2018-2019高中數(shù)學 第3章 導數(shù)及其應用 3.3.1 單調性學案 蘇教版選修1 -1.docx
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3.3.1單調性學習目標1.結合實例,直觀探索并掌握函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系.2.能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,并能夠利用單調性證明一些簡單的不等式.3.會用導數(shù)法求函數(shù)的單調區(qū)間(其中多項式函數(shù)一般不超過三次).知識點函數(shù)的單調性與導函數(shù)正負的關系思考1觀察下列各圖,完成表格內容.函數(shù)及其圖象切線斜率k正負導數(shù)正負單調性正正1,)上單調遞增正正R上單調遞增負負(0,)上單調遞減負負(0,)上單調遞減負負(,0)上單調遞減思考2依據(jù)上述分析,可得出什么結論?答案一般地,設函數(shù)yf(x),在區(qū)間(a,b)上,如果f(x)0,則f(x)在該區(qū)間上單調遞增;如果f(x)0k0銳角上升單調遞增f(x)0k0,那么f(x)在區(qū)間(a,b)內單調遞增.()2.如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上單調遞增,那么它在區(qū)間(a,b)上都有f(x)0.()3.函數(shù)yx3x25x5的單調遞增區(qū)間是和(1,).()4.函數(shù)f(x)lnxax(a0)的單調增區(qū)間為.()類型一求函數(shù)的單調區(qū)間例1求f(x)3x22lnx的單調區(qū)間.考點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性題點不含參數(shù)求單調區(qū)間解f(x)3x22lnx的定義域為(0,).f(x)6x,由x0,解f(x)0,得x;由x0,解f(x)0,得0x0,函數(shù)在定義域內的解集上為增函數(shù);(4)解不等式f(x)0,(x2)20.由f(x)0,得x3,所以函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(3,);由f(x)0,得x0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,)上為增函數(shù);當a0時,由g(x)0,得x或x(舍去).當x時,g(x)0,即f(x)0,即f(x)0.所以當a0時,函數(shù)f(x)在區(qū)間上為減函數(shù),在區(qū)間上為增函數(shù).綜上,當a0時,函數(shù)f(x)的單調增區(qū)間是(0,);當a0時,函數(shù)f(x)的單調增區(qū)間是,單調減區(qū)間是.引申探究若將本例改為f(x)ax2lnx(aR)呢?解f(x)2ax,當a0時,且x(0,),f(x)0時,令f(x)0,解得x或x(舍去).當x時,f(x)0,f(x)為增函數(shù).綜上所述,當a0時,函數(shù)f(x)在(0,)上為減函數(shù);當a0時,f(x)在上為減函數(shù),在上為增函數(shù).反思與感悟(1)在判斷含有參數(shù)的函數(shù)的單調性時,不僅要考慮到參數(shù)的取值范圍,而且要結合函數(shù)的定義域來確定f(x)的符號,否則會產(chǎn)生錯誤.(2)分類討論是把整個問題劃分為若干個局部問題,在每一個局部問題中,原先的不確定因素就變成了確定性因素,當這些局部問題都解決了,整個問題就解決了.跟蹤訓練2已知函數(shù)f(x)4x33tx26t2xt1,其中xR,tR.當t0時,求f(x)的單調區(qū)間.考點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性題點求含參數(shù)函數(shù)的單調區(qū)間解f(x)12x26tx6t26(xt)(2xt),令f(x)0,得x1t,x2.當t0,x時,f(x)0,此時f(x)為增函數(shù),同理當x(t,)時,f(x)也為增函數(shù).當t0,x時,f(x)0,此時f(x)為增函數(shù),當t0時,f(x)的增區(qū)間為(,t),f(x)的減區(qū)間為.綜上所述,當t0時,f(x)的單調增區(qū)間是(,t),單調減區(qū)間是.類型二證明函數(shù)的單調性問題例3證明:函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調遞減.考點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性題點證明函數(shù)的單調性證明f(x),又x,則cosx0,xcosxsinx0,f(x)(或)0,則f(x)為單調遞增(或遞減)函數(shù);但要特別注意,f(x)為單調遞增(或遞減)函數(shù),則f(x)(或)0.跟蹤訓練3證明:函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,e)上是增函數(shù).考點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性題點證明函數(shù)的單調性證明f(x),f(x).又0xe,lnx0,故f(x)在區(qū)間(0,e)上是增函數(shù).類型三已知函數(shù)的單調性求參數(shù)范圍例4已知函數(shù)f(x)x2(x0,常數(shù)aR).若函數(shù)f(x)在x2,)上單調遞增,求a的取值范圍.考點利用函數(shù)單調性求變量題點已知函數(shù)單調性求參數(shù)解f(x)2x.要使f(x)在2,)上單調遞增,則f(x)0在x2,)時恒成立,即0在x2,)時恒成立.x20,2x3a0,a2x3在x2,)時恒成立.a(2x3)min.當x2,)時,y2x3是單調遞增的,(2x3)min16,a16.當a16時,f(x)0(x2,),有且只有 f(2)0,a的取值范圍是(,16.反思與感悟已知函數(shù)的單調性,求函數(shù)解析式中參數(shù)的取值范圍,可轉化為不等式恒成立問題,一般地,函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調遞增(或減),轉化為不等式f(x)0(f(x)0)在區(qū)間I上恒成立,再用有關方法可求出參數(shù)的取值范圍.跟蹤訓練4已知函數(shù)f(x)x3ax2(a1)x2在區(qū)間1,2上為減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.考點利用函數(shù)單調性求變量題點已知函數(shù)單調性求參數(shù)解方法一f(x)x2ax(a1),因為函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上為減函數(shù),所以f(x)0,即x2ax(a1)0,解得ax1.因為在1,2上,ax1恒成立,所以a(x1)max1.所以a的取值范圍是1,).方法二f(x)(x1)x(a1),由于函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上為減函數(shù),所以f(x)0,當a2時,解得1xa1,即減區(qū)間為1,a1,則1,21,a1,得a1.當a2時,解得減區(qū)間為a1,1,則函數(shù)f(x)不可能在1,2上為減函數(shù),故a1.所以實數(shù)a的取值范圍是1,).1.函數(shù)f(x)2x33x21的單調遞增區(qū)間是_,單調遞減區(qū)間是_.考點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性題點不含參數(shù)求單調區(qū)間答案(,0)和(1,)(0,1)解析f(x)6x26x,令f(x)0,得x1,令f(x)0,得0x0,解得x0.3.函數(shù)f(x)lnxax(a0)的單調遞增區(qū)間為_.考點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性題點求含參數(shù)函數(shù)的單調區(qū)間答案解析f(x)的定義域為x|x0,由f(x)a0,得0x.4.若函數(shù)yx3ax24在(0,2)上單調遞減,則實數(shù)a的取值范圍為_.考點利用函數(shù)單調性求變量題點已知函數(shù)單調性求參數(shù)答案3,)解析y3x22axx(3x2a),由題意知x(0,2),y0,即x(3x2a)0,得0xa,則2,即a3.5.求函數(shù)f(x)(xk)ex的單調區(qū)間.考點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性題點求含參數(shù)函數(shù)的單調區(qū)間解f(x)ex(xk)ex(xk1)ex,當xk1時,f(x)k1時,f(x)0,所以f(x)的單調遞減區(qū)間是(,k1),單調遞增區(qū)間為(k1,).1.導數(shù)的符號反映了函數(shù)在某個區(qū)間上的單調性,導數(shù)絕對值的大小反映了函數(shù)在某個區(qū)間或某點附近變化的快慢程度.2.利用導數(shù)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間的一般步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域;(2)求導數(shù)f(x);(3)在函數(shù)f(x)的定義域內解不等式f(x)0和f(x)0,所以在(4,5)上f(x)是增函數(shù).2.函數(shù)f(x)x2sinx在(0,)上的單調遞增區(qū)間為_.考點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性題點不含參數(shù)求單調區(qū)間答案解析令f(x)12cosx0,得cosx,又x(0,),所以x.3.函數(shù)yx2lnx的單調遞減區(qū)間是_.考點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性題點不含參數(shù)求單調區(qū)間答案(0,1)解析yx2lnx的定義域為(0,),yx,令y0,即x0,解得0x1或x0,0x1.4.若函數(shù)f(x)x2在(1,)上單調遞增,則實數(shù)a的取值范圍為_.考點利用函數(shù)單調性求變量題點已知函數(shù)單調性求參數(shù)答案2,)解析f(x)2x.令f(x)0,即2x0,則a2x3,由于g(x)2x3在(1,)上滿足g(x)g(1)2,要使a2x3在(1,)上恒成立,應有a2.5.已知函數(shù)f(x)x3ax4,則“a0”是“f(x)在R上單調遞增”的_條件.考點利用函數(shù)單調性求變量題點已知函數(shù)單調性求參數(shù)答案充分不必要解析f(x)x2a,當a0時,f(x)0恒成立,故“a0”是“f(x)在R上單調遞增”的充分不必要條件.6.函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,f(x)為函數(shù)f(x)的導函數(shù),則不等式0的解集為_.考點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性題點解不等式答案(3,1)(0,1)解析由題圖知,當x(,3)(1,1)時,f(x)0,故不等式2時,g(x)0,即g(x)在(2,)上單調遞增,m2.8.已知函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x),且當x時,f(x)exsinx,則f(1),f(2),f(3)的大小關系為_.考點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性題點比較函數(shù)值的大小答案f(2)f(1)f(3)解析由f(x)f(x),得f(2)f(2),f(3)f(3),由f(x)exsinx得函數(shù)在上單調遞增,又3120).令x0,解得00且a13,解得1a2.10.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)1,f(x)2x1的x的取值范圍為_.考點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性題點解不等式答案(,1)解析令g(x)f(x)2x1,則g(x)f(x)2g(1)0時,x0,即f(x)2x1的解集為(,1).二、解答題11.設函數(shù)f(x)ax3bx2c,其中ab0,a,b,c均為常數(shù),曲線yf(x)在(1,f(1)處的切線方程為xy10.(1)求a,b,c的值;(2)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間.考點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性題點單調性的綜合運用解(1)因為f(x)3ax22bx,所以f(1)3a2b.又因為切線xy1的斜率為1,所以3a2b1,又ab0,解得a1,b1,所以f(1)abcc.由點(1,c)在直線xy1上,可得1c1,即c0,所以a1,b1,c0.(2)由(1)知,f(x)x3x2,令f(x)3x22x0,解得x10,x2.當x(,0)時,f(x)0;當x時,f(x)0,所以f(x)的增區(qū)間為,減區(qū)間為(,0)和.12.已知函數(shù)f(x)x3ax1.(1)若f(x)在實數(shù)集R上單調遞增,求a的取值范圍;(2)是否存在實數(shù)a,使f(x)在(1,1)上單調遞減,若存在,求出a的取值范圍,若不存在,請說明理由.考點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性題點不含參數(shù)求單調區(qū)間解(1)求導得f(x)3x2a,因為f(x)在R上是增函數(shù),所以f(x)0在R上恒成立.即3x2a0在R上恒成立.即a3x2,而3x20,所以a0.當a0時,f(x)x31在R上單調遞增,符合題意.所以a的取值范圍是(,0.(2)假設存在實數(shù)a,使f(x)在(1,1)上單調遞減,則f(x)0在(1,1)上恒成立.即3x2a0在(1,1)上恒成立,即a3x2,又因為在(1,1)上,03x23,所以a3.當a3時,f(x)3x23,在(1,1)上,f(x)0,f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,);當a0時,f(x),當x變化時,f(x),f(x)的變化情況如下表:x(0,)(,)f(x)0f(x)單調遞減單調遞增由上表可知,函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間是(0,),單調遞增區(qū)間是(,).(2)由g(x)x22alnx,得g(x)2x,已知函數(shù)g(x)為1,2上的單調減函數(shù),則g(x)0在1,2上恒成立,即2x0在1,2上恒成立,即ax2在1,2上恒成立.令h(x)x2,則h(x)2x0,x1,2,所以h(x)在1,2上為減函數(shù),h(x)minh(2),所以a.故實數(shù)a的取值范圍為.三、探究與拓展14.若(x)lnx在1,)上是減函數(shù),則實數(shù)m的取值范圍為_.考點利用函數(shù)單調性求變量題點已知函數(shù)單調性求參數(shù)答案(,2解析(x)lnx在1,)上是減函數(shù).(x)0在1,)上恒成立.即x2(2m2)x10在1,)上恒成立,則2m2x,x1,),x2,),2m22,m2.故實數(shù)m的取值范圍為(,2.15.已知函數(shù)f(x)alnxax3(aR).(1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;(2)若函數(shù)yf(x)的圖象在點(2,f(2)處的切線的傾斜角為45,對于任意的t1,2,函數(shù)g(x)x3x2在區(qū)間(t,3)上總不是單調函數(shù),求m的取值范圍.考點利用函數(shù)單調性求變量題點已知函數(shù)單調性求參數(shù)解(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,),且f(x).當a0時,f(x)的增區(qū)間為(0,1),減區(qū)間為(1,);當a0時,f(x)的增區(qū)間為(1,),減區(qū)間為(0,1);當a0時,f(x)不是單調函數(shù).(2)由(1)及題意得f(2)1,即a2,f(x)2lnx2x3,f(x).g(x)x3x22x,g(x)3x2(m4)x2.g(x)在區(qū)間(t,3)上總不是單調函數(shù),即g(x)0在區(qū)間(t,3)上有變號零點.g(0)2,當g(t)0,即3t2(m4)t20對任意t1,2恒成立,由于g(0)0,故只要g(1)0且g(2)0,即m5且m9,即m9;由g(3)0,即m.m9.即實數(shù)m的取值范圍是.- 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- 2018-2019高中數(shù)學 第3章 導數(shù)及其應用 3.3.1 單調性學案 蘇教版選修1 -1 2018 2019 高中數(shù)學 導數(shù) 及其 應用 3.3 單調 性學 蘇教版 選修
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