2020高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 課下層級訓(xùn)練42 直線的交點坐標與距離公式（含解析）文 新人教A版.doc

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課下層級訓(xùn)練(四十二)　直線的交點坐標與距離公式 [A級　基礎(chǔ)強化訓(xùn)練] 1．命題p：“a＝－2”是命題q：“直線ax＋3y－1＝0與直線6x＋4y－3＝0垂直”成立的(　　) A．充要條件　　　　　　　 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 A　[直線ax＋3y－1＝0與直線6x＋4y－3＝0垂直的充要條件是6a＋12＝0，即a＝－2.] 2．(2019湖南衡陽月考)三條直線l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0圍成一個三角形，則k的取值范圍為(　　) A．{k|k≠5且k≠1} B．{k|k≠5且k≠－10} C．{k|k≠1且k≠0} D．{k|k≠5} B　[三條直線圍成一個三角形，則三條直線互不平行，且不過同一點，∴－k5≠0，且51－k－15≠0，∴k≠5且k≠－10. ] 3．(2019山東臨沂聯(lián)考)數(shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線．已知△ABC的頂點A(2,0)，B(0,4)，若其歐拉線的方程為x－y＋2＝0，則頂點C的坐標是(　　) A．(－4,0) B．(0，－4) C．(4,0) D．(4,0)或(－4,0) A　[當頂點C的坐標是(－4,0)時，三角形重心坐標為，在歐拉線上，對于其他選項，三角形重心都不在歐拉線上．] 4．從點(2,3)射出的光線沿與向量a＝(8,4)平行的直線射到y(tǒng)軸上，則反射光線所在的直線方程為(　　) A．x＋2y－4＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x＋6y－16＝0 D．6x＋y－8＝0 A　[由直線與向量a＝(8,4)平行知，過點(2,3)的直線的斜率k＝，所以直線的方程為y－3＝(x－2)，其與y軸的交點坐標為(0,2)，又點(2,3)關(guān)于y軸的對稱點為(－2,3)，所以反射光線過點(－2，3)與(0,2)，由兩點式知A正確．] 5．直線l1過點(－2,0)且傾斜角為30，直線l2過點(2,0)且與直線l1垂直，則直線l1與直線l2的交點坐標為__________． (1，)　[直線l1：x－3y＋2＝0，直線l2：x＋y－2＝0，聯(lián)立方程組可求得x＝1，y＝.] 6．已知兩點A(－m,0)和B(2＋m,0)(m>0)，若在直線l：x＋y－9＝0上存在點P，使得PA⊥PB，則實數(shù)m的取值范圍是__________． m≥3　[設(shè)P(x，y)，則kPA＝，kPB＝， 由已知可得 消去x得4y2－16y＋63－m2－2m＝0， 由題意得 解得m≥3.] 7．已知0＜k＜4，直線l1：kx－2y－2k＋8＝0和直線l2：2x＋k2y－4k2－4＝0與兩坐標軸圍成一個四邊形，則使得這個四邊形面積最小的k值為__________． 　[由題意知直線l1，l2恒過定點P(2,4)，直線l1的縱截距為4－k，直線l2的橫截距為2k2＋2，如圖， 所以四邊形的面積S＝2k22＋(4－k＋4)2＝4k2－k＋8，故面積最小時，k＝.] 8．已知兩直線l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求滿足下列條件的a，b的值． (1)l1⊥l2，且直線l1過點(－3，－1)； (2)l1∥l2，且坐標原點到這兩條直線的距離相等． 解　(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0． 又∵直線l1過點(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0． 故a＝2，b＝2． (2)∵直線l2的斜率存在，l1∥l2， ∴直線l1的斜率存在． ∴k1＝k2，即＝1－a． 又∵坐標原點到這兩條直線的距離相等， ∴l(xiāng)1，l2在y軸上的截距互為相反數(shù)，即＝b． 故a＝2，b＝－2或a＝，b＝2． 9．已知直線l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及點P(3,4)． (1)證明直線l過某定點，并求該定點的坐標； (2)當點P到直線l的距離最大時，求直線l的方程． (1)證明　直線l的方程可化為a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0，由得 所以直線l恒過定點(－2,3)． (2)解　由(1)知直線l恒過定點A(－2,3)， 當直線l垂直于直線PA時，點P到直線l的距離最大． 又直線PA的斜率kPA＝＝， 所以直線l的斜率kl＝－5． 故直線l的方程為y－3＝－5(x＋2)， 即5x＋y＋7＝0． [B級　能力提升訓(xùn)練] 10．若直線l1：y＝k(x－4)與直線l2關(guān)于點(2,1)對稱，則直線l2恒過定點(　　) A．(0,4) B．(0,2) C．(－2,4) D．(4，－2) B　[直線l1：y＝k(x－4)恒過定點(4,0)，其關(guān)于點(2,1)對稱的點為(0,2)．又由于直線l1：y＝k(x－4)與直線l2關(guān)于點(2,1)對稱，故直線l2恒過定點(0,2)．] 11．已知動直線l：ax＋by＋c－2＝0(a>0，c>0)恒過點P(1，m)且Q(4，0)到動直線l的最大距離為3，則＋的最小值為(　　) A． 　　　 B． 　　　 C．1　　　 D．9 B　[因為動直線l：ax＋by＋c－2＝0(a>0，c>0)恒過點P(1，m)，所以a＋bm＋c－2＝0，又因為Q(4,0)到動直線l的最大距離為3，所以＝3，解得m＝0.所以a＋c＝2，則＋＝(a＋c)＝≥ ＝，當且僅當c＝2a＝時取等號．] 12．(2018吉林延邊模擬)P點在直線3x＋y－5＝0上，且P點到直線x－y－1＝0的距離為，則P點坐標為__________． (1, 2)或(2, －1)　[設(shè)P點坐標為(x,5－3x)，則P點到直線x－y－1＝0的距離d＝＝＝，所以|2x－3|＝1，所以x＝1或x＝2. 所以P點坐標為(1, 2)或(2，－1)．] 13．已知M(x，y)為曲線C：＋＝1上任意一點，且A(－3,0)，B(3,0)，則|MA|＋|MB|的最大值是__________． 8　[原曲線方程可化為＋＝1，作圖如下： 由上圖可得要使|MA|＋|MB|取得最大值，則M必須在菱形的頂點處，不妨取M(0，)，或M(4,0)，均可求得|MA|＋|MB|＝8，故|MA|＋|MB|的最大值為8.] 14．已知直線l經(jīng)過直線2x＋y－5＝0與x－2y＝0的交點P． (1)點A(5,0)到l的距離為3，求l的方程； (2)求點A(5,0)到l的距離的最大值． 解　(1)經(jīng)過兩已知直線交點的直線系方程為 (2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0， ∴＝3，解得λ＝2或λ＝． ∴l(xiāng)的方程為x＝2或4x－3y－5＝0． (2)由解得交點P(2,1)． 如圖，過P作任一直線l，設(shè)d為點A到l的距離， 則d≤|PA|(當l⊥PA時等號成立)． ∴dmax＝|PA|＝． 15．一條光線經(jīng)過點P(2,3)射在直線l∶x＋y＋1＝0上，反射后經(jīng)過點Q(1,1)，求： (1)入射光線所在直線的方程； (2)這條光線從P到Q所經(jīng)路線的長度． 解　(1)設(shè)點Q′(x′，y′)為Q關(guān)于直線l的對稱點，QQ′交l于M點，∵kl＝－1，∴kQQ′＝1， ∴QQ′所在直線的方程為y－1＝1(x－1)，即x－y＝0． 由解得 ∴交點M，∴ 解得∴Q′(－2，－2)． 設(shè)入射光線與l交于點N，則P，N，Q′三點共線， 又P(2,3)，Q′(－2，－2)， 故入射光線所在直線的方程為 ＝，即5x－4y＋2＝0． (2)|PN|＋|NQ|＝|PN|＋|NQ′|＝|PQ′| ＝＝， 即這條光線從P到Q所經(jīng)路線的長度為．