2018-2019高中數學 第三章 不等式 3.3.3 第1課時 線性規(guī)劃的有關概念及圖解法學案 蘇教版必修5.docx
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第1課時線性規(guī)劃的有關概念及圖解法學習目標1.了解線性規(guī)劃的意義.2.理解約束條件、目標函數、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念.3.掌握線性規(guī)劃問題的圖解法,并能應用它解決一些簡單的實際問題引例已知x,y滿足條件該不等式組所表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示,求2x3y的最大值以此為例,嘗試通過下列問題理解有關概念知識點一線性約束條件及目標函數1在上述問題中,不等式組是一組對變量x,y的約束條件,這組約束條件都是關于x,y的一次不等式,故又稱線性約束條件2在上述問題中,是要研究的目標,稱為目標函數因為它是關于變量x,y的一次解析式,這樣的目標函數稱為線性目標函數知識點二線性規(guī)劃問題一般地,在線性約束條件下求線性目標函數的最大值或最小值問題,稱為線性規(guī)劃問題知識點三可行解、可行域和最優(yōu)解滿足線性約束條件的解(x,y)叫做可行解由所有可行解組成的集合叫做可行域其中,使目標函數取得最大值或最小值的可行解叫做線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解在上述問題的圖中,陰影部分叫可行域,陰影區(qū)域中的每一個點對應的坐標都是一個可行解,其中能使式取最大值的可行解稱為最優(yōu)解1可行域內每一個點都滿足約束條件()2可行解有無限多,最優(yōu)解只有一個()類型一最優(yōu)解問題命題角度1問題存在唯一最優(yōu)解例1已知x,y滿足約束條件該不等式組所表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示,求2x3y的最大值考點線性目標最優(yōu)解題點求線性目標函數的最值解設區(qū)域內任一點P(x,y),z2x3y,則yx,這是斜率為,在y軸上的截距為的直線,如圖由圖可以看出,當直線yx經過直線x4與直線x2y80的交點M(4,2)時,截距的值最大,此時2x3y14.反思與感悟圖解法是解決線性規(guī)劃問題的有效方法,基本步驟:(1)確定線性約束條件,線性目標函數(2)作圖畫出可行域(3)平移平移目標函數對應的直線zaxby,看它經過哪個點(或哪些點)時最先接觸可行域或最后離開可行域,確定最優(yōu)解所對應的點的位置(4)求值解有關的方程組求出最優(yōu)解的坐標,再代入目標函數,求出目標函數的最值跟蹤訓練1已知1xy5,1xy3,求2x3y的取值范圍考點線性目標最優(yōu)解題點求線性目標函數的最值解作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域(如圖陰影部分所示)即為可行域設z2x3y,變形得yxz,則得到斜率為,且隨z變化的一組平行直線z是直線在y軸上的截距,當直線截距最大時,z的值最小,由圖可知,當直線z2x3y經過可行域上的點A時,截距最大,即z最小解方程組得A點坐標為(2,3),zmin2x3y22335.當直線z2x3y經過可行域上的點B時,截距最小,即z最大解方程組得B點坐標為(2,1)zmax2x3y223(1)7.52x3y7,即2x3y的取值范圍是5,7命題角度2問題的最優(yōu)解有多個例2已知x,y滿足約束條件若目標函數zaxy的最大值有無數個最優(yōu)解,求實數a的值考點線性規(guī)劃中的參數問題題點無數個最優(yōu)解問題解約束條件所表示的平面區(qū)域如圖(陰影部分),由zaxy,得yaxz.當a0時,最優(yōu)解只有一個,過A(1,1)時取得最大值;當a0,yaxz與xy2重合時,最優(yōu)解有無數個,此時a1;當a0時,截距越大,z就越大;當b0)取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個,則a_.考點線性規(guī)劃中的參數問題題點無數個最優(yōu)解問題答案解析將zaxy變形,得yaxz.當它與直線AC重合時,z取最大值的點有無窮多個kAC,a,即a.1用圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題的基本步驟:(1)尋找線性約束條件,線性目標函數(2)作圖畫出約束條件(不等式組)所確定的平面區(qū)域和目標函數所表示的平行直線系中的任意一條直線l.(3)平移將直線l平行移動,以確定最優(yōu)解所對應的點的位置(4)求值解有關的方程組求出最優(yōu)解的坐標,再代入目標函數,求出目標函數的最值2作不等式組表示的可行域時,注意標出相應的直線方程,還要給可行域的各頂點標上字母,平移直線時,要注意線性目標函數的斜率與可行域中邊界直線的斜率進行比較,確定最優(yōu)解3在解決與線性規(guī)劃相關的問題時,首先考慮目標函數的幾何意義,利用數形結合方法可迅速解決相關問題一、填空題1若點(x,y)位于曲線y|x|與y2所圍成的封閉區(qū)域內,則2xy的最小值為_考點線性目標最優(yōu)解題點求線性目標函數的最值答案6解析如圖,曲線y|x|與y2所圍成的封閉區(qū)域如圖中陰影部分(含邊界)所示,令z2xy,則y2xz,作直線y2x,在封閉區(qū)域內平行移動直線y2x,當經過點A(2,2)時,z取得最小值,此時z2(2)26.2若變量x,y滿足約束條件則xy的最大值為_考點線性目標最優(yōu)解題點求線性目標函數的最值答案9解析畫出可行域如圖陰影部分(含邊界)所示,令zxy,則yxz.當直線yxz過點A時,z最大由得A(4,5),zmax459.3設變量x,y滿足約束條件則目標函數zy2x的最小值為_考點線性目標最優(yōu)解題點求線性目標函數的最值答案7解析可行域如圖陰影部分(含邊界)所示,令z0,得直線l0:y2x0,平移直線l0知,當直線l0過D點時,z取得最小值由得D(5,3)zmin3257.4設變量x,y滿足約束條件則目標函數z3x4y的最大值和最小值分別為_考點線性目標最優(yōu)解題點求線性目標函數的最值答案3,11解析作出可行域如圖陰影部分(含邊界)所示,由圖可知z3x4y經過點A時,z有最小值,經過點B時,z有最大值易求得A(3,5),B(5,3)zmax35433,zmin334511.5已知a0,x,y滿足約束條件若z2xy的最小值為1,則a_.考點線性規(guī)劃中的參數問題題點線性規(guī)劃中的參數問題答案解析作出不等式組表示的可行域,如圖陰影部分(含邊界)所示易知直線z2xy過交點B時,z取最小值,由得zmin22a1,解得a.6已知若zaxy的最小值是2,則a的值為_考點線性規(guī)劃中的參數問題題點線性規(guī)劃中的參數問題答案2解析作出可行域,如圖中陰影部分所示,又zaxy的最小值為2,若a2,則(1,0)為最優(yōu)解,解得a2;若a2,則(3,4)為最優(yōu)解,解得a,舍去,故a2.7已知平面直角坐標系xOy上的區(qū)域D由不等式組確定若M(x,y)為D上的動點,點A的坐標為(,1),則z的最大值為_考點線性目標最優(yōu)解題點求線性目標函數的最值答案4解析由線性約束條件畫出可行域如圖陰影部分(含邊界)所示,目標函數zxy,將其化為yxz,結合圖形可知,當目標函數的圖象過點(,2)時,z最大,將點(,2)代入zxy,得z的最大值為4.8已知A(2,5),B(4,1)若點P(x,y)在線段AB上,則2xy的最大值為_考點線性目標最優(yōu)解題點求線性目標函數的最值答案7解析作出線段AB,如圖所示,作直線2xy0并將其向下平移至直線過點B(4,1)時,2xy取最大值,為2417.9已知1xy4且2xy3,則z2x3y的取值范圍是_(答案用區(qū)間表示)考點線性目標最優(yōu)解題點求目標函數的取值范圍答案3,8解析作出不等式組表示的可行域,如圖中陰影部分(含邊界)所示在可行域內平移直線2x3y0,當直線經過xy2與xy4的交點A(3,1)時,目標函數有最小值,zmin23313;當直線經過xy1與xy3的交點B(1,2)時,目標函數有最大值,zmax21328.所以z3,810若x,y滿足約束條件則zx2y的最小值為_考點線性目標最優(yōu)解題點求線性目標函數的最值答案5解析方法一(通性通法)作出可行域,如圖中陰影部分所示,由zx2y,得yxz,作直線yx并平移,觀察可知,當直線經過點A(3,4)時,zmin3245.方法二(光速解法)因為可行域為封閉區(qū)域,所以線性目標函數的最值只可能在邊界點取得,易求得邊界點分別為(3,4),(1,2),(3,0),依次代入目標函數可求得zmin5.11某公司租賃甲、乙兩種設備生產A,B兩類產品,甲種設備每天能生產A類產品5件和B類產品10件,乙種設備每天能生產A類產品6件和B類產品20件已知設備甲每天的租賃費為200元,設備乙每天的租賃費為300元,現該公司至少要生產A類產品50件,B類產品140件,則所需租賃費最少為_元考點生活實際中的線性規(guī)劃問題題點線性規(guī)劃在實際問題中的應用答案2300解析設需租賃甲種設備x臺,乙種設備y臺,則目標函數為z200x300y.作出其可行域(圖略),易知當x4,y5時,z200x300y有最小值2 300.12設x,y滿足則zxy的取值范圍是_考點線性目標最優(yōu)解題點求線性目標函數的最值答案2,)解析作出約束條件表示的可行域,如圖所示,zxy表示直線yxz過可行域時,在y軸上的截距,當目標函數平移至過可行域內的A點時,z有最小值聯立解得A(2,0)zmin2,z無最大值xy2,)二、解答題13某運輸公司接受了向抗洪救災地區(qū)每天送至少180t支援物資的任務該公司有8輛載重為6t的A型卡車與4輛載重為10t的B型卡車,有10名駕駛員,每輛卡車每天往返的次數為A型卡車4次,B型卡車3次;每輛卡車每天往返的成本費A型為320元,B型為504元請為公司安排一下,應如何調配車輛,才能使公司所花的成本費最低?考點生活實際中的線性規(guī)劃問題題點線性規(guī)劃在實際問題中的應用解設需A型、B型卡車分別為x輛和y輛,成本費為z元列表分析數據.A型車B型車限量車輛數xy10運物噸數24x30y180費用320x504yz由表可知x,y滿足線性約束條件且目標函數z320x504y.作出可行域,如圖陰影部分(含邊界)所示可知當直線z320x504y過A(7.5,0)時,z最小,但A(7.5,0)不是整點,繼續(xù)向上平移直線z320x504y,可知點(8,0)是最優(yōu)解這時zmin320850402560(元),即用8輛A型車,成本費最低所以公司每天調出A型卡車8輛時,花費成本最低三、探究與拓展14若平面區(qū)域夾在兩條斜率為1的平行直線之間,則這兩條平行直線間的距離的最小值是_考點線性目標最優(yōu)解題點求線性目標函數的最值答案解析畫出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖(陰影部分)所示,由得A(1,2),由得B(2,1)由題意可知當斜率為1的兩條直線分別過點A和點B時,陰影部分夾在這兩條直線之間,且與這兩條直線有公共點,所以這兩條直線為滿足條件的距離最小的一對直線,即AB.15已知變量x,y滿足的約束條件為若目標函數zaxy(其中a0)僅在點(3,0)處取得最大值,求a的取值范圍考點線性規(guī)劃中的參數問題題點線性規(guī)劃中的參數問題解依據約束條件,畫出可行域直線x2y30的斜率k1,目標函數zaxy(a0)對應直線的斜率k2a,若符合題意,則需k1k2.即a,得a.- 配套講稿:
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