制問題,,假定,代入,系統(tǒng)建模實(shí)例,5模型驗(yàn)證,,得到,2.5.2龍門吊車運(yùn)動(dòng)控制問題,,,,系統(tǒng)建模實(shí)例,5模型驗(yàn)證,,2.5.2龍門吊車運(yùn)動(dòng)控制問題,,,,變形得,,,系統(tǒng)建模實(shí)例,假定,代入,5模型驗(yàn)證,2.5.2龍門吊車運(yùn)動(dòng)控制問題,,,,,,系統(tǒng)建模實(shí)例,5模型驗(yàn)證,2.5.2龍門吊車運(yùn)動(dòng)控制問題,,,,,,系統(tǒng)建模實(shí)例,5模型驗(yàn)證,2.5.2龍門吊車運(yùn)動(dòng)控制問題,2.5.3水箱液位控制問題,,工業(yè)過程控制領(lǐng)域中，諸如電站鍋爐氣泡水位控制，化學(xué)反應(yīng)釜液位控制，化工配料系統(tǒng)的液位控制等問題，均可等效為水箱液位控制問題。,1問題提出,系統(tǒng)建模實(shí)例,H為液位高度,qin為流入水箱中液體的流量,qout為流出水箱液體的流量,q’in與q’out分別為進(jìn)水閥和出水閥門的控制開度,S為水箱底面積.,2.5.3水箱液位控制問題,,(1)雷諾系數(shù),(2)紊流,(3)層流,當(dāng)液體的雷諾系數(shù)Re>2000，流體的流態(tài)稱為紊流。紊流表征了流體在傳遞中有能量損失，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)紊亂(有橫向分量),通常條件下,容器與導(dǎo)管連接處的流態(tài)呈紊流狀態(tài).,當(dāng)液體的雷諾系數(shù)Re<2000，流體的流態(tài)稱為層流。層流表征了流體在傳遞中能量損失很少，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)有序(沿軸向方向),通常條件下,長距離直管段中,在壓力恒定情況下,流體呈層流狀態(tài).,其中v為液體流速，d為管道口徑，r為液體黏度,雷諾系數(shù)反應(yīng)了液體在管道中流動(dòng)時(shí)的物理性能,2建模機(jī)理,系統(tǒng)建模實(shí)例,2.5.3水箱液位控制問題,,其中Qin為層流，Qout為紊流,3系統(tǒng)建模,,,,系統(tǒng)建模實(shí)例,2.5.3水箱液位控制問題,,,水箱出口處為紊流狀態(tài),將其在水箱的平衡點(diǎn)P(q0，h0)處線性化,4模型簡化,液容與液阻,,,,,系統(tǒng)建模實(shí)例,出口處液阻為,2.5.3水箱液位控制問題,,將水箱在平衡點(diǎn)附近的非線性系統(tǒng)簡化為線性系統(tǒng),由液阻的定義得,兩邊取拉氏變換,系統(tǒng)建模實(shí)例,2.5.4燃煤熱水鍋爐控制問題,,燃煤熱水鍋爐系統(tǒng)在工業(yè)生產(chǎn)與民用集中供熱方面具有廣泛的應(yīng)用,1問題提出,,系統(tǒng)建模實(shí)例,2.5.4燃煤熱水鍋爐控制問題,,熱力學(xué)系統(tǒng)將熱量從一種物質(zhì)傳遞到另一種物質(zhì)。熱傳遞的途徑有三種，傳導(dǎo)，對(duì)流和輻射。,熱阻,熱容,,2建模機(jī)理,熱傳遞的三種途徑：傳導(dǎo)、對(duì)流、輻射。,系統(tǒng)建模實(shí)例,2.5.4燃煤熱水鍋爐控制問題,,設(shè)系統(tǒng)保溫良好,根據(jù)熱容熱阻的定義,拉氏變換得,用戶的模型為,a分布參數(shù)問題,b最佳燃燒控制問題,3系統(tǒng)建模,4存在問題,系統(tǒng)建模實(shí)例,Outline,,2.1控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,2.2系統(tǒng)建模概述,2.3系統(tǒng)建模方法,2.4模型驗(yàn)證,2.6問題與探究,2.5系統(tǒng)建模實(shí)例,,2.6問題與探究——水輪發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的線性化模型,,1問題提出,對(duì)于理想的水輪發(fā)電機(jī)系統(tǒng)(假設(shè)非線性模型處于和，即水頭穩(wěn)定、流速不變的情況下，選擇簡單引水系統(tǒng)，剛性水擊，不考慮沿程損失和局部損失)，有研究者給出了一種簡單的水輪機(jī)發(fā)電機(jī)系統(tǒng)單輸入單輸出的線性模型。,,,水輪機(jī)發(fā)電功率,控制信號(hào)增量,,,選取典型時(shí)間常數(shù)：,水輪機(jī)慣性時(shí)間常數(shù),執(zhí)行器的時(shí)間常數(shù),,,,非最小相位系統(tǒng),2.6問題與探究——水輪發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的線性化模型,,2幾點(diǎn)討論,你能否根據(jù)第三節(jié)“混合建模法”中的內(nèi)容，分析一下水輪發(fā)電機(jī)系統(tǒng)線性模型的有效性/準(zhǔn)確性？并給出你的結(jié)論。你能否根據(jù)第三節(jié)“混合建模法”中的內(nèi)容，說明式上述數(shù)學(xué)模型的是如何得到的？其近似條件是什么？,如果水輪機(jī)發(fā)電系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型在MATLAB下進(jìn)行仿真，我們可以得到右圖所示的結(jié)果，從中可以看到：輸出功率的增量在最終達(dá)到正的穩(wěn)態(tài)值之前，起初有一個(gè)“負(fù)方向減小”的暫態(tài)過程；你能否解釋一下其物理意義為何？并以此說明數(shù)學(xué)模型的有效性。,小結(jié),,本章主要講述了系統(tǒng)建模的基本理論、基本方法與工程案例，現(xiàn)將主要內(nèi)容歸結(jié)如下：,系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是我們進(jìn)行數(shù)字仿真實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)；常用的數(shù)學(xué)模型有：微分方程、狀態(tài)方程、傳遞函數(shù)三類形式；各種數(shù)學(xué)模型之間可在一定條件下相互轉(zhuǎn)換之。,建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是現(xiàn)代科學(xué)發(fā)現(xiàn)與技術(shù)創(chuàng)新的基石，“實(shí)驗(yàn)、歸納、推演”是建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的重要方法，“目的、方法、驗(yàn)證”是建模過程中的“三要素”。,“機(jī)理建模、實(shí)驗(yàn)建模、綜合建模”是建立系統(tǒng)模型的基本方法。,小結(jié),,“模型驗(yàn)證”工作應(yīng)始終貫穿于“系統(tǒng)建?！迸c“仿真實(shí)驗(yàn)”的過程中；針對(duì)不同的建模方法所得的數(shù)學(xué)模型，其模型驗(yàn)證的方法也有所不同。,不同領(lǐng)域的建模問題，需要應(yīng)用相關(guān)的基礎(chǔ)理論，“分析力學(xué)”、“流體力學(xué)”、“熱力學(xué)”等理論是我們建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型常用的基礎(chǔ)理論，應(yīng)該有所了解與掌握之。,“水輪發(fā)電機(jī)組”系統(tǒng)建模問題是典型的非最小相位系統(tǒng)綜合建模案例，對(duì)該問題的深入探究，有助于我們領(lǐng)會(huì)系統(tǒng)建模的理論與方法，培養(yǎng)獨(dú)立思考能力。,