（全國通用版）2019高考數(shù)學二輪復習 中檔大題規(guī)范練（五）坐標系與參數(shù)方程 理.doc

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(五)坐標系與參數(shù)方程 1．(2018甘肅省西北師范大學附屬中學模擬)已知在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ＝2cos. (1)判斷直線l與曲線C的位置關(guān)系； (2)設M為曲線C上任意一點，求x＋y的取值范圍． 解　(1)由 消去t，得直線l的普通方程為y＝x＋4. 由ρ＝2cos， 得ρ＝2cos θcos －2sin θsin＝cos θ－sin θ. ∴ρ2＝ρcos θ－ρsin θ， 即 x2－x＋y2＋y＝0. 化為標準方程得2＋2＝1. ∴圓心坐標為，半徑為1. ∵圓心到直線l：x－y＋4＝0的距離 d＝＝5>1， ∴直線l與曲線C相離． (2)由M(x，y)為曲線C上任意一點， 可設(0≤θ<2π)， 則x＋y＝sin θ＋cos θ＝sin， ∵0≤θ<2π， ∴－≤sin≤， ∴x＋y的取值范圍是[－，]． 2．(2018湖北省華中師范大學第一附屬中學模擬)在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，曲線C2的參數(shù)方程為(β為參數(shù))，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系． (1)求曲線C1和曲線C2的極坐標方程； (2)已知射線l1：θ＝α，將射線l1順時針方向旋轉(zhuǎn)得到l2：θ＝α－，且射線l1與曲線C1交于O，P兩點，射線l2與曲線C2交于O，Q兩點，求|OP||OQ|的最大值． 解　(1)曲線C1的直角坐標方程為(x－1)2＋y2＝1， 所以C1的極坐標方程為ρ＝2cos θ. 曲線C2的直角坐標方程為x2＋(y－1)2＝1， 所以C2的極坐標方程為ρ＝2sin θ. (2)設點P的極坐標為(ρ1，α)，即ρ1＝2cos α， 設點Q的極坐標為， 即ρ2＝2sin， 則|OP||OQ| ＝ρ1ρ2＝2cos α2sin ＝4cos α ＝2sin αcos α－2cos2α ＝sin 2α－cos 2α－1＝2sin－1. ∵<α<， ∴<2α－<， 當2α－＝，即α＝時， |OP||OQ|取最大值1. 3．(2018江西省重點中學協(xié)作體聯(lián)考)在平面直角坐標系xOy中，曲線C1過點P(m,2)，其參數(shù)方程為(t為參數(shù)，m∈R)，以O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρcos 2θ＋8cos θ－ρ＝0. (1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標方程； (2)求已知曲線C1和曲線C2交于A，B兩點，且|PA|＝2|PB|，求實數(shù)m的值． 解　(1)C1的參數(shù)方程(t為參數(shù)，m∈R) 消參得普通方程為x＋y－m－2＝0. C2的極坐標方程化為ρ(2cos2θ－1)＋8cos θ－ρ＝0，兩邊同乘ρ得2ρ2cos2θ＋8ρcos θ－2ρ2＝0，即y2＝4x. 即C2的直角坐標方程為y2＝4x. (2)將曲線C1的參數(shù)方程標準化為(t為參數(shù)，m∈R)，代入曲線C2：y2＝4x， 得t2＋4t＋4－4m＝0， 由Δ＝(4)2－4(4－4m)>0，得m>－3， 設A，B對應的參數(shù)為t1，t2， 由題意得|t1|＝2|t2|，即t1＝2t2或t1＝－2t2， 當t1＝2t2時， 解得m＝－，滿足m>－3； 當t1＝－2t2時， 解得m＝33，滿足m>－3. 綜上，m＝－或33. 4．(2018鄭州模擬)在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0≤α<π)．以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為ρcos2θ＝4sin θ. (1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程； (2)設直線l與曲線C交于不同的兩點A，B，若|AB|＝8，求α的值． 解　(1)將(t為參數(shù)，0≤α<π)消去參數(shù)t， 整理得xsin α－ycos α＋cos α＝0， ∴直線l的普通方程為xsin α－ycos α＋cos α＝0. ∵ρcos2θ＝4sin θ， ∴ρ2cos2θ＝4ρsin θ， 將ρcos θ＝x，ρsin θ＝y(tǒng)代入上式，得x2＝4y， ∴曲線C的直角坐標方程為x2＝4y. (2)將(t為參數(shù)，0≤α<π)代入方程x2＝4y，整理，得 t2cos2α－4tsin α－4＝0， 顯然Δ＝16sin2α＋16cos2α＝16>0. 設A，B兩點對應的參數(shù)分別為t1，t2， 則t1＋t2＝，t1t2＝， ∴|AB|＝|t1－t2|＝ ＝ ＝8， 解得cos α＝， 又0≤α<π， ∴α＝或α＝. 5．(2018貴州省凱里市第一中學模擬)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)，α∈[0，π])，以原點O為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系． (1)寫出曲線C的極坐標方程； (2)設直線l1：θ＝θ0(θ0為任意銳角)，l2：θ＝θ0＋分別與曲線C交于A，B兩點，試求△AOB面積的最小值． 解　(1)由cos2α＋sin2α＝1， 將曲線C的參數(shù)方程 消參得＋＝1(y≥0)． 又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 所以＋＝1， 化簡整理得曲線C的極坐標方程為 ρ2＝(θ∈[0，π])．① (2)將θ＝θ0代入①式，得 |OA|2＝ρ＝， 同理|OB|2＝ρ＝ ＝， 于是＋＝＋ ＝， 由于＝＋≥2(當且僅當ρA＝ρB時取“＝”)， 故ρAρB≥，S△AOB＝ρAρB≥. 故△AOB面積的最小值為.