2018-2019高中數(shù)學 第2章 圓錐曲線與方程 2.2.1 橢圓的標準方程學案 蘇教版選修1 -1.docx
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2.2.1橢圓的標準方程學習目標1.掌握橢圓的標準方程.2.會求橢圓的標準方程.3.能用標準方程判斷曲線是不是橢圓.知識點一橢圓的定義把平面內與兩個定點F1,F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于F1F2)的點的軌跡叫做橢圓,這兩個定點F1,F(xiàn)2叫做橢圓的焦點,兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.知識點二橢圓的標準方程思考在橢圓方程中,a,b以及參數(shù)c有什么幾何意義,它們滿足什么關系?答案在橢圓方程中,a表示橢圓上的點M到兩焦點間的距離之和的一半,可借助圖形幫助記憶,a,b,c(都是正數(shù))恰構成一個直角三角形的三條邊,a是斜邊,c是焦距的一半,叫半焦距.a,b,c始終滿足關系式a2b2c2.梳理橢圓的標準方程焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程1(ab0)1(ab0)圖形焦點坐標(c,0)與(c,0)(0,c)與(0,c)a,b,c的關系c2a2b21.到平面內兩個定點的距離之和等于定長的點的軌跡叫做橢圓.()2.橢圓標準方程只與橢圓的形狀、大小有關,與位置無關.()3.橢圓的兩種標準形式中,雖然焦點位置不同,但都具備a2b2c2.()類型一橢圓的標準方程例1求適合下列條件的橢圓的標準方程.(1)以坐標軸為對稱軸,并且經(jīng)過兩點A(0,2),B;(2)經(jīng)過點(3,),且與橢圓1有共同的焦點.考點橢圓標準方程的求法題點定義法求橢圓的標準方程、待定系數(shù)法求橢圓的標準方程解(1)方法一當焦點在x軸上時,可設橢圓的標準方程為1(ab0).點A(0,2),B在橢圓上,解得這與ab相矛盾,故應舍去.當焦點在y軸上時,可設橢圓的標準方程為1(ab0).點A(0,2),B在橢圓上,解得橢圓的標準方程為x21.綜上可知,橢圓的標準方程為x21.方法二設橢圓的標準方程為mx2ny21(m0,n0,mn).點A(0,2),B在橢圓上,故橢圓的標準方程為x21.(2)方法一橢圓1的焦點為(4,0)和(4,0),由橢圓的定義,可得2a,2a12,即a6.c4,b2a2c2624220,橢圓的標準方程為1.方法二由題意可設橢圓的標準方程為1(9),將x3,y代入上面的橢圓方程,得1,解得11或21(舍去),橢圓的標準方程為1.反思與感悟求橢圓標準方程的方法(1)定義法即根據(jù)橢圓的定義,判斷出軌跡是橢圓,然后寫出其方程.(2)待定系數(shù)法先確定焦點位置;設出方程;尋求a,b,c的等量關系;求a,b的值,代入所設方程.特別提醒:當橢圓的焦點位置不確定時,需要分焦點在x軸上和在y軸上兩種情況討論,也可設橢圓方程為mx2ny21(mn,m0,n0).跟蹤訓練1求適合下列條件的橢圓的標準方程:(1)兩個焦點的坐標分別是(0,2),(0,2),并且橢圓經(jīng)過點;(2)焦點在y軸上,且經(jīng)過兩個點(0,2)和(1,0);(3)經(jīng)過點P(2,1),Q(,2).考點橢圓標準方程的求法題點定義法求橢圓的標準方程、待定系數(shù)法求橢圓的標準方程解(1)橢圓的焦點在y軸上,設橢圓的標準方程為1(ab0).由橢圓的定義知,2a2,即a.又c2,b2a2c26.所求橢圓的標準方程為1.(2)橢圓的焦點在y軸上,設它的標準方程為1(ab0).又橢圓經(jīng)過點(0,2)和(1,0),所求橢圓的標準方程為x21.(3)設橢圓的方程為mx2ny21(m0,n0,且mn).點P(2,1),Q(,2)在橢圓上,代入得所求橢圓的標準方程為1.例2若方程1表示焦點在y軸上的橢圓,那么實數(shù)m的取值范圍為_.考點橢圓的標準方程題點給條件確定橢圓方程中的參數(shù)(或其范圍)答案(0,1)解析方程1表示焦點在y軸上的橢圓,將方程改寫為1,解得0m1.反思與感悟(1)利用橢圓方程解題時,一般首先要化成標準形式.(2)1表示橢圓的條件是表示焦點在x軸上的橢圓的條件是表示焦點在y軸上的橢圓的條件是跟蹤訓練2(1)已知方程1表示焦點在x軸上的橢圓,則實數(shù)k的取值范圍為_.考點橢圓的標準方程題點給條件確定橢圓方程中的參數(shù)(或其范圍)答案(7,10)解析將方程化成橢圓的標準形式為1.根據(jù)其表示焦點在x軸上的橢圓,得解得7kPF2,求的值.考點橢圓的定義題點橢圓定義的應用解當PF2F190時,由得PF1,PF2,.當F1PF290時,同理求得PF14,PF22,2.綜上,或2.1.在橢圓的標準方程中,a6,b,則橢圓的標準方程是_.考點橢圓標準方程的求法題點定義法求橢圓的標準方程、待定系數(shù)法求橢圓的標準方程答案1或12.已知中心在坐標原點O的橢圓C經(jīng)過點A(2,3),且點F(2,0)為其右焦點,則橢圓C的標準方程為_.考點橢圓標準方程的求法題點定義法求橢圓的標準方程、待定系數(shù)法求橢圓的標準方程答案1解析依題意,可設橢圓C的方程為1(ab0),且可知其左焦點為F(2,0),從而有解得又a2b2c2,所以b212,故橢圓C的標準方程為1.3.已知橢圓4x2ky24的一個焦點坐標是(0,1),則實數(shù)k的值為_.考點橢圓的標準方程題點給條件確定橢圓方程中的參數(shù)(或其范圍)答案2解析由題意得橢圓標準方程為x21.又其一個焦點坐標為(0,1),故11,解得k2.4.“mn0”是“方程mx2ny21表示焦點在y軸上的橢圓”的_條件.考點橢圓的定義題點橢圓定義的應用、條件判斷答案充要解析方程可化為1.若mn0,則00,可得mn0.5.設P是橢圓1上一點,P到兩焦點F1,F(xiàn)2的距離之差為2,則PF1F2的面積為_.考點橢圓的定義題點橢圓定義的應用答案6解析由橢圓定義知PF1PF22a8,不妨設PF1PF2.PF1PF22,PF15,PF23,又F1F22c4,PF1F2為直角三角形,則436.1.對于求解橢圓的標準方程一般有兩種方法:可以通過待定系數(shù)法求解,也可以通過橢圓的定義進行求解.2.用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程時,若已知焦點的位置,可直接設出標準方程;若焦點位置不確定,可分兩種情況求解,也可設Ax2By21(A0,B0,AB)求解,避免了分類討論,達到了簡化運算的目的.一、填空題1.已知橢圓C上任意一點P(x,y)都滿足關系式4,則橢圓C的標準方程為_.考點橢圓的定義題點橢圓定義的應用答案1解析由題設可知,橢圓C的焦點在x軸上,其坐標分別為(1,0),(1,0),2a4,故a2,c1,所以b23,所以橢圓C的標準方程為1.2.已知F1(1,0),F(xiàn)2(1,0)是橢圓C的兩個焦點,過F2且垂直于x軸的直線交橢圓C于A,B兩點,且AB3,則橢圓C的標準方程為_.考點橢圓標準方程的求法題點定義法求橢圓的標準方程、待定系數(shù)法求橢圓的標準方程答案1解析由題意知,橢圓焦點在x軸上,且c1,可設橢圓C的方程為1(a1),又橢圓C由過F2且垂直于x軸的直線截得的弦長AB3,知點必在橢圓上,代入橢圓方程化簡得4a417a240,所以a24或a2(舍去).故橢圓C的標準方程為1.3.已知橢圓中心在原點,一個焦點為F(2,0),且a2b,則該橢圓的標準方程是_.考點橢圓標準方程的求法題點定義法求橢圓的標準方程、待定系數(shù)法求橢圓的標準方程答案1解析設橢圓的標準方程是1(ab0).由題意知解得所以橢圓的標準方程為1.4.已知橢圓1的焦距為4,則m_.考點橢圓的標準方程題點給條件確定橢圓方程中的參數(shù)(或其范圍)答案4或8解析(1)當焦點在x軸上時,10m(m2)4,解得m4.(2)當焦點在y軸上時,m2(10m)4,解得m8.m4或8.5.“2k5”是“方程1”表示的曲線是橢圓的_條件.考點橢圓的定義題點橢圓定義的應用、條件判斷答案必要不充分解析由方程1表示的曲線是橢圓,可得解得2k5且k,所以2k5且k2k5.而2k5推不出2k5且k.所以“2k5”是“方程1”表示橢圓的必要不充分條件.6.橢圓1上的一點M到左焦點F1的距離為2,N是MF1的中點,則ON_.考點橢圓的定義題點橢圓定義的應用答案4解析如圖,F(xiàn)2為橢圓右焦點,連結MF2,則ON是F1MF2的中位線,ONMF2.又MF12,MF1MF22a10,MF28,ON4.7.設F1,F(xiàn)2分別是橢圓E:x21(0b1)的左、右焦點,過點F1的直線l與橢圓相交于A,B兩點,且AF2,AB,BF2成等差數(shù)列,則AB的長為_.考點橢圓的定義題點橢圓定義的應用答案解析橢圓E:x21(0bb0).由題意得解得a2,b1.橢圓方程為x21.12.如圖,在直角坐標系xOy中,設橢圓C:1(ab0)的左、右兩個焦點分別為F1,F(xiàn)2.過右焦點F2且與x軸垂直的直線l與橢圓C相交,其中一個交點為M(,1),求橢圓C的標準方程.考點橢圓標準方程的求法題點定義法求橢圓的標準方程、待定系數(shù)法求橢圓的標準方程解直線lx軸,M(,1),F(xiàn)2的坐標為(,0),由題意知橢圓的焦點在x軸上,標準方程為1(ab0),則解得所求橢圓C的標準方程為1.13.已知橢圓1(ab0)的焦點坐標分別為F1(0,1),F(xiàn)2(0,1),且3a24b2.(1)求橢圓的方程;(2)設點P在這個橢圓上,且PF1PF21,求F1PF2的余弦值.考點橢圓標準方程的求法,橢圓的定義題點定義法求橢圓的標準方程、定義的應用解(1)由題意得橢圓的焦點在y軸上,且c1.又3a24b2,a2b2a2c21,a24,b23,橢圓的標準方程為1.(2)如圖所示,PF1PF21.又由橢圓定義知,PF1PF24,PF1,PF2,F(xiàn)1F22,cosF1PF2.三、探究與拓展14.已知c是橢圓1(ab0)的半焦距,則的取值范圍為_.考點橢圓的定義題點橢圓定義的應用答案(1,解析如圖,sincossin,又為銳角,故(1,.15.已知橢圓1(0b2),左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,過F1的直線l交橢圓于A,B兩點,若BF2AF2的最大值為5,則b的值為_.考點橢圓的定義題點橢圓定義的應用答案解析由題意知a2,所以BF2AF2AB4a8,因為BF2AF2的最大值為5,所以AB的最小值為3,當且僅當ABx軸時,取得最小值,此時A,B,代入橢圓方程得1,又c2a2b24b2,所以1,即11,所以,解得b23,所以b.- 配套講稿:
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- 2018-2019高中數(shù)學 第2章 圓錐曲線與方程 2.2.1 橢圓的標準方程學案 蘇教版選修1 -1 2018 2019 高中數(shù)學 圓錐曲線 方程 2.2 橢圓 標準 蘇教版 選修
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