2018-2019高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線(xiàn)與方程 2.4.1 拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案 蘇教版選修1 -1.docx
《2018-2019高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線(xiàn)與方程 2.4.1 拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案 蘇教版選修1 -1.docx》由會(huì)員分享,可在線(xiàn)閱讀,更多相關(guān)《2018-2019高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線(xiàn)與方程 2.4.1 拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案 蘇教版選修1 -1.docx(13頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
2.4.1拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握拋物線(xiàn)的定義及焦點(diǎn)、準(zhǔn)線(xiàn)的概念.2.掌握拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過(guò)程.3.明確拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程中p的幾何意義,能解決簡(jiǎn)單的求拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程思考1在拋物線(xiàn)方程中p有何意義?拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向由什么決定?答案p是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離,拋物線(xiàn)方程中一次項(xiàng)決定開(kāi)口方向.思考2已知拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程,怎樣確定拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)位置和開(kāi)口方向?答案一次項(xiàng)變量為x(或y),則焦點(diǎn)在x軸(或y軸)上.若系數(shù)為正,則焦點(diǎn)在正半軸上;若系數(shù)為負(fù),則焦點(diǎn)在負(fù)半軸上.焦點(diǎn)確定,開(kāi)口方向也隨之確定.梳理拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種類(lèi)型圖形標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線(xiàn)方程xxyy1.拋物線(xiàn)y22x(p0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).()2.到定點(diǎn)的距離與到定直線(xiàn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線(xiàn).()3.拋物線(xiàn)的方程都是y關(guān)于x的二次函數(shù).()4.方程x22py是表示開(kāi)口向上的拋物線(xiàn).()類(lèi)型一求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程例1分別根據(jù)下列條件求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(0,2);(2)準(zhǔn)線(xiàn)方程為y;(3)焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離是5;(4)過(guò)點(diǎn)A(2,3).考點(diǎn)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)求拋物線(xiàn)方程解(1)因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上,且2,則p4.所以所求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x28y.(2)因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)平行于x軸,且在x軸上面,且,則p.所以所求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y.(3)由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為5知,p5.又焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上,所以所求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y210x.(4)由題意知,拋物線(xiàn)方程可設(shè)為y2mx(m0)或x2ny(n0).將點(diǎn)A(2,3)的坐標(biāo)代入,得32m2或22n3,m或n.所以所求拋物線(xiàn)方程為y2x或x2y.反思與感悟求拋物線(xiàn)方程,通常用待定系數(shù)法,若能確定拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)位置,則可設(shè)出拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程,求出p值即可.若拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)位置不確定,則要分情況討論.焦點(diǎn)在x軸上的拋物線(xiàn)方程可設(shè)為y2ax(a0),焦點(diǎn)在y軸上的拋物線(xiàn)方程可設(shè)為x2ay(a0).跟蹤訓(xùn)練1分別求滿(mǎn)足下列條件的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)過(guò)點(diǎn)(3,4);(2)焦點(diǎn)在直線(xiàn)x3y150上,且焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上;(3)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為.考點(diǎn)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)求拋物線(xiàn)方程解(1)方法一點(diǎn)(3,4)在第四象限,設(shè)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22px(p0)或x22p1y(p10).把點(diǎn)(3,4)分別代入y22px和x22p1y,得(4)22p3,322p1(4),即2p,2p1.所求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2x或x2y.方法二點(diǎn)(3,4)在第四象限,設(shè)拋物線(xiàn)的方程為y2ax(a0)或x2by(b0).把點(diǎn)(3,4)分別代入,可得a,b.所求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2x或x2y.(2)令x0,得y5;令y0,得x15,拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,5)或(15,0).所求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x220y或y260x.(3)由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為,得p,故所求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22x或y22x或x22y或x22y.類(lèi)型二求拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線(xiàn)方程例2已知拋物線(xiàn)的方程如下,求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程:(1)y26x;(2)3x25y0;(3)y4x2;(4)y2a2x(a0).考點(diǎn)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)拋物線(xiàn)方程的應(yīng)用解(1)由方程y26x知,拋物線(xiàn)開(kāi)口向左,2p6,p3,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線(xiàn)方程為x.(2)將3x25y0變形為x2y,知拋物線(xiàn)開(kāi)口向下,2p,p,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線(xiàn)方程為y.(3)將y4x2變形為x2y,可知拋物線(xiàn)開(kāi)口向上,2p,p,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線(xiàn)方程為y.(4)由方程y2a2x(a0)知,拋物線(xiàn)開(kāi)口向右,2pa2,p,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線(xiàn)方程為x.引申探究若將本例(4)中條件改為yax2(a0),結(jié)果又如何?解yax2可變形為x2y,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線(xiàn)方程為y.反思與感悟如果已知拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程,求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線(xiàn)方程時(shí),首先要判斷拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸和開(kāi)口方向.一次項(xiàng)的變量若為x(或y),則x軸(或y軸)是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸,一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)決定開(kāi)口方向.跟蹤訓(xùn)練2若拋物線(xiàn)y22px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),則p_,準(zhǔn)線(xiàn)方程為_(kāi).考點(diǎn)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)拋物線(xiàn)方程的應(yīng)用答案2x1解析由1知,p2,則準(zhǔn)線(xiàn)方程為x1.類(lèi)型三拋物線(xiàn)定義的應(yīng)用例3若位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)M到F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大,求點(diǎn)M的軌跡方程.考點(diǎn)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)拋物線(xiàn)方程的應(yīng)用解由于位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)M到F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大,所以動(dòng)點(diǎn)M到F的距離與它到直線(xiàn)l:x的距離相等.由拋物線(xiàn)的定義知,動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn),x為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn),其方程應(yīng)為y22px(p0)的形式,而,所以p1,2p2,故點(diǎn)M的軌跡方程為y22x(x0).反思與感悟滿(mǎn)足拋物線(xiàn)的定義,可直接利用定義寫(xiě)出軌跡方程,避免了繁瑣的化簡(jiǎn).跟蹤訓(xùn)練3平面上動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)的距離比點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離大1,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.考點(diǎn)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)拋物線(xiàn)方程的應(yīng)用解由題意知,動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1.由于點(diǎn)F(1,0)到y(tǒng)軸的距離為1,故當(dāng)x2,所以點(diǎn)B在拋物線(xiàn)內(nèi)部.過(guò)點(diǎn)B作BQ垂直于準(zhǔn)線(xiàn),垂足為點(diǎn)Q,交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P1,連結(jié)P1F.此時(shí),由拋物線(xiàn)定義知,P1QP1F.所以PBPFP1BP1QBQ314,即PBPF的最小值為4.反思與感悟解決最值問(wèn)題:在拋物線(xiàn)中求解與焦點(diǎn)有關(guān)的兩點(diǎn)間距離和的最小值時(shí),往往用拋物線(xiàn)的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化,即化折線(xiàn)為直線(xiàn)來(lái)解決最值問(wèn)題.跟蹤訓(xùn)練4已知直線(xiàn)l1:4x3y60和直線(xiàn)l2:x1,拋物線(xiàn)y24x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)l1和直線(xiàn)l2的距離之和的最小值是_.考點(diǎn)拋物線(xiàn)的定義題點(diǎn)由拋物線(xiàn)定義求最值答案2解析由題意知,直線(xiàn)l2:x1為拋物線(xiàn)y24x的準(zhǔn)線(xiàn).由拋物線(xiàn)的定義知,點(diǎn)P到l2的距離等于點(diǎn)P到拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F(1,0)的距離,故所求最值可轉(zhuǎn)化為在拋物線(xiàn)y24x上找一個(gè)點(diǎn)P,使得點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)和到直線(xiàn)l1的距離之和最小,最小值為F(1,0)到直線(xiàn)l1:4x3y60的距離,即d2.1.拋物線(xiàn)yx2的準(zhǔn)線(xiàn)方程是_.考點(diǎn)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)拋物線(xiàn)方程的應(yīng)用答案y1解析由yx2,得x24y,則拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在y軸正半軸上,且2p4,即p2,因此準(zhǔn)線(xiàn)方程為y1.2.設(shè)拋物線(xiàn)y28x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4,則點(diǎn)P到該拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離是_.考點(diǎn)拋物線(xiàn)的定義題點(diǎn)由拋物線(xiàn)定義求距離答案6解析拋物線(xiàn)y28x的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x2,則點(diǎn)P到準(zhǔn)線(xiàn)的距離是6.由拋物線(xiàn)的定義可知,點(diǎn)P到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離是6.3.根據(jù)下列條件寫(xiě)出拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)準(zhǔn)線(xiàn)方程為x1._.(2)焦點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離是2._.考點(diǎn)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)求拋物線(xiàn)方程答案(1)y24x(2)y24x解析(1)x1,p2.又焦點(diǎn)在x軸上,則拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y24x.(2)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為p2,且焦點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上,拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y24x.4.若橢圓1(p0)的左焦點(diǎn)在拋物線(xiàn)y22px的準(zhǔn)線(xiàn)上,則p為_(kāi).考點(diǎn)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)求拋物線(xiàn)方程答案解析由題意知,左焦點(diǎn)為,則c.a23,b2,3,得p.5.若拋物線(xiàn)y22px(p0)上有一點(diǎn)M,其橫坐標(biāo)為9,它到焦點(diǎn)的距離為10,求拋物線(xiàn)方程和M點(diǎn)的坐標(biāo).考點(diǎn)拋物線(xiàn)的定義題點(diǎn)由拋物線(xiàn)定義求點(diǎn)坐標(biāo)解由拋物線(xiàn)定義,設(shè)焦點(diǎn)為F.則該拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x.由題意設(shè)點(diǎn)M到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為MN,則MNMF10,即(9)10,p2.故拋物線(xiàn)方程為y24x.將M(9,y0)代入拋物線(xiàn)方程,得y06.M點(diǎn)的坐標(biāo)為(9,6)或(9,6).1.焦點(diǎn)在x軸上的拋物線(xiàn),其標(biāo)準(zhǔn)方程可以統(tǒng)設(shè)為y2mx(m0),此時(shí)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F,準(zhǔn)線(xiàn)方程為x;焦點(diǎn)在y軸上的拋物線(xiàn),其標(biāo)準(zhǔn)方程可以統(tǒng)設(shè)為x2my(m0),此時(shí)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F,準(zhǔn)線(xiàn)方程為y.2.設(shè)M是拋物線(xiàn)上一點(diǎn),焦點(diǎn)為F,則線(xiàn)段MF叫做拋物線(xiàn)的焦半徑.若M(x0,y0)在拋物線(xiàn)y22px(p0)上,則根據(jù)拋物線(xiàn)的定義,拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線(xiàn)的距離可以相互轉(zhuǎn)化,所以焦半徑MFx0.3.對(duì)于拋物線(xiàn)上的點(diǎn),利用定義可以把其到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線(xiàn)的距離,也可以把其到準(zhǔn)線(xiàn)的距離轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)的距離,因此可以解決有關(guān)距離的最值問(wèn)題.一、填空題1.經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4,2)的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi).考點(diǎn)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)求拋物線(xiàn)方程答案y2x或x28y解析點(diǎn)P在第四象限,拋物線(xiàn)開(kāi)口向右或向下.當(dāng)開(kāi)口向右時(shí),設(shè)拋物線(xiàn)方程為y22p1x(p10),則(2)28p1,p1,拋物線(xiàn)方程為y2x.當(dāng)開(kāi)口向下時(shí),設(shè)拋物線(xiàn)方程為x22p2y(p20),則424p2,p24,拋物線(xiàn)方程為x28y.2.已知拋物線(xiàn)y22px(p0)的準(zhǔn)線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1),則該拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi).考點(diǎn)拋物線(xiàn)的定義題點(diǎn)由拋物線(xiàn)的定義求點(diǎn)的坐標(biāo)答案(1,0)解析拋物線(xiàn)y22px(p0)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x.由題設(shè)知1,即p2,故焦點(diǎn)坐標(biāo)為.3.若拋物線(xiàn)y22px的焦點(diǎn)與橢圓1的右焦點(diǎn)重合,則p_.考點(diǎn)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)拋物線(xiàn)方程的應(yīng)用答案4解析a26,b22,c2a2b24,c2,即橢圓的右焦點(diǎn)為(2,0),2,即p4.4.若拋物線(xiàn)yax2的準(zhǔn)線(xiàn)方程是y2,則a_.考點(diǎn)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)拋物線(xiàn)方程的應(yīng)用答案解析yax2可化為x2y.準(zhǔn)線(xiàn)方程為y2,a0).由定義知點(diǎn)P到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為4,故24,p4,x28y.將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入x28y,得m4.6.已知拋物線(xiàn)y22px(p0)的準(zhǔn)線(xiàn)與圓(x3)2y216相切,則p的值為_(kāi).考點(diǎn)拋物線(xiàn)的定義題點(diǎn)由拋物線(xiàn)定義求點(diǎn)坐標(biāo)答案2解析拋物線(xiàn)y22px的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x,它與圓相切,所以必有34,所以p2.7.設(shè)拋物線(xiàn)y22px(p0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A(0,2).若線(xiàn)段FA的中點(diǎn)B在拋物線(xiàn)上,則B到該拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離為_(kāi).考點(diǎn)拋物線(xiàn)的定義題點(diǎn)由拋物線(xiàn)定義求距離答案解析拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為,線(xiàn)段FA的中點(diǎn)B的坐標(biāo)為,代入拋物線(xiàn)方程得12p,解得p,故點(diǎn)B的坐標(biāo)為,故點(diǎn)B到該拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離為.8.過(guò)拋物線(xiàn)y24x的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)交該拋物線(xiàn)于A,B兩點(diǎn).若AF3,則BF_.考點(diǎn)拋物線(xiàn)的定義題點(diǎn)由拋物線(xiàn)定義求距離答案解析拋物線(xiàn)y24x的準(zhǔn)線(xiàn)為x1,焦點(diǎn)為F(1,0),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).由拋物線(xiàn)的定義可知AFx113,所以x12,所以y12,由拋物線(xiàn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),假設(shè)A(2,2).由A,F(xiàn),B三點(diǎn)共線(xiàn)可知直線(xiàn)AB的方程為y02(x1),代入拋物線(xiàn)方程消去y,得2x25x20,求得x2或,所以x2,故BF.9.O為坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)為拋物線(xiàn)C:y24x的焦點(diǎn),P為拋物線(xiàn)C上一點(diǎn),若PF4,則POF的面積為_(kāi).考點(diǎn)拋物線(xiàn)的定義題點(diǎn)由拋物線(xiàn)定義求點(diǎn)坐標(biāo)答案2解析拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x,焦點(diǎn)F(,0).由PF4及拋物線(xiàn)的定義知,P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xP3,從而縱坐標(biāo)為yP2.SPOFOF|yP|22.10.已知點(diǎn)P是拋物線(xiàn)y22x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與點(diǎn)P到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離之和的最小值為_(kāi).考點(diǎn)拋物線(xiàn)的定義題點(diǎn)由拋物線(xiàn)定義求最值答案解析拋物線(xiàn)y22x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F,準(zhǔn)線(xiàn)是x.由拋物線(xiàn)的定義知,點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于它到準(zhǔn)線(xiàn)x的距離.因此要求點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與點(diǎn)P到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離之和的最小值,可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離之和的最小值.結(jié)合圖形(圖略)不難得出相應(yīng)的最小值等于焦點(diǎn)F到點(diǎn)(0,2)的距離,因此所求距離之和的最小值為.11.已知P為拋物線(xiàn)y24x上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),Q為圓x2(y4)21上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離之和的最小值是_.考點(diǎn)拋物線(xiàn)的定義題點(diǎn)由拋物線(xiàn)定義求最值答案1解析點(diǎn)P到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離等于點(diǎn)P到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F(1,0)的距離.圓心坐標(biāo)是(0,4),圓心到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為,即圓上的點(diǎn)Q到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離的最小值是1.二、解答題12.已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn),它的準(zhǔn)線(xiàn)過(guò)1的一個(gè)焦點(diǎn),且與x軸垂直.又拋物線(xiàn)與此雙曲線(xiàn)交于點(diǎn),求拋物線(xiàn)和雙曲線(xiàn)的方程.考點(diǎn)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)求拋物線(xiàn)方程解因?yàn)榻稽c(diǎn)在第一象限,拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn),其準(zhǔn)線(xiàn)垂直于x軸,所以可設(shè)拋物線(xiàn)方程為y22px(p0).將點(diǎn)代入方程,得p2,所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為y24x,準(zhǔn)線(xiàn)方程為x1.由此知雙曲線(xiàn)方程中c1,焦點(diǎn)為(1,0),(1,0),點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之差為2a1,所以雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.13.已知拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上,設(shè)A,B是拋物線(xiàn)C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(AB不垂直于x軸),且AFBF8,線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)恒經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q(6,0),求拋物線(xiàn)的方程.考點(diǎn)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)求拋物線(xiàn)方程解設(shè)拋物線(xiàn)的方程為y22px(p0), 則其準(zhǔn)線(xiàn)方程為x.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AFBF8,x1x28,即x1x28p.Q(6,0)在線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)上,QAQB,即,又y2px1,y2px2,(x1x2)(x1x2122p)0.AB與x軸不垂直,x1x2.故x1x2122p8p122p0,即p4.拋物線(xiàn)方程為y28x.三、探究與拓展14.已知拋物線(xiàn)y22px的焦點(diǎn)F與雙曲線(xiàn)1的右焦點(diǎn)重合,拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為K,點(diǎn)A在拋物線(xiàn)上,且AKAF,則AFK的面積為_(kāi).考點(diǎn)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)拋物線(xiàn)方程的應(yīng)用答案32解析由題意可知拋物線(xiàn)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(4,0).過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)AA垂直于拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn),垂足為A,根據(jù)拋物線(xiàn)定義知,AAAF,則在AAK中,AKAA,故KAA45,所以直線(xiàn)AK的傾斜角為45,直線(xiàn)AK的方程為yx4,代入拋物線(xiàn)方程y216x,得y216(y4),即y216y640,解得y8.所以AFK為直角三角形,故AFK的面積為8832.15.設(shè)拋物線(xiàn)C:x22py(p0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線(xiàn)為l,A為拋物線(xiàn)C上一點(diǎn),已知以F為圓心,F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B,D兩點(diǎn).(1)若BFD90,ABD的面積為4,求p的值及圓F的方程;(2)若A,B,F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線(xiàn)m上,直線(xiàn)n與m平行,且直線(xiàn)n與拋物線(xiàn)C只有一個(gè)公共點(diǎn),求坐標(biāo)原點(diǎn)到m,n距離的比值.考點(diǎn)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)拋物線(xiàn)方程的應(yīng)用解(1)由已知可得BFD為等腰直角三角形,BD2p,圓F的半徑FAp.由拋物線(xiàn)定義可知,A到準(zhǔn)線(xiàn)l的距離dFAp.因?yàn)锳BD的面積為4,所以BDd4,即2pp4,解得p2(舍去)或p2.所以F(0,1),圓F的方程為x2(y1)28.(2)因?yàn)锳,B,F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線(xiàn)m上,所以AB為圓F的直徑,ADB90.由拋物線(xiàn)定義知,ADFAAB,所以ABD30,m的斜率為或.當(dāng)m的斜率為時(shí),由已知可設(shè)n:yxb,代入x22py,得x2px2pb0.由于直線(xiàn)n與拋物線(xiàn)C只有一個(gè)公共點(diǎn),故p28pb0,解得b.因?yàn)閙的截距b1,3,所以坐標(biāo)原點(diǎn)到m,n距離的比值為3.當(dāng)m的斜率為時(shí),由圖形對(duì)稱(chēng)性可知,坐標(biāo)原點(diǎn)到m,n距離的比值也為3.綜上,坐標(biāo)原點(diǎn)到m,n距離的比值為3.- 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- 2018-2019高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線(xiàn)與方程 2.4.1 拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案 蘇教版選修1 -1 2018 2019 高中數(shù)學(xué) 圓錐曲線(xiàn) 方程 2.4 拋物線(xiàn) 標(biāo)準(zhǔn) 蘇教版 選修
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