2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第二講 講明不等式的基本方法復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教A版選修4-5.docx

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第二講 講明不等式的基本方法 復(fù)習(xí)課 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.系統(tǒng)梳理證明不等式的基本方法.2.進(jìn)一步體會(huì)不同方法所適合的不同類型的問題，針對(duì)不同類型的問題，合理選用不同的方法.3.進(jìn)一步熟練掌握不同方法的解題步驟及規(guī)范． 1．比較法 作差比較法是證明不等式的基本方法，其依據(jù)是：不等式的意義及實(shí)數(shù)大小比較的充要條件．證明的步驟大致是：作差——恒等變形——判斷結(jié)果的符號(hào)． 2．綜合法 綜合法證明不等式的依據(jù)是：已知的不等式以及邏輯推理的基本理論．證明時(shí)要注意的是作為依據(jù)和出發(fā)點(diǎn)的幾個(gè)重要不等式(已知或已證)成立的條件往往不同，應(yīng)用時(shí)要先考慮是否具備應(yīng)有的條件，避免錯(cuò)誤，如一些帶等號(hào)的不等式，應(yīng)用時(shí)要清楚取等號(hào)的條件，即對(duì)重要不等式中“當(dāng)且僅當(dāng)……時(shí)，取等號(hào)”的理由要理解掌握． 3．分析法 分析法證明不等式的依據(jù)也是不等式的基本性質(zhì)、已知的重要不等式和邏輯推理的基本理論．分析法證明不等式的思維方向是“逆推”，即從待證的不等式出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件(執(zhí)果索因)，最后得到的充分條件是已知(或已證)的不等式． 一般來說，對(duì)于較復(fù)雜的不等式，直接用綜合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法可結(jié)合使用． 4．反證法 反證法是一種“正難則反”的方法，反證法適用的范圍： ①直接證明困難；②需要分成很多類進(jìn)行討論；③“唯一性”“存在性”的命題；④結(jié)論中含有“至少”“至多”否定性詞語的命題． 5．放縮法 放縮法就是將不等式的一邊放大或縮小，尋找一個(gè)中間量，常用的放縮技巧有：①舍掉(或加進(jìn))一些項(xiàng)；②在分式中放大或縮小分子或分母；③用基本不等式放縮. 類型一　比較法證明不等式 例1　若x，y，z∈R，a＞0，b＞0，c＞0.求證：x2＋y2＋z2≥2(xy＋yz＋zx)． 證明　∵x2＋y2＋z2－2(xy＋yz＋zx) ＝＋＋ ＝2＋2＋2≥0， ∴x2＋y2＋z2≥2(xy＋yz＋zx)成立． 反思與感悟　作差法證明不等式的關(guān)鍵是變形，變形是證明推理中一個(gè)承上啟下的關(guān)鍵，變形的目的在于判斷差的符號(hào)，而不是考慮能否化簡(jiǎn)或值是多少，變形所用的方法要具體情況具體分析，可以配方，可以因式分解，可以運(yùn)用一切有效的恒等變形的方法． 跟蹤訓(xùn)練1　設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，0＜n＜1,0＜m＜1，m＋n＝1，求證：＋≥(a＋b)2. 證明?。?a＋b)2 ＝－ ＝ ＝＝≥0， ∴＋≥(a＋b)2. 類型二　綜合法與分析法證明不等式 例2　已知a，b，c∈R＋，且ab＋bc＋ca＝1，求證： (1)a＋b＋c≥； (2)＋＋≥(＋＋)． 證明　(1)要證a＋b＋c≥，由于a，b，c∈R＋， 因此只需證(a＋b＋c)2≥3， 即證a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3， 根據(jù)條件，只需證a2＋b2＋c2≥1＝ab＋bc＋ca， 由ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)取等號(hào))可知，原不等式成立． (2)＋＋＝， 在(1)中已證a＋b＋c≥， ∵ab＋bc＋ca＝1， ∴要證原不等式成立，只需證≥＋＋， 即證a＋b＋c≤1＝ab＋bc＋ca. ∵a，b，c∈R＋，a＝≤， b≤，c≤， ∴a＋b＋c≤ab＋bc＋ca(a＝b＝c＝時(shí)取等號(hào))成立， ∴原不等式成立． 反思與感悟　證明比較復(fù)雜的不等式時(shí)，考慮分析法與綜合法的結(jié)合使用，這樣使解題過程更加簡(jiǎn)潔． 跟蹤訓(xùn)練2　已知a＞b＞c，求證：＋＋＞0. 證明　方法一　要證＋＋＞0， 只需證＋＞. ∵a＞b＞c， ∴a－c＞a－b＞0，b－c＞0， ∴＞，＞0， ∴＋＞成立， ∴＋＋＞0成立． 方法二　∵a＞b＞c， ∴a－c＞a－b＞0，b－c＞0， ∴＞，＞0， ∴＋＞， ∴＋＋＞0. 類型三　反證法證明不等式 例3　若x，y都是正實(shí)數(shù)，且x＋y>2，求證：<2或<2中至少有一個(gè)成立． 證明　假設(shè)<2和<2都不成立， 則≥2和≥2同時(shí)成立． 因?yàn)閤>0且y>0，所以1＋x≥2y且1＋y≥2x， 兩式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2. 這與已知x＋y>2矛盾． 故<2或<2中至少有一個(gè)成立． 反思與感悟　反證法的“三步曲”：(1)否定結(jié)論．(2)推出矛盾．(3)肯定結(jié)論．其核心是在否定結(jié)論的前提下推出矛盾． 跟蹤訓(xùn)練3　已知函數(shù)y＝f(x)在R上是增函數(shù)，且f(a)＋f(－b)＜f(b)＋f(－a)，求證：a＜b. 證明　假設(shè)a＜b不成立，則a＝b或a＞b. 當(dāng)a＝b時(shí)，－a＝－b，則有f(a)＝f(b)，f(－a)＝f(－b)， 于是f(a)＋f(－b)＝f(b)＋f(－a)與已知矛盾． 當(dāng)a＞b時(shí)，－a＜－b，由函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性，可得f(a)＞f(b)，f(－b)＞f(－a)， 于是有f(a)＋f(－b)＞f(b)＋f(－a)與已知矛盾．故假設(shè)不成立． ∴a＜b. 類型四　放縮法證明不等式 例4　已知n∈N＋，求證：2(－1)＜1＋＋＋…＋＜2. 證明　∵對(duì)k∈N＋，1≤k≤n，有 ＝＞＝2(－)， ∴＞2(－)． ∴1＋＋＋…＋＞2(－1)＋2(－)＋…＋2(－)＝2(－1)． 又∵對(duì)于k∈N＋，2≤k≤n，有 ＝＜＝2(－)， ∴1＋＋＋…＋＜1＋2(－1)＋2(－)＋…＋2(－) ＝2－1＜2. ∴原不等式成立． 反思與感悟　放縮法是在順推法邏輯推理過程中，有時(shí)利用不等式關(guān)系的傳遞性作適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小，證明比原不等式更強(qiáng)的不等式來代替原不等式的一種證明方法． 放縮法的實(shí)質(zhì)是非等價(jià)轉(zhuǎn)化，放縮沒有一定的準(zhǔn)則和程序，需按題意適當(dāng)放縮，否則達(dá)不到目的． 跟蹤訓(xùn)練4　設(shè)f(x)＝x2－x＋13，a，b∈[0,1]， 求證：|f(a)－f(b)|≤|a－b|. 證明　|f(a)－f(b)|＝|a2－a－b2＋b| ＝|(a－b)(a＋b－1)|＝|a－b||a＋b－1|， ∵0≤a≤1,0≤b≤1，∴0≤a＋b≤2， －1≤a＋b－1≤1，|a＋b－1|≤1. ∴|f(a)－f(b)|≤|a－b|. 1．已知p: ab＞0，q：＋≥2，則p與q的關(guān)系是(　　) A．p是q的充分不必要條件 B．p是q的必要不充分條件 C．p是q的充要條件 D．以上答案都不對(duì) 答案　C 解析　由ab＞0，得＞0，＞0， ∴＋≥2＝2， 又＋≥2，則，必為正數(shù)， ∴ab＞0. 2．實(shí)數(shù)a，b，c滿足a＋2b＋c＝2，則(　　) A．a(chǎn)，b，c都是正數(shù) B．a(chǎn)，b，c都大于1 C．a(chǎn)，b，c都小于2 D．a(chǎn)，b，c中至少有一個(gè)不小于 答案　D 解析　假設(shè)a，b，c都小于， 則a＋2b＋c<2與a＋2b＋c＝2矛盾． 3．若a＝，b＝，c＝，則(　　) A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c 答案　C 解析　a＝＝，b＝＝， ∵9＞8，∴b＞a. b與c比較：b＝＝，c＝＝， ∵35＞53，∴b＞c. a與c比較：a＝＝，c＝，∵32＞25，∴a＞c. ∴b＞a＞c， 故選C. 4．已知a，b∈R＋，n∈N＋， 求證：(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1)． 證明　∵(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1) ＝an＋1＋abn＋ban＋bn＋1－2an＋1－2bn＋1 ＝a(bn－an)＋b(an－bn) ＝(a－b)(bn－an)． (1)若a＞b＞0，則bn－an＜0，a－b＞0， ∴(a－b)(bn－an)＜0. (2)若b＞a＞0，則bn－an＞0，a－b＜0， ∴(a－b)(bn－an)＜0. (3)若a＝b＞0，(bn－an)(a－b)＝0. 綜上(1)(2)(3)可知，對(duì)于a，b∈R＋，n∈N＋，都有 (a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1)．  1．比較法證明不等式一般有兩種方法：作差法和作商法，作商法應(yīng)用的前提條件是已知不等式兩端的代數(shù)式同號(hào)． 2．由教材內(nèi)容可知，分析法是“執(zhí)果索因”，步步尋求上一步成立的充分條件，而綜合法是“由因?qū)Ч保瑑烧呤菍?duì)立統(tǒng)一的兩種方法． 3．證明不等式的基本方法及一題多證：證明不等式的基本方法主要有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等．證明不等式時(shí)既可探索新的證明方法，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)，也可一題多證，開闊思路，活躍思維，目的是通過證明不等式發(fā)展邏輯思維能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)． 一、選擇題 1．a(chǎn)，b∈R＋，那么下列不等式中不正確的是(　　) A.＋≥2 B.＋≥a＋b C.＋≤ D.＋≥ 答案　C 解析　A滿足基本不等式；B可等價(jià)變形為(a－b)2(a＋b)≥0正確；B選項(xiàng)中不等式的兩端同除以ab，不等式方向不變，所以C選項(xiàng)不正確；D選項(xiàng)是A選項(xiàng)中不等式的兩端同除以ab得到的，D正確． 2．設(shè)02>＝a， ∵－(x＋1)＝＝>0， ∴c>b>a. 3．若P＝＋，Q＝＋ (a≥0)，則P與Q的大小關(guān)系為(　　) A．P>Q B．P＝Q C．PB是sinA>sinB的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　C 解析　由正弦定理知＝＝2R， 又A，B為三角形的內(nèi)角， ∴sinA>0，sinB>0， ∴sinA>sinB?2RsinA>2RsinB?a>b?A>B. 二、填空題 7．lg9lg11與1的大小關(guān)系是________． 答案　lg9lg11＜1 解析　∵lg9＞0，lg11＞0， ∴＜＜＜＝1. ∴l(xiāng)g9lg11＜1. 8．當(dāng)x＞1時(shí)，x3與x2－x＋1的大小關(guān)系是________． 答案　x3＞x2－x＋1 解析　∵x3－(x2－x＋1)＝x3－x2＋x－1 ＝x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(x2＋1)，且x＞1， ∴(x－1)(x2＋1)＞0. ∴x3－(x2－x＋1)＞0， 即x3＞x2－x＋1. 9．用反證法證明“在△ABC中，若∠A是直角，則∠B是銳角”時(shí)，應(yīng)假設(shè)________． 答案　∠B不是銳角 解析　“∠B是銳角”的否定是“∠B不是銳角”． 10．建造一個(gè)容積為8m3，深為2m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價(jià)每平方米分別為120元和80元，那么水池的最低總造價(jià)為________元． 答案　1760 解析　設(shè)水池底長為x(x＞0)m， 則寬為＝(m)． 水池造價(jià)y＝120＋80＝480＋320≥480＋1 280＝1 760(元)， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時(shí)取等號(hào)． 三、解答題 11．求證：＋＋＋…＋＜2. 證明　因?yàn)椋迹剑?n∈N＋，n≥2)， 所以＋＋＋…＋＜1＋＋＋…＋ ＝1＋＋＋…＋ ＝2－＜2. 所以原不等式得證． 12．已知an＝＋＋＋…＋(n∈N＋)，求證：＜an＜. 證明　∵＞n， ∴an＝＋＋…＋＞1＋2＋…＋n＝. 又＜＝， ∴an＝＋＋…＋＜＋＋…＋＝＜. ∴＜an＜. 四、探究與拓展 13．已知a，b是正數(shù)，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，若＋≥，則等號(hào)成立的條件為________． 答案　ay＝bx 解析?。? ＝ ＝≥0， 當(dāng)且僅當(dāng)ay＝bx時(shí)等號(hào)成立． 14．設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn滿足S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N＋. (1)求a1的值； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (3)證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有＋＋…＋＜. (1)解　令n＝1，得S－(－1)S1－32＝0， 即S＋S1－6＝0，所以(S1＋3)(S1－2)＝0， 因?yàn)镾1＞0，所以S1＝2，即a1＝2. (2)解　由S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0， 得(Sn＋3)[Sn－(n2＋n)]＝0， 因?yàn)閍n＞0(n∈N＋)，Sn＞0，從而Sn＋3＞0， 所以Sn＝n2＋n，所以當(dāng)n≥2時(shí)， an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n， 又a1＝2＝21，所以an＝2n(n∈N＋)． (3)證明　設(shè)k≥2，則＝＜＝， 所以＋＋＋…＋ ＜＋＝＋－＜. 所以＋＋…＋＜.