2018-2019高中數(shù)學(xué) 第3章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.2.1 常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)學(xué)案 蘇教版選修1 -1.docx
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3.2.1常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能根據(jù)定義求函數(shù)yC,ykxb,yx,yx2,y的導(dǎo)數(shù).2.準(zhǔn)確記憶基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,并靈活運(yùn)用公式求某些函數(shù)的導(dǎo)數(shù).知識(shí)點(diǎn)一冪函數(shù)與一次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)思考1函數(shù)ykx(k0)增(減)的快慢與什么有關(guān)?答案當(dāng)k0時(shí),函數(shù)增加的快慢與系數(shù)k有關(guān),k越大,增加的越快;當(dāng)k0,且a1)f(x)axlnaf(x)exf(x)exf(x)logax(a0,且a1)f(x)f(x)lnxf(x)f(x)x(為常數(shù))f(x)x11.(ex)ex.()2.(lnx).()3.cos.()4.若f(x),則f(x).()類型一利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)yx12;(2)y;(3)y;(4)y2sincos;(5)y;(6)y3x.考點(diǎn)幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題點(diǎn)幾個(gè)常用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用解(1)y(x12)12x12112x11.(2)y(x4)4x414x5.(3)y()().(4)y2sincossinx,ycosx.(5)y().(6)y(3x)3xln3.反思與感悟若題目中所給出的函數(shù)解析式不符合導(dǎo)數(shù)公式,需通過(guò)恒等變換對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)或變形后求導(dǎo),如根式化成指數(shù)冪的形式求導(dǎo).跟蹤訓(xùn)練1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)f(x);(2)f(x)2x;(3)f(x)e2;(4)f(x)cosx.考點(diǎn)幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題點(diǎn)幾個(gè)常用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用解(1)f(x)();(2)f(x)xln2xln2;(3)f(x)(e2)0;(4)f(x)(cosx)sinx.類型二導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用例2已知點(diǎn)P(1,1),點(diǎn)Q(2,4)是曲線yx2上兩點(diǎn),是否存在與直線PQ垂直的切線,若有,求出切線方程;若沒(méi)有,說(shuō)明理由.考點(diǎn)幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題點(diǎn)冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解因?yàn)閥(x2)2x,假設(shè)存在與直線PQ垂直的切線.設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),則PQ的斜率為k1,而切線與PQ垂直,所以2x01,即x0.所以切點(diǎn)為.所以所求切線方程為y(1),即4x4y10.引申探究若本例條件不變,求與直線PQ平行的曲線yx2的切線方程.考點(diǎn)幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題點(diǎn)冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解因?yàn)閥(x2)2x,設(shè)切點(diǎn)為M(x0,y0),則在點(diǎn)xx0處的導(dǎo)數(shù)為2x0,又因?yàn)镻Q的斜率為k1,而切線平行于PQ,所以k2x01,即x0.所以切點(diǎn)為M.所以所求切線方程為yx,即4x4y10.反思與感悟解決切線問(wèn)題,關(guān)鍵是確定切點(diǎn),要充分利用:(1)切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率;(2)切點(diǎn)在切線上;(3)切點(diǎn)又在曲線上這三個(gè)條件聯(lián)立方程解決.跟蹤訓(xùn)練2已知兩條曲線ysinx,ycosx,是否存在這兩條曲線的一個(gè)公共點(diǎn),使在這一點(diǎn)處兩條曲線的切線互相垂直?并說(shuō)明理由.考點(diǎn)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式題點(diǎn)正弦、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解設(shè)存在一個(gè)公共點(diǎn)(x0,y0),使兩曲線的切線垂直,則在點(diǎn)(x0,y0)處的切線斜率分別為k1cosx0,k2sinx0.要使兩切線垂直,必須有k1k2cosx0(sinx0)1,即sin2x02,這是不可能的.所以兩條曲線不存在公共點(diǎn),使在這一點(diǎn)處的兩條切線互相垂直.例3求拋物線yx2上的點(diǎn)到直線xy20的最短距離.考點(diǎn)幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題點(diǎn)冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解依題意知拋物線yx2與直線xy20平行的切線的切點(diǎn)到直線xy20的距離最短,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,x).y(x2)2x,2x01,x0,切點(diǎn)坐標(biāo)為,所求的最短距離d.反思與感悟利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式,可求其圖象在某一點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程,可以解決一些與距離、面積相關(guān)的幾何的最值問(wèn)題,一般都與函數(shù)圖象的切線有關(guān).解題時(shí)可先利用圖象分析取最值時(shí)的位置情況,再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義準(zhǔn)確計(jì)算.跟蹤訓(xùn)練3已知直線l: 2xy40與拋物線yx2相交于A,B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),試求與直線l平行的拋物線的切線方程,并在弧上求一點(diǎn)P,使ABP的面積最大.考點(diǎn)幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題點(diǎn)冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解設(shè)M(x0,y0)為切點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M與直線l平行的直線斜率ky2x0,k2x02,x01,y01.故可得M(1,1),切線方程為2xy10.由于直線l: 2xy40與拋物線yx2相交于A,B兩點(diǎn),AB為定值,要使ABP的面積最大,只要P到AB的距離最大,故點(diǎn)M(1,1)即為所求弧上的點(diǎn),使ABP的面積最大.1.設(shè)函數(shù)f(x)logax,f(1)1,則a_.考點(diǎn)幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題點(diǎn)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)答案解析f(x),則f(1)1,a.2.下列結(jié)論:(sinx)cosx;(log3x);(lnx).其中正確的結(jié)論是_.考點(diǎn)幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題點(diǎn)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)答案解析由求導(dǎo)公式知,(sin x)cos x,(log3x),(lnx),故正確.3.在曲線y上求一點(diǎn)P,使得曲線在該點(diǎn)處的切線傾斜角為135,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi).考點(diǎn)幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題點(diǎn)冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)答案(2,1)解析y(4x2)8x3,設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),依題意,得8xtan1351,x02.又P(x0,y0)在曲線y上,y01.4.設(shè)正弦函數(shù)ysinx上一點(diǎn)P,以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線為直線l,則直線l的傾斜角的取值范圍為_(kāi).考點(diǎn)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式題點(diǎn)正弦、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)答案解析(sinx)cosx,klcosx,1kl1,l.5.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)ycos;(2)y;(3)y;(4)ylgx;(5)y5x;(6)ycos.考點(diǎn)幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題點(diǎn)幾個(gè)常用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用解(1)y0.(2)yx5,y(x5)5x6.(3)y,y().(4)y.(5)y5xln5.(6)ycossinx,y(sinx)cosx.1.利用常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可以比較簡(jiǎn)便地求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),其關(guān)鍵是牢記和運(yùn)用好導(dǎo)數(shù)公式.解題時(shí),能認(rèn)真觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,積極地進(jìn)行聯(lián)想化歸.2.有些函數(shù)可先化簡(jiǎn)再應(yīng)用公式求導(dǎo).如求y12sin2的導(dǎo)數(shù).因?yàn)閥12sin2cosx,所以y(cosx)sinx.3.對(duì)于正弦、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù),一是注意函數(shù)名稱的變化,二是注意函數(shù)符號(hào)的變化.一、填空題1.已知f(x)sinx,則f_.考點(diǎn)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式題點(diǎn)正弦、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)答案0解析f(x)cosx,f0.2.若f(x)x3,f(x0)3,則x0的值是_.考點(diǎn)幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題點(diǎn)冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)答案1解析f(x0)3x3,x01.3.已知f(x),g(x)mx,且g(2),則m_.考點(diǎn)幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題點(diǎn)冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)答案4解析f(x),f(2),又g(x)m,g(2)m,由g(2),得m4.4.曲線yf(x)lnx在xa處的切線傾斜角為,則a_.考點(diǎn)幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題點(diǎn)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)答案1解析y,f(a)1.a1.5.下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為_(kāi).f(x)ln2,則f(x);f(x),則f(3);f(x)2x,則f(x)2xln2;f(x)log2x,則f(x).考點(diǎn)幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題點(diǎn)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)答案3解析f(x)ln2為常數(shù),所以f(x)0,錯(cuò).均正確.6.曲線yex在點(diǎn)(2,e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為_(kāi).考點(diǎn)幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題點(diǎn)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)答案e2解析y(ex)ex,ke2,曲線在點(diǎn)(2,e2)處的切線方程為ye2e2(x2),即ye2xe2.當(dāng)x0時(shí),ye2;當(dāng)y0時(shí),x1.S1|e2|e2.7.過(guò)曲線y上一點(diǎn)P的切線的斜率為4,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi).考點(diǎn)幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題點(diǎn)冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)答案或解析y(x1)4,x2,x.切點(diǎn)坐標(biāo)為或.8.已知直線ykx是曲線yex的切線,則實(shí)數(shù)k的值為_(kāi).考點(diǎn)幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題點(diǎn)指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)答案e解析yex,設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),則x0,x01,ke.9.曲線ylog2x在點(diǎn)(1,0)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為_(kāi).考點(diǎn)幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題點(diǎn)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)答案log2e解析y,k,切線方程為y(x1),三角形面積為S1log2e.10.已知f(x)cosx,g(x)x,則關(guān)于x的不等式f(x)g(x)0的解集為_(kāi).考點(diǎn)幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題點(diǎn)幾個(gè)常用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用答案解析f(x)sinx,g(x)1,由f(x)g(x)0,得sinx10,即sinx1,則sinx1,解得x2k,kZ,其解集為.二、解答題11.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)f(x)log2x2log2x;(2)f(x)2x;(3)f(x)2sin;(4)y(1).考點(diǎn)幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題點(diǎn)幾個(gè)常用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用解(1)f(x)log2x2log2x2log2xlog2xlog2x,f(x)(log2x).(2)f(x)2x2x2x,f(x)(x1)x2.(3)f(x)2sinsinx.f(x)(sinx)cosx.(4)f(x)(1)11f(x)().12.若曲線y在點(diǎn)(a,)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為18,求a的值.考點(diǎn)幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題點(diǎn)冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解y,y,曲線在點(diǎn)(a,a)處的切線斜率ka,切線方程為y.令x0,得y;令y0,得x3a.該切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S3a18,a64.13.已知曲線yf(x)5(x0),求:(1)曲線上與直線y2x4平行的切線方程;(2)過(guò)點(diǎn)P(0,5),且與曲線相切的切線方程.考點(diǎn)幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題點(diǎn)冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解(1)設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),由yf(x)5,得f(x0).因?yàn)榍芯€與直線y2x4平行,所以2,解得x0,所以y0.故所求切線方程為y2,即16x8y250.(2)因?yàn)辄c(diǎn)P(0,5)不在曲線y5上,所以設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為M(x1,y1),則切線斜率為(x10),又因?yàn)榍芯€斜率為,所以,解得x14(x10舍去).所以切點(diǎn)為M(4,10),斜率為,故切線方程為y10(x4),即5x4y200.三、探究與拓展14.已知函數(shù)f(x)1(a0)的圖象在x1處的切線為l,則l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值為_(kāi).考點(diǎn)幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題點(diǎn)冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)答案1解析f(x),f(1).又f(1)1,f(x)在x1處的切線l的方程是y1(x1).l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S(22)1.故l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值為1.15.點(diǎn)P是曲線yex上任意一點(diǎn),求點(diǎn)P到直線yx的最小距離.考點(diǎn)幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題點(diǎn)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解如圖,當(dāng)曲線yex在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線與直線yx平行時(shí),點(diǎn)P到直線yx的距離最近.則曲線yex在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線斜率為1,又y(ex)ex,所以1,得x00,代入yex,得y01,即P(0,1).利用點(diǎn)到直線的距離公式得最小距離為.- 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