江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第2講 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用學(xué)案.doc
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第2講導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用考情考向分析1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ),曲線的切線問(wèn)題是江蘇高考的熱點(diǎn),要求是B級(jí). 2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值是導(dǎo)數(shù)的核心內(nèi)容,要求是B級(jí)熱點(diǎn)一函數(shù)圖象的切線問(wèn)題例1 已知函數(shù)f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a,bR)(1)若函數(shù)f(x)的圖象過(guò)原點(diǎn),且在原點(diǎn)處的切線斜率為3,求a,b的值;(2)若曲線yf(x)存在兩條垂直于y軸的切線,求a的取值范圍解f(x)3x22(1a)xa(a2)(1)由題意得解得b0,a3或a1.(2)因?yàn)榍€yf(x)存在兩條垂直于y軸的切線,所以關(guān)于x的方程f(x)3x22(1a)xa(a2)0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,所以4(1a)212a(a2)0,即4a24a10,解得a.所以a的取值范圍是.思維升華解決曲線的切線問(wèn)題的關(guān)鍵是求切點(diǎn)的橫坐標(biāo),先使用曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示切線方程,再考慮該切線與其他條件的關(guān)系跟蹤演練1(1)(2018常州期末)已知函數(shù)f(x)bxln x,其中bR,若過(guò)原點(diǎn)且斜率為k的直線與曲線yf(x)相切,則kb的值為_(kāi)答案解析因?yàn)閒(x)bxln x(x0),所以f(x)b,設(shè)過(guò)原點(diǎn)且斜率為k的直線與曲線yf(x)相切于點(diǎn)(x0,bx0ln x0),則切線方程為y(bx0ln x0)(xx0),因?yàn)樵撉芯€過(guò)原點(diǎn),所以(bx0ln x0),解得ln x01,x0e,所以kb,故kb.(2)(2018江蘇泰州中學(xué)月考)若曲線yx2與曲線yaln x在它們的公共點(diǎn)P(s,t)處具有公共切線,則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)答案1解析兩曲線的導(dǎo)數(shù)分別是yx,y ,因?yàn)樵赑處有公切線,所以且aln s,解得a1.熱點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性例2已知函數(shù)f(x)2ln xbx,直線y2x2與曲線yf(x)相切于點(diǎn)P.(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)及b的值;(2)若函數(shù)g(x)x(a0),討論函數(shù)h(x)g(x)f(x)的單調(diào)區(qū)間解 (1)設(shè)P(x0,y0)為直線y2x2與曲線yf(x)的切點(diǎn)坐標(biāo),則有2ln x0bx02x02.因?yàn)閒(x)b(x0),所以b2.聯(lián)立解得b0,x01,則切點(diǎn)P(1,0),b0.(2)由(1)知f(x)2ln x,則h(x)g(x)f(x)x2ln x(x0)求導(dǎo)得h(x)1(x0)令yx22xa(x0)若44a0,即a1時(shí),y0,即h(x)0,此時(shí)函數(shù)h(x)在定義域(0,)上為增函數(shù);若44a0,即0a1時(shí),函數(shù)yx22xa有兩個(gè)不同零點(diǎn)x11,x21.因?yàn)?a1,所以0x1x2.當(dāng)0xx2時(shí),y0,即h(x)0,h(x)為增函數(shù);當(dāng)x1xx2時(shí),y0,即h(x)0,h(x)為減函數(shù)綜上所述,當(dāng)a1時(shí),函數(shù)h(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,),無(wú)單調(diào)減區(qū)間;當(dāng)0a0或f(x)0.若已知函數(shù)的單調(diào)性,則轉(zhuǎn)化為不等式f(x)0或f(x)0在單調(diào)區(qū)間上恒成立來(lái)求解跟蹤演練2(1)函數(shù)f(x)x2ln x的單調(diào)減區(qū)間為_(kāi)答案(0,1)解析由題意知,函數(shù)的定義域?yàn)?0,),又由f(x)x0,解得0x0),由題意可知,f1,解得a1.故f(x)x3ln x,f(x),根據(jù)題意在區(qū)間上,由f(x)0,得x2.于是在區(qū)間上,當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)的變化情況如下表:x2(2,3)3f(x)0f(x)13ln 2f(x)minf(2)13ln 2.(2)f(x)a(x0), 由題意可得方程ax23x20有兩個(gè)不等的正實(shí)根,不妨設(shè)這兩個(gè)根為x1,x2,并令h(x)ax23x2,則解得0a0,bR)有極值,且導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)是f(x)的零點(diǎn)(極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值)(1)求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域;(2)證明:b23a;(3)若f(x),f(x)這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和不小于,求a的取值范圍(1)解由f(x)x3ax2bx1,得f(x)3x22axb32b.當(dāng)x時(shí),f(x)有極小值b.因?yàn)閒(x)的極值點(diǎn)是f(x)的零點(diǎn),所以f10,又a0,故b.因?yàn)閒(x)有極值,故f(x)3x22axb0有實(shí)根,所以4a212b0,從而b(27a3)0,即a3.當(dāng)a3時(shí),f(x)0(x1),故f(x)在R上是增函數(shù),f(x)沒(méi)有極值;當(dāng)a3時(shí),f(x)0有兩個(gè)相異的實(shí)根x1,x2.當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)的變化情況如下表:x(,x1)x1(x1,x2)x2(x2,)f(x)00f(x)極大值極小值故f(x)的極值點(diǎn)是x1,x2.從而a3.因此b,定義域?yàn)?3,)(2)證明由(1)知, .設(shè)g(t)(t3),則g(t).當(dāng)t時(shí),g(t)0,從而g(t)在上單調(diào)遞增又3,故g(t)g(3),即.因此b23a.(3)解由(1)知,f(x)的極值點(diǎn)是x1,x2,且x1x2a,xx.從而f(x1)f(x2)xaxbx11xaxbx21(3x2ax1b)(3x2ax2b)a(xx)b(x1x2)220.記f(x),f(x)所有極值之和為h(a),因?yàn)閒(x)的極值為ba2,所以h(a)a2,a3.因?yàn)閔(a)a0,所以g(x)在(0,)上單調(diào)遞增又因?yàn)間(1)0,所以當(dāng)0x1時(shí),g(x)f(x)1時(shí),g(x)f(x)0,因此f(x)在(1,)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x1時(shí),f(x)的最小值為f(1)0.(2)當(dāng)a0時(shí),g(x)0,所以g(x)在(0,)上單調(diào)遞增又g(1a)ln(1a)ln 10,g(e2)1e2a0,所以g(x)在(0,)上恰有一個(gè)零點(diǎn)x0,則在(0,x0)上,g(x)f(x)0,f(x)單調(diào)遞減;在(x0,)上,f(x)單調(diào)遞增,所以x0是f(x)的極小值點(diǎn),不合題意當(dāng)a0時(shí),令g(x)0,得xa,所以g(x)在(0,a)上單調(diào)遞減,在(a,)上單調(diào)遞增當(dāng)g(a)ln(a)20,即ae2時(shí),f(x)g(x)g(a)0,則f(x)在(0,)上單調(diào)遞增,無(wú)極值點(diǎn),滿足題意當(dāng)g(a)ln(a)20 ,即e2a0,則g(1)g(a)0,所以g(x)在(a,)上恰有一個(gè)零點(diǎn)x1,所以當(dāng)x(a,x1)時(shí),f(x)g(x)0,則f(x)在(a,x1)上單調(diào)遞減,在(x1,)上單調(diào)遞增,所以x1是f(x)的極小值點(diǎn),不合題意綜上所述,a的取值范圍是(,e2A組專題通關(guān)1(2018南通模擬)若曲線yxln x在x1與xt處的切線互相垂直,則正數(shù)t的值為_(kāi)答案e2解析yln x1 ,1,ln t2,解得te2.2已知f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x0時(shí),f(x)ln(x)3x,則曲線yf(x)在點(diǎn)(1,3)處的切線方程是_答案2xy10解析設(shè)x0,則x0,f(x)ln x3x,又f(x)為偶函數(shù),所以當(dāng)x0時(shí),f(x)ln x3x,f(x)3,所以f(1)2,所以切線方程為2xy10.3已知a0,函數(shù)f(x)(x22ax)ex,若f(x)在1,1上是單調(diào)減函數(shù),則a的取值范圍是_答案解析f(x)(2x2a)ex(x22ax)exx2(22a)x2aex,由題意知當(dāng)x1,1時(shí),f(x)0恒成立,即x2(22a)x2a0在x1,1時(shí)恒成立令g(x)x2(22a)x2a,x1,1,則有即解得a.4已知函數(shù)f(x)x3ax2bxa27a在x1處取得極大值10,則的值為_(kāi)答案解析由題意知f(x)3x22axb,f(1)0,f(1)10,即解得或經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意,故.5若函數(shù)f(x)ax3ax2(2a3)x1在R上存在極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(0,3)解析求導(dǎo)可得f(x)ax22ax2a3.函數(shù)f(x)ax3ax2(2a3)x1存在極值點(diǎn),f(x)0有兩個(gè)不等實(shí)根,其判別式4a24a(2a3)0,0a3,a的取值范圍是(0,3)6函數(shù)yx2cos x在區(qū)間上的最大值是_答案解析y12sin x,令y0,且x,得x,當(dāng)x時(shí),y0;當(dāng)x時(shí),y0,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以當(dāng)x時(shí),函數(shù)取最大值.7若函數(shù)f(x)ex(x22xa)在區(qū)間a,a1上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的最大值為_(kāi)答案 解析因?yàn)閒(x)ex(x22xa2x2)ex(x2a2),且函數(shù)f(x)在區(qū)間a,a1上單調(diào)遞增,所以a2x2在xa,a1上恒成立當(dāng)a10即a0時(shí),yx2在a,a1上單調(diào)遞增,yx2的最大值是(a1)2,故a2(a1)2,所以00,f(x)單調(diào)遞增;x(1,)時(shí),f(x)0時(shí),f(x).當(dāng)0a1,當(dāng)x(0,1)或x時(shí),f(x)0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x時(shí),f(x)2時(shí),00,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x時(shí),f(x)0,f(x)單調(diào)遞減綜上所述,當(dāng)a0時(shí),函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在(1,)內(nèi)單調(diào)遞減;當(dāng)0a2時(shí),f(x)在內(nèi)單調(diào)遞增;在內(nèi)單調(diào)遞減,在(1,)內(nèi)單調(diào)遞增10已知函數(shù)f(x)x3ax2x2.(1)試問(wèn)函數(shù)f(x)能否在x處取得極值?請(qǐng)說(shuō)明理由;(2)若a1,令g(x)2xf(x),求函數(shù)g(x)在(1,2)上的極大值、極小值;(3)若函數(shù)f(x)在上為單調(diào)增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)由題意知f(x)3x22ax1,假設(shè)在x處f(x)取得極值,則有f1a10,解得a.此時(shí),f(x)3x22x1(x1)20,f(x)為R上的增函數(shù),無(wú)極值所以函數(shù)f(x)不可能在x處取得極值(2)當(dāng)a1時(shí),g(x)2x(x3x2x2)x3x2x2,所以g(x)3x22x1.由g(x)0,得x或x1.當(dāng)x(1,2)時(shí),g(x),g(x)的變化情況如下表:x1(1,2)g(x)00g(x)1所以函數(shù)g(x)在x處取得極小值;在x1處取得極大值1.(3)因?yàn)閒(x)3x22ax1的對(duì)稱軸為x.若,即a1時(shí),要使函數(shù)f(x)在上為單調(diào)增函數(shù),則有4a2120,解得a,所以a1;若1時(shí),要使函數(shù)f(x)在上為單調(diào)增函數(shù),則有f322a10,解得a2,所以1a2.綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍為,2B組能力提高11(2018揚(yáng)州期末)已知函數(shù)f(x)sin xx2x,則關(guān)于x的不等式f(1x2)f(5x7)0的解集為_(kāi)答案(2,3)解析易得ff(x),又 f(2x2x)ln 20,故函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,所以ff,即f75x,解得 2x3.12已知a,b為正實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)ax3bx2x在0,1上的最大值為4,則f(x)在1,0上的最小值為_(kāi)答案解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)ax3bx2x(a0,b0)在0,1上的最大值為4,所以函數(shù)g(x)ax3bx在0,1上的最大值為2,而g(x)是奇函數(shù),所以g(x)在1,0上的最小值為2,故f(x)在1,0上的最小值為221.13已知函數(shù)f(x)xln xax在(0,e)上是增函數(shù),函數(shù)g(x)|exa|,當(dāng)x0,ln 3時(shí),函數(shù)g(x)的最大值M與最小值m的差為,則a的值為_(kāi)答案解析由f(x)(ln x1)a0在(0,e)上恒成立,即aln x1,得a2.當(dāng)2a3時(shí),g(x)g(x)在0,ln a上單調(diào)遞減,在ln a,ln 3上單調(diào)遞增,且g(0)g(ln 3),所以Mmg(0)g(ln a)a1,解得a;當(dāng)a3時(shí),g(x)aex,g(x)在0,ln 3上單調(diào)遞減,所以Mmg(0)g(ln 3)2,舍去所以a.14已知函數(shù)f(x)x1a(x1)2ln x(aR)(1)當(dāng)a0時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)g(x)f(x)x1既有一個(gè)極小值又有一個(gè)極大值,求a的取值范圍;(3)若存在b(1,2),使得當(dāng)x(0,b時(shí),f(x)的值域是f(b),),求a的取值范圍注:自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e2.718 28.解(1)f(x)的定義域?yàn)?0,) .當(dāng)a0時(shí),f(x)x1ln x(x0),f(x)1.由f(x)0,得0x0,得x1,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1,),單調(diào)減區(qū)間為(0,1)(2)g(x)a(x1)2ln x,則g(x)2a(x1).令h(x)2ax22ax1(x0),若函數(shù)g(x)有兩個(gè)極值點(diǎn),則方程h(x)0必有兩個(gè)不相等的正實(shí)根設(shè)兩根為x1,x2,于是解得a2.當(dāng)a2時(shí), h(x)0有兩個(gè)不相等的正實(shí)根,設(shè)為x1,x2,不妨設(shè)x1x2,則g(x).當(dāng)0x0,g(x)0,函數(shù)g(x)在(0,x1)上為減函數(shù);當(dāng)x1xx2時(shí),h(x)0,函數(shù)g(x)在(x1,x2)上為增函數(shù);當(dāng)xx2時(shí),h(x)0,g(x)0,函數(shù)g(x)在(x2,)上為減函數(shù)由此,xx1是函數(shù)g(x)的極小值點(diǎn),xx2是函數(shù)g(x)的極大值點(diǎn),符合題意綜上所述,所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,)(3)f(x)12a(x1)(x0)當(dāng)a0時(shí),0.當(dāng)0x1時(shí),f(x)1時(shí),f(x)0,f(x)在(1,)上為增函數(shù),所以,當(dāng)x(0,b(1b2)時(shí),f(x)minf(1)00時(shí),f(x).(i)當(dāng)時(shí),當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)的變化情況如下表:x1(1,)f(x)00f(x)極小值極大值若滿足題意,只需滿足ff(2),即1a2ln 1aln 2,整理得ln 2aln 210.令F(a)ln 2aln 21,當(dāng)a時(shí),F(xiàn)(a)0,所以F(a)在上為增函數(shù),所以,當(dāng)a時(shí),F(xiàn)(a)Fln 2ln 0.可見(jiàn),當(dāng)a時(shí),ff(2)恒成立,故當(dāng)a,x(0,b(1b滿足題意(ii)當(dāng)1,即a時(shí),f(x)0,當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號(hào)所以f(x)在(0,)上為減函數(shù),從而f(x)在(0,b上為減函數(shù),符合題意(iii)當(dāng)1,即0a時(shí),當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)的變化情況如下表:x(0,1)1f(x)00f(x)極小值極大值若滿足題意,只需滿足f(2)f(1),且1ln 2,且a.又1ln 2,所以a1ln 2.此時(shí),1ln 2a1ln 2.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1ln 2,)- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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