2018-2019高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線與方程 2.2.1 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案 蘇教版選修1 -1.docx

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2.2.1　橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.會(huì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.3.能用標(biāo)準(zhǔn)方程判斷曲線是不是橢圓. 知識(shí)點(diǎn)一　橢圓的定義 把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于F1F2)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距. 知識(shí)點(diǎn)二　橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 思考　在橢圓方程中，a，b以及參數(shù)c有什么幾何意義，它們滿足什么關(guān)系？ 答案　在橢圓方程中，a表示橢圓上的點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)間的距離之和的一半，可借助圖形幫助記憶，a，b，c(都是正數(shù))恰構(gòu)成一個(gè)直角三角形的三條邊，a是斜邊，c是焦距的一半，叫半焦距.a，b，c始終滿足關(guān)系式a2＝b2＋c2. 梳理　橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 焦點(diǎn)在x軸上 焦點(diǎn)在y軸上 標(biāo)準(zhǔn)方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 圖形 焦點(diǎn)坐標(biāo) (－c,0)與(c,0) (0，－c)與(0，c) a，b，c的關(guān)系 c2＝a2－b2  1.到平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定長的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.(　　) 2.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程只與橢圓的形狀、大小有關(guān)，與位置無關(guān).(　　) 3.橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式中，雖然焦點(diǎn)位置不同，但都具備a2＝b2＋c2.(　√　) 類型一　橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 例1　求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. (1)以坐標(biāo)軸為對稱軸，并且經(jīng)過兩點(diǎn)A(0,2)，B； (2)經(jīng)過點(diǎn)(3，)，且與橢圓＋＝1有共同的焦點(diǎn). 考點(diǎn)　橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法 題點(diǎn)　定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 解　(1)方法一　當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0). ∵點(diǎn)A(0,2)，B在橢圓上， ∴解得 這與a>b相矛盾，故應(yīng)舍去. 當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ＋＝1(a>b>0). ∵點(diǎn)A(0,2)，B在橢圓上， ∴解得 ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋x2＝1. 綜上可知，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋x2＝1. 方法二　設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n). ∵點(diǎn)A(0,2)，B在橢圓上， ∴∴ 故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋＝1. (2)方法一　橢圓＋＝1的焦點(diǎn)為(－4,0)和(4,0)， 由橢圓的定義，可得 2a＝＋， ∴2a＝12，即a＝6. ∵c＝4，∴b2＝a2－c2＝62－42＝20， ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. 方法二　由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ＋＝1(λ>－9)， 將x＝3，y＝代入上面的橢圓方程，得 ＋＝1， 解得λ＝11或λ＝－21(舍去)， ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. 反思與感悟　求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法 (1)定義法 即根據(jù)橢圓的定義，判斷出軌跡是橢圓，然后寫出其方程. (2)待定系數(shù)法 ①先確定焦點(diǎn)位置；②設(shè)出方程；③尋求a，b，c的等量關(guān)系；④求a，b的值，代入所設(shè)方程. 特別提醒：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，需要分焦點(diǎn)在x軸上和在y軸上兩種情況討論，也可設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0). 跟蹤訓(xùn)練1　求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： (1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0，－2)，(0,2)，并且橢圓經(jīng)過點(diǎn)； (2)焦點(diǎn)在y軸上，且經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)(0,2)和(1,0)； (3)經(jīng)過點(diǎn)P(－2，1)，Q(，－2). 考點(diǎn)　橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法 題點(diǎn)　定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 解　(1)∵橢圓的焦點(diǎn)在y軸上， ∴設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0). 由橢圓的定義知， 2a＝＋ ＝2， 即a＝.又c＝2，∴b2＝a2－c2＝6. ∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)∵橢圓的焦點(diǎn)在y軸上， ∴設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0). 又橢圓經(jīng)過點(diǎn)(0,2)和(1,0)， ∴∴ ∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋x2＝1. (3)設(shè)橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n). ∵點(diǎn)P(－2，1)，Q(，－2)在橢圓上， ∴代入得∴ ∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. 例2　若方程－＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍為________. 考點(diǎn)　橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點(diǎn)　給條件確定橢圓方程中的參數(shù)(或其范圍) 答案　(0,1) 解析　∵方程－＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓， 將方程改寫為＋＝1， ∴解得0PF2，求的值. 考點(diǎn)　橢圓的定義 題點(diǎn)　橢圓定義的應(yīng)用 解　當(dāng)∠PF2F1＝90時(shí)， 由 得PF1＝，PF2＝，∴＝. 當(dāng)∠F1PF2＝90時(shí)，同理求得PF1＝4，PF2＝2， ∴＝2. 綜上，＝或2. 1.在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，a＝6，b＝，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________________. 考點(diǎn)　橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法 題點(diǎn)　定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 答案?。?或＋＝1 2.已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A(2,3)，且點(diǎn)F(2,0)為其右焦點(diǎn)，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________. 考點(diǎn)　橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法 題點(diǎn)　定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 答案?。? 解析　依題意，可設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)，且可知其左焦點(diǎn)為F′(－2,0)， 從而有解得 又a2＝b2＋c2，所以b2＝12， 故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. 3.已知橢圓4x2＋ky2＝4的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,1)，則實(shí)數(shù)k的值為________. 考點(diǎn)　橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點(diǎn)　給條件確定橢圓方程中的參數(shù)(或其范圍) 答案　2 解析　由題意得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋＝1. 又其一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)，故－1＝1，解得k＝2. 4.“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的__________條件. 考點(diǎn)　橢圓的定義 題點(diǎn)　橢圓定義的應(yīng)用、條件判斷 答案　充要 解析　方程可化為＋＝1.若m>n>0，則0<<，可得方程為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓. 若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則>>0，可得m>n>0. 5.設(shè)P是橢圓＋＝1上一點(diǎn)，P到兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差為2，則△PF1F2的面積為________. 考點(diǎn)　橢圓的定義 題點(diǎn)　橢圓定義的應(yīng)用 答案　6 解析　由橢圓定義知PF1＋PF2＝2a＝8， 不妨設(shè)PF1>PF2. ∵PF1－PF2＝2，∴PF1＝5，PF2＝3， 又∵F1F2＝2c＝4，∴△PF1F2為直角三角形， 則＝43＝6. 1.對于求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程一般有兩種方法：可以通過待定系數(shù)法求解，也可以通過橢圓的定義進(jìn)行求解. 2.用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，若已知焦點(diǎn)的位置，可直接設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程；若焦點(diǎn)位置不確定，可分兩種情況求解，也可設(shè)Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免了分類討論，達(dá)到了簡化運(yùn)算的目的. 一、填空題 1.已知橢圓C上任意一點(diǎn)P(x，y)都滿足關(guān)系式＋＝4，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________. 考點(diǎn)　橢圓的定義 題點(diǎn)　橢圓定義的應(yīng)用 答案　＋＝1 解析　由題設(shè)可知，橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，其坐標(biāo)分別為(1,0)，(－1,0)，2a＝4，故a＝2，c＝1，所以b2＝3，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. 2.已知F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F2且垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且AB＝3，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________. 考點(diǎn)　橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法 題點(diǎn)　定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 答案?。? 解析　由題意知，橢圓焦點(diǎn)在x軸上，且c＝1， 可設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a＞1)， 又橢圓C由過F2且垂直于x軸的直線截得的弦長AB＝3，知點(diǎn)必在橢圓上， 代入橢圓方程化簡得4a4－17a2＋4＝0， 所以a2＝4或a2＝(舍去). 故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. 3.已知橢圓中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F(－2，0)，且a＝2b，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________________. 考點(diǎn)　橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法 題點(diǎn)　定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 答案?。? 解析　設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是＋＝1(a>b>0). 由題意知　解得 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. 4.已知橢圓＋＝1的焦距為4，則m＝___________________________________. 考點(diǎn)　橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點(diǎn)　給條件確定橢圓方程中的參數(shù)(或其范圍) 答案　4或8 解析　(1)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，10－m－(m－2)＝4， 解得m＝4. (2)當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，m－2－(10－m)＝4， 解得m＝8.∴m＝4或8. 5.“2b>0). 由題意得解得a＝2，b＝1. ∴橢圓方程為＋x2＝1. 12.如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.過右焦點(diǎn)F2且與x軸垂直的直線l與橢圓C相交，其中一個(gè)交點(diǎn)為M(，1)，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程. 考點(diǎn)　橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法 題點(diǎn)　定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 解　∵直線l⊥x軸，M(，1)，∴F2的坐標(biāo)為(，0)， 由題意知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)，則 解得 ∴所求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. 13.已知橢圓＋＝1(a>b>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1(0，－1)，F(xiàn)2(0,1)，且3a2＝4b2. (1)求橢圓的方程； (2)設(shè)點(diǎn)P在這個(gè)橢圓上，且PF1－PF2＝1，求∠F1PF2的余弦值. 考點(diǎn)　橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，橢圓的定義 題點(diǎn)　定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、定義的應(yīng)用 解　(1)由題意得橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且c＝1. 又∵3a2＝4b2， ∴a2－b2＝a2＝c2＝1， ∴a2＝4，b2＝3， ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)如圖所示，PF1－PF2＝1. 又由橢圓定義知，PF1＋PF2＝4， ∴PF1＝，PF2＝，F(xiàn)1F2＝2， ∴cos∠F1PF2＝＝. 三、探究與拓展 14.已知c是橢圓＋＝1(a>b>0)的半焦距，則的取值范圍為________. 考點(diǎn)　橢圓的定義 題點(diǎn)　橢圓定義的應(yīng)用 答案　(1，] 解析　如圖，＝sinθ＋cosθ＝sin， 又θ為銳角，故∈(1，]. 15.已知橢圓＋＝1(0＜b＜2)，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若BF2＋AF2的最大值為5，則b的值為________. 考點(diǎn)　橢圓的定義 題點(diǎn)　橢圓定義的應(yīng)用 答案　 解析　由題意知a＝2， 所以BF2＋AF2＋AB＝4a＝8， 因?yàn)锽F2＋AF2的最大值為5，所以AB的最小值為3，當(dāng)且僅當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，取得最小值，此時(shí)A，B， 代入橢圓方程得＋＝1， 又c2＝a2－b2＝4－b2，所以＋＝1， 即1－＋＝1，所以＝， 解得b2＝3，所以b＝.