線性代數(shù)-第六章特征值和特征向量.ppt
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第六章矩陣的特征值和特值向量,1矩陣的特征值和特征向量,矩陣的特征值和特征向量是矩陣?yán)碚撝兄匾獋€(gè)概念之一,它有著廣泛的應(yīng)用.本章將引進(jìn)特征值和特征向量的概念及其計(jì)算.并給出將矩陣對(duì)角化的方法.,一.定義和求法,定義6.1設(shè)A是n階方陣,如果數(shù)0和n維非零列向量滿足關(guān)系式A=0則稱0為A的特征值,為A的屬于0的一個(gè)特征向量.,如果A是奇異矩陣(|A|=0),則齊次線性方程組Ax=0有非零解,若記為Ax=0的非零解,則有,可見,0=0為奇異矩陣A的特征值,方程組Ax=0的非零解都是A的屬于特征值0=0的特征向量.,A=0=0,一般地,由A=0可得,(0EA)=0,可見,是n元齊次線性方程組,(0EA)x=0,的非零解.所以有|0EA|=0.,定義6.2設(shè)A是n階方陣,是參數(shù),則行列式,稱為方陣A的特征多項(xiàng)式.稱det(EA)=0為方陣A的特征方程.,A的特征值就是特征方程的解,n階方陣A有n個(gè)特征值.,A的屬于特征值i的特征向量就是齊次線性方程組,(EA)x=0,的所有非零解.,的特征值和特征向量.,解A的特征多項(xiàng)式為,=(-1)(-2)2-1=(-1)2(-3),所以A的特征值為1=2=1,3=3.,對(duì)1=2=1,解方程(E-A)x=0,由于,例1求矩陣,所以k1(k0)是屬于1=2=1的全部特征向量.,對(duì)3=3,解方程(3E-A)x=0,由于,得同解方程:,基礎(chǔ)解系為2=(-1,1,1)T.,所以k2(k0)是屬于3=3的全部特征向量.,基礎(chǔ)解系為1=(0,0,1)T.,得同解方程:,的特征值和特征向量.,解A的特征多項(xiàng)式為,=(-1)(-2)2-1=(-1)2(-3),所以A的特征值為1=2=1,3=3.,對(duì)1=2=1,解方程(E-A)x=0,由于,例2求矩陣,所以屬于1=2=1的全部特征向量為K11+k22(k1,k2不同時(shí)為0),對(duì)3=3,解方程(A-3E)x=0,由于,得同解方程:,基礎(chǔ)解系為3=(1,-1,1)T.,所以k3(k0)是屬于3=3的全部特征向量.,基礎(chǔ)解系為1=(1,1,0)T,2=(0,0,1)T.,得同解方程:,設(shè)方陣A可逆,且是A的特征值,證明1/是A-1的特征值.,例3,證首先證明0.用反證法:假設(shè)=0是A的特征值,則,再設(shè)是A對(duì)應(yīng)特征值的特征向量,則A=,A-1=1/,所以1/是A-1的特征值,而且與A有相同的特征向量.,類似地,若是A的特征值,則k是Ak的特征值.,0E-A=-A=0,這與A可逆矛盾,故0.,一般地,若是A的特征值,則()=a0+a1+amm是(A)=a0E+a1A+amAm的特征值.,二.特征值和特征向量的性質(zhì),由于,=n-(a11+a22+ann)n-1+(-1)n|A|,利用多項(xiàng)式方程根與系數(shù)的關(guān)系可得:,定理6.1設(shè)1,2,n是n階方陣A的全部特征值,則,1+2+n=a11+a22+ann,12n=detA,定理6.2設(shè)1,2,s是方陣A的互異特征值,1,2,s是分別屬于它們的特征向量,那么1,2,s線性無關(guān).,證明設(shè)x11+x22+xss=0,類似地有:,則,A(x11+x22+xss)=0,即,1x11+2x22+sxss=0,1kx11+2kx22+skxss=0(k=0,1,s-1),即,所以有,(x11,x22,xss)=(0,0,0),定理6.3設(shè)1,2是A的兩個(gè)互異特征值,1,2,s和1,2,t分別是屬于1,2的線性無關(guān)的特征向量,則1,2,s,1,2,t線性無關(guān).,即,xjj=0,但j0,故xj=0,(j=1,2,s),所以向量組1,2,s線性無關(guān).,證明設(shè)k11+k22+kss+l11+l22+ltt=0,若=k11+k22+kss0,=l11+l22+ltt0,則+=0,而,分別是屬于1,2的特征向量,矛盾.,所以=0,即k1=k2=ks=l1=l2=lt=0,線性無關(guān).,例4,解由于A的特征值都不為0,故A可逆.而|A|=-2,于是A*=AA-1=-2A-1.于是,設(shè)3階方陣A的特征值為1,-1,2,求|A*+3A-2E|.,A*+3A-2E=-2A-1+3A-2E=(A),(A)的3個(gè)特征值為:(1)=-1,(-1)=-3,(2)=3,于是,|A*+3A-2E|=|(A)|=(-1)(-3)3=9,對(duì)A進(jìn)行運(yùn)算P-1AP=B稱為對(duì)A進(jìn)行相似變換,可逆矩陣P稱為把A變成B的相似變換矩陣.,2相似矩陣,定義6.3設(shè)A,B都是n階方陣,若存在可逆矩陣P,使,一.相似矩陣的定義和性質(zhì),矩陣的相似關(guān)系具有下述性質(zhì):,()反身性:AA;,()對(duì)稱性:若AB,則BA;,()傳遞性:若AB,BC,則AC.,P-1AP=B,則稱B是A的相似矩陣,或說矩陣A與B相似.,A與B相似記作AB.,定理6.4相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式,因此也有相同的特征值.,證若矩陣A與B相似,則存在矩陣P,使P-1AP=B,故,注意:定理6.4的逆命題不成立.例如矩陣,E-B=P-1(E)P-P-1AP=P-1(E-A)P,=P-1E-AP=E-A,的特征多項(xiàng)式都是(-1)2,但它們不相似.,二.與對(duì)角矩陣相似的條件,假設(shè)n階方陣A與對(duì)角矩陣,相似.,也就是存在可逆矩陣P,使得,P-1AP=,即,AP=P,記P=(1,2,n),則有,(A1,A2,An)=(11,22,nn),即,可見,矩陣A與對(duì)角矩陣相似,則A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.,Ai=ii,i=1,2,n,因?yàn)榫仃嘝可逆,所以1,2,n線性無關(guān),故i0,于是i是矩陣A屬于特征值i的特征向量.,反之,設(shè)A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量1,2,n,且,Ai=ii,i=1,2,n,令P=(1,2,n),則P可逆,且,AP=(A1,A2,An)=(11,22,nn)=P,即,P-1AP=,也就是說矩陣A與對(duì)角矩陣相似.,定理6.5n階矩陣A與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是矩陣A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.,可見,前面的分析不但證明了定理6.5,還給出了相似變換矩陣P和對(duì)角矩陣的求法.,例如例1中的矩陣,沒有3個(gè)線性無關(guān)的特征向量,故A不與對(duì)角矩陣相似.,而例2中的矩陣,由于其3個(gè)特征值為1=2=1,3=3.對(duì)應(yīng)的特征向量:,1=(1,1,0)T,2=(0,0,1)T,3=(1,-1,1)T線性無關(guān),所以,取相似變換矩陣P=(1,2,3)=,可求得P的逆矩陣為,與A相似的對(duì)角矩陣為,推論若n階矩陣A有n個(gè)互異特征值,則A與對(duì)角矩陣相似.,若A=P-1BP,則有:,注意,若矩陣A與對(duì)角矩陣相似,則的對(duì)角線元素恰是A的n個(gè)特征值,故如不計(jì)對(duì)角線上元素的順序,則與A相似的對(duì)角矩陣是唯一的.,Ak=P-1kP,(A)=P-1()P,而且有:,例5設(shè),求A50.,解矩陣A的特征多項(xiàng)式為,=(+1)2(-2),可見,A的特征值是1=2=-1,3=2.,對(duì)于特征值1=2=-1,由于,所以,齊次線性方程組(-E-A)x=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系為:,1=(1,2,0)T,2=(0,0,1)T.,1,2就是屬于特征值1=2=-1的線性無關(guān)的特征向量.,可見屬于特征值3=2的一個(gè)特征向量為3=(3,3,1)T.,對(duì)于特征值3=2,由于,令,則有,所以有,即,定理6.6設(shè)0是n階矩陣A的k重特征值,則屬于0的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)不大于k.,令P=(1,2,n),則P可逆,而且有,證明設(shè)1,2,t是屬于0的線性無關(guān)的特征向量.,則存在向量t+1,t+2,n使1,2,n線性無關(guān).,AP=(01,02,0t,At+1,At+2,An),由于1,2,n線性無關(guān),所以At+1,At+2,An都能由1,2,n線性表示,所以可以令,AP=(01,02,0t,At+1,At+2,An),即矩陣A與B相似.,所以,A與B有相同的特征多項(xiàng)式,即,因此,0的重?cái)?shù)kt.,|E-A|=|E-B|,推論矩陣A與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是,對(duì)A的任意特征值0(重?cái)?shù)為k),屬于0的線性無關(guān)的特征向量必有k個(gè).也就是R(0E-A)=n-k.,作業(yè),習(xí)題A第117頁,1、2、4、5、6、7、9、10,練習(xí)題,習(xí)題B第100頁,1、2、3、10,11、12、13、14、15、16、17,3實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化,一.實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì),設(shè)矩陣A=(aij),用aij表示aij的共軛復(fù)數(shù),記,A=(aij),稱A為A的共軛矩陣.顯然,A為實(shí)矩陣時(shí),A=A.,共軛矩陣具有下列性質(zhì):,其中是常數(shù);,定理6.7實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù).,證設(shè)為實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值,是屬于的特征向量,則有,由于AT=A,A=A,故有,于是有,由于0,所以T0,因此,即是實(shí)數(shù).,顯然,實(shí)對(duì)稱矩陣的特征向量都可以取為實(shí)向量.,定理6.8實(shí)對(duì)稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量是正交的.,證設(shè)1,2是實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值,1,2分別是屬于它們的特征向量,則有,而且,由于12,所以2T1=0,即1,2正交.,于是,二.實(shí)對(duì)稱矩陣正交相似于對(duì)角矩陣,定理6.9設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣,則必存在正交矩陣Q,使得Q-1AQ=QTAQ為對(duì)角矩陣.,證n=1時(shí)顯然成立,設(shè)對(duì)n-1階矩陣定理結(jié)論成立.,于是有,再取2,3,n使1,2,n為Rn的一組規(guī)范正交基.,取n階實(shí)對(duì)稱矩陣A的任一特征值1,和屬于1的特征向量1,(取1為單位向量).,A(1,2,n)=(11,A2,An),=(1,2,n),記Q1=(1,2,n),則Q1為正交矩陣,且有,B是n-1階實(shí)對(duì)稱矩陣,由假設(shè),存在n-1階正交矩陣P,使得,取n階正交矩陣,Q1-1AQ1=,則有,即,Q2-1Q1-1AQ1Q2=Q2TQ1TAQ1Q2為對(duì)角矩陣.,只要取Q=Q1Q2是正交矩陣,定理結(jié)論成立.,推論設(shè)0是實(shí)對(duì)稱矩陣A的k重特征值,則屬于0的線性無關(guān)的特征向量恰有k個(gè),也即R(0E-A)=n-k.,三.實(shí)對(duì)稱矩陣正交相似對(duì)角化的方法,用正交矩陣化實(shí)對(duì)稱矩陣為對(duì)角矩陣的步驟如下:,(1)求出A的全部特征值;,(2)對(duì)每個(gè)特征值,若其重?cái)?shù)為k,求出其k個(gè)線性無關(guān)的特征向量.,(5)寫出對(duì)角矩陣.,(3)將求出的k個(gè)線性無關(guān)的特征向量規(guī)范正交化.,(4)用求出的n個(gè)規(guī)范正交的特征向量構(gòu)造正交矩陣.,例6設(shè),求一個(gè)正交矩陣Q,使Q-1AQ為對(duì)角矩陣.,解先求A的所有特征值,得特征值1=2=-1,3=11.,det(E-A),=(+1)(2-10-11)=(+1)2(2-11),對(duì)1=2=-1,由于,所以方程組(-E-A)x=0等價(jià)于x1+x2+2x3=0,一基礎(chǔ)解系為,再單位化得:,1=(-1,1,0)T,2=(-2,0,1)T,1=1=(-1,1,0)T,1=1/|1|,將其正交化得:,2=2-(2T1/1T1)1=2-1=(-1,-1,1)T,2=2/|2|,對(duì)3=11,由于,所以方程組(11E-A)x=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系為3=(1,1,2)T,所以得正交矩陣:Q=(1,2,3),將其單位化得:3=3/|3|,而且,QTAQ=diag(-1,-1,11).,注意:方程組x1+x2+2x3=0的基礎(chǔ)解系可直接取為:,再如,方程組x1-2x2-x3=0的基礎(chǔ)解系可直接取為:,這樣,就不需要再進(jìn)行規(guī)范正交化了.,作業(yè),習(xí)題A第117頁,3、,練習(xí)題,習(xí)題B第100頁,8、2、3、10,- 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- 線性代數(shù) 第六 特征值 特征向量
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