(浙江專用)2020版高考數(shù)學新增分大一輪復習 第六章 平面向量、復數(shù) 6.4 平面向量的應用(第2課時)平面向量的綜合應用講義(含解析).docx
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第2課時平面向量的綜合應用題型一平面向量與數(shù)列例1(2018浙江名校協(xié)作體考試)設(shè)數(shù)列xn的各項都為正數(shù)且x11.ABC內(nèi)的點Pn(nN*)均滿足PnAB與PnAC的面積比為21,若xn1(2xn1)0,則x4的值為()A15B17C29D31答案A解析因為xn1(2xn1)0,所以(2xn1)xn1,如圖,設(shè)(2xn1),以PnA和PnD為鄰邊作平行四邊形PnDEA,所以xn1,所以,所以,又,所以,所以,所以xn12xn1,又x11,所以x23,x37,x415,故選A.思維升華向量與其他知識的結(jié)合,多體現(xiàn)向量的工具作用,利用向量共線或向量數(shù)量積的知識進行轉(zhuǎn)化,“脫去”向量外衣,利用其他知識解決即可跟蹤訓練1(1)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若a1a2018,且A,B,C三點共線(該直線不過點O),則S2018等于()A1009B1008C2017D2018答案A解析因為a1a2018,且A,B,C三點共線,a1a20181,又數(shù)列an是等差數(shù)列,S20181009.(2)(2018浙江新高考預測)角A,B,C為ABC的三個內(nèi)角,向量m滿足|m|,且m,當角A最大時,動點P使得|,|,|成等差數(shù)列,則的最大值是_答案解析設(shè)BC2a,BC的中點為D.由題意得|m|2221cos(BC)1cos(BC)cosBcosCsinBsinC,則cosBcosCsinBsinC,化簡得tanBtanC,則tanAtan(BC)(tanBtanC)2,當且僅當tanBtanC時,等號成立,所以當角A最大時,A,BC,則易得AD.因為|,|,|成等差數(shù)列,所以2|,則點P在以B,C為焦點,以2|4a為長軸的橢圓上,由圖(圖略)易得當點P為橢圓的與點A在直線BC的異側(cè)的頂點時,|取得最大值,此時|a,則|,所以.題型二和向量有關(guān)的最值問題命題點1與平面向量基本定理有關(guān)的最值問題例2(1)(2018浙江鎮(zhèn)海中學測試)已知ABC內(nèi)接于圓O,且A60,若xy(x,yR),則x2y的最大值是()A.B1C.D2答案D解析設(shè)ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.由xy,得x2y,xy2,所以解得所以x2y2222(當且僅當bc時取等號),故選D.(2)(2018溫州模擬)如圖,在矩形ABCD中,AB3,AD4,M,N分別為線段BC,CD上的點,且滿足1,若xy,則xy的最小值為_答案解析連接MN交AC于點G.由勾股定理,知MN2CM2CN2,所以1,即MNCMCM,所以C到直線MN的距離為定值1,此時MN是以C為圓心,1為半徑的圓的一條切線(如圖所示),xy(xy).由向量共線定理知,(xy),所以xy,又因為|max514,所以xy的最小值為.命題點2與數(shù)量積有關(guān)的最值問題例3(1)(2017浙江)如圖,已知平面四邊形ABCD,ABBC,ABBCAD2,CD3,AC與BD交于點O,記I1,I2,I3,則()AI1I2I3BI1I3I2CI3I1I2DI2I1I3答案C解析I1I2(),又與所成角為鈍角,I1I20,即I1I2.I1I3|cosAOB|cosCODcosAOB(|),又AOB為鈍角,OAOC,OBOD,I1I30,即I1I3.I3I1I2,故選C.(2)(2018紹興市柯橋區(qū)質(zhì)檢)已知向量a,b,c滿足|b|c|2|a|1,則(ca)(cb)的最大值是_,最小值是_答案3解析由題意得|a|,|b|c|1,則(ca)(cb)|c|2cbcaab|c|2(abc)2(|a|2|b|2|c|2)(abc)2,則當向量a,b,c同向共線時,(ca)(cb)取得最大值23,當abc0時,(ca)(cb)取得最小值.命題點3與模有關(guān)的最值問題例4 (1)(2018浙江金華一中考試)已知,是空間兩兩垂直的單位向量,xyz,且x2y4z1,則|的最小值為_答案解析方法一由題意可設(shè)(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)由x2y4z1,得x12y4z.由xyz(x,y,z),則|,所以|的最小值為.方法二由方法一得|,又x2y4z1表示一個平面,所以|的最小值d為定點(1,1,0)到平面x2y4z1的距離,即d.(2)(2018浙江學軍中學模擬)已知平面向量a,b,c滿足|a|3,|b|c|5,01,若bc0,則|ab(bc)|的最小值為_答案3解析建立如圖所示的平面直角坐標系,設(shè)a,則A在以O(shè)為圓心,3為半徑的圓上運動設(shè)b,c,則bc,取DBC,設(shè)(bc),則(1)(bc),取EOC使得c,則|ab(bc)|,|,|ab(bc)|,作點E關(guān)于BC的對稱點E,則|,由E(0,2)易得E(3,5),|ab(bc)|33,且知當A,D在線段OE上時取等號,|ab(bc)|的最小值為3.思維升華和向量有關(guān)的最值問題,要回歸向量的本質(zhì)進行轉(zhuǎn)化,利用數(shù)形結(jié)合、基本不等式或者函數(shù)的最值求解跟蹤訓練2 (1)(2013浙江)設(shè)ABC,P0是邊AB上一定點,滿足P0BAB,且對于邊AB上任一點P,恒有,則()AABC90BBAC90CABACDACBC答案D解析設(shè)BC中點為M,連接P0M,則2222同理22恒成立,|恒成立即P0MAB,取AB的中點N,連接CN,又P0BAB,則CNAB,ACBC.故選D.(2)(2018臺州期末)已知m,n是兩個非零向量,且|m|1,|m2n|3,則|mn|n|的最大值為()A.B.C4D5答案B解析因為(m2n)24n24mn19,所以n2mn2,所以(mn)2m22mnn25n2,所以|mn|n|n|.令|n|x(0x),f(x)x,則f(x)1.由f(x)0,得x(舍負),所以當0x0,當x時,f(x)0,所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以f(x)maxf,故選B.(3)將一圓的八個等分點分成相間的兩組,連接每組的四個點得到兩個正方形,去掉兩個正方形內(nèi)部的八條線段后可以形成一個正八角星,如圖所示,設(shè)正八角星的中心為O,并且e1,e2.若將點O到正八角星16個頂點的向量都寫成為e1e2,R的形式,則的最大值為_答案1解析由題意知,要取得最大值,必然是點O到正八角星的7個頂點的向量在如圖所示的,中的一個向量e1,此時1;(1)e1(1)e2,此時;()e1e2,此時1;e1e2,此時2;()e1e2,此時1;(1)(1)e1e2,此時;e2,此時1.綜上所述,的最大值為1.題型三和向量有關(guān)的創(chuàng)新題例5稱d(a,b)|ab|為兩個向量a,b間的“距離”若向量a,b滿足:|b|1;ab;對任意的tR,恒有d(a,tb)d(a,b),則()AabBb(ab)Ca(ab) D(ab)(ab)答案B解析由于d(a,b)|ab|,因此對任意的tR,恒有d(a,tb)d(a,b),即|atb|ab|,即(atb)2(ab)2,t22tab(2ab1)0對任意的tR都成立,因此有(2ab)24(2ab1)0,即(ab1)20,得ab10,故abb2b(ab)1120,故b(ab)思維升華解答創(chuàng)新型問題,首先需要分析新定義(新運算)的特點,把新定義(新運算)所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚,然后應用到具體的解題過程之中,這是破解新定義(新運算)信息題難點的關(guān)鍵所在跟蹤訓練3定義一種向量運算“”:ab(a,b是任意的兩個向量)對于同一平面內(nèi)向量a,b,c,e,給出下列結(jié)論:abba;(ab)(a)b(R);(ab)cacbc;若e是單位向量,則|ae|a|1.以上結(jié)論一定正確的是_(填上所有正確結(jié)論的序號)答案解析當a,b共線時,ab|ab|ba|ba,當a,b不共線時,ababbaba,故是正確的;當0,b0時,(ab)0,(a)b|0b|0,故是錯誤的;當ab與c共線時,存在a,b與c不共線,(ab)c|abc|,acbcacbc,顯然|abc|acbc,故是錯誤的;當e與a不共線時,|ae|ae|a|e|a|1,當e與a共線時,設(shè)aue,uR,|ae|ae|uee|u1|u|1,故是正確的綜上,結(jié)論一定正確的是.1在平面直角坐標系中,若|a|b|c|2,且ab0,(ac)(bc)0,則|abc|的取值范圍是()A0,22 B0,2C 22,22 D22,2答案D解析在平面直角坐標系中,由于|a|b|c|2,且ab0,設(shè)a(2,0),b(0,2),c(2cos,2sin),則(ac)(bc)(22cos,2sin)(2cos,22sin)44(sincos)0,即sincos1,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)知1sincos,所以|abc|,22,2,故選D.2(2018紹興質(zhì)檢)已知不共線的兩個非零向量a,b滿足|ab|2ab|,則()A|a|2|b|C|b|ab|答案A解析設(shè)向量a,b的夾角為,則由|ab|2ab|,得(ab)2(2ab)2,即|a|22|a|b|cos|b|24|a|24|a|b|cos|b|2,化簡得|a|2|b|cos.因為向量a,b不共線,所以cos(0,1),所以|a|ab|,此時,|ab|2|a|2|b|2;當a,b夾角為鈍角時,|ab|a|2|b|2;當ab時,|ab|2|ab|2|a|2|b|2,故選D.5(2018臺州市三區(qū)三校適應性考試)已知a,b為單位向量,且ab,|ca|c2b|,則|c2a|cb|的最小值是()A5B.C.D.答案B解析在平面直角坐標系xOy中,不妨令a(1,0),b(0,1),設(shè)c(x,y),則|ca|c2b|,易知C(x,y)的軌跡為線段2xy20(0x1),|c2a|cb|,所以問題轉(zhuǎn)化為求點(2,0),(0,1)與線段上點的距離之和的最小值,易知最小值為點(2,0)與點(0,1)之間的距離,為.6.如圖,在扇形OAB中,AOB,C為弧AB上與A,B不重合的一個動點,且xy,若uxy(0)存在最大值,則的取值范圍為()A(1,3) B.C.D.答案D解析設(shè)BOC,則AOC,因為xy,所以即解得xcoscossin,ycossin,所以usinsincossin(),其中tan,因為0,所以,整理得0,解得2,故選D.7設(shè)向量a(a1,a2),b(b1,b2),定義一種運算:ab(a1,a2)(b1,b2)(a1b1,a2b2)已知向量m,n.點P在ycosx的圖象上運動,點Q在yf(x)的圖象上運動,且滿足mn(其中O為坐標原點),則yf(x)在區(qū)間上的最大值是()A4B2C2D2答案A解析設(shè)(x0,y0),(x,y),由題意可得y0cosx0,(x,y)mn(x0,y0),即xx0,y4y0,即x02x,y0y,所以ycos,即y4cos.因為點Q在yf(x)的圖象上運動,所以f(x)4cos,當x時,02x,所以當2x0時,f(x)取得最大值4.8已知ABC的外心為O,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對的邊,且0,則a,b,c的關(guān)系為_,cosB的取值范圍為_答案a22c23b2解析設(shè)AC邊上的中點為D,則ODAC,從而有()0b2,同理有c2,()b2c2,同理有c2a2,a2b2,由0,得a22c23b2.cosB(當且僅當ac時取等號),又cosB1,cosB0),mn,m,nR,且n,則|的取值范圍是_答案解析以C為坐標原點,CB所在直線為x軸建立平面直角坐標系不妨假設(shè)A在x軸上方,則B(6,0),A(1,)由可得直線CO的方程為yx.設(shè)O,其中x0.由mn,得mn,所以解得n.由n,可得x,所以|x.13如圖所示,已知點D為ABC的邊BC上一點,3,En(nN*)為邊AC上的一系列點,滿足an1(3an2),其中實數(shù)列an中,an0,a11,則數(shù)列an的通項公式為an_.答案23n11解析因為3,所以().設(shè)m,則由an1(3an2),得0,即man1,m(3an2),所以an1(3an2),所以an113(an1)因為a112,所以數(shù)列an1是以2為首項,3為公比的等比數(shù)列,所以an123n1,所以an23n11.14(2018浙江重點中學考試)已知在ABC中,ACAB,AB3,AC4.若點P在ABC的內(nèi)切圓上運動,則()的最小值為_答案2解析因為ACAB,所以以A為坐標原點,以AB,AC所在的直線分別為x軸,y軸,建立平面直角坐標系(圖略),則A(0,0),B(3,0),C(0,4)由題意可知ABC內(nèi)切圓的圓心為D(1,1),半徑為1.因為點P在ABC的內(nèi)切圓上運動,所以可設(shè)P(1cos,1sin)(02)所以(1cos,1sin),(12cos,22sin),所以()(1cos)(12cos)(1sin)(22sin)1cos2cos222sin21cos112,當cos1,即P(0,1)時,()取到最小值,且最小值為2.15(2018浙江杭州二中考試)如圖,在邊長為1的正方形ABCD中,E為AB的中點,P為以A為圓心,AB為半徑的圓弧(在正方形內(nèi),包括邊界點)上的任意一點,則的取值范圍是_若向量,則的最小值為_答案0,1解析以點A為坐標原點,分別以AB,AD所在的直線為x軸,y軸建立平面直角坐標系,則易得A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),E,P(cos,sin),則(cos,sin)(cos1,sin)cos2cossin21cos,又因為0,所以1cos0,1由,得(1,1)(cos,sin),所以解得則,當時,5,當時,設(shè)f(x)(x0),則f(x)0(x0),所以函數(shù)f(x)在0,)上單調(diào)遞增;則當tan0時,取得最小值.綜上所述,的最小值為.16已知非零向量a,b,c滿足|a|b|2ab1,且ac和bc的夾角為,則(ac)(bc)的最小值是_答案解析由題可知,單位向量a和b的夾角為,又ac和bc的夾角為,所以點C的軌跡是以O(shè)為圓心,1為半徑的圓的劣弧和劣弧關(guān)于直線AB對稱的弧,即過點A,O,B的弧(如圖)以O(shè)為坐標原點,垂直于AB的直線為x軸(向右為正方向),建立平面直角坐標系(圖略),則A,B.當點C在劣弧上時,設(shè)C(cos,sin),則有ac,bc,所以(ac)(bc)cos.當點C在過點A,O,B的弧上時,設(shè)C(1cos,sin),則有ac,bc,所以(ac)(bc)3cos,當且僅當時,取最小值.故(ac)(bc)的最小值為.- 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