（江蘇專版）2018年高考數(shù)學(xué) 母題題源系列 專題10 幾何體的表面積與體積 理.doc

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專題10 幾何體的表面積與體積 【母題原題1】【2018江蘇，理10】如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為 ▲ ． 點(diǎn)睛：解決本類題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，可以根據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在幾何模型中進(jìn)行判斷；求一些不規(guī)則幾何體的體積時(shí)，常用割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決． 【母題原題2】【2017江蘇，理6】如圖,在圓柱內(nèi)有一個(gè)球,該球與圓柱的上、下面及母線均相切.記圓柱的體積為,球的體積為,則的值是 ▲ . O O1 O2 (第6題) 【答案】 【考點(diǎn)】圓柱體積 【名師點(diǎn)睛】空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略 (1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進(jìn)行求解． (2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解． 【母題原題3】【2015江蘇，理9】現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個(gè)。若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐與圓柱各一個(gè)，則新的底面半徑為 【答案】 【解析】由體積相等得： 【考點(diǎn)定位】圓柱及圓錐體積 【命題意圖】 高考主要考查幾何體的表面積和體積，考查基本求解能力. 【命題規(guī)律】1. 高考對立體幾何的計(jì)算，主要是能利用公式求常見幾何體(柱體、錐體、臺體和球)的表面積與體積．同時(shí)還能解決距離、翻折、存在性等比較綜合性的問題．2. 高考中常見的題型：(1) 常見幾何體的表面積與體積的計(jì)算；(2) 利用等積變換求距離問題；(3) 通過計(jì)算證明平行與垂直等問題． 【方法總結(jié)】 1. 幾何體的表面積的求法 (1)求表面積問題的思路是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面問題，即空間圖形平面化，這是解決立體幾何的主要出發(fā)點(diǎn)． (2)求不規(guī)則幾何體的表面積時(shí)，通常將所給幾何體分割成基本的柱、錐、臺體，先求這些柱、錐、臺體的表面積，再通過求和或作差求得幾何體的表面積． 2. 有關(guān)幾何體體積的類型及解題策略 常見類型 解題策略 球的體積問題 直結(jié)利用球的體積公式求解，在實(shí)際問題中要根據(jù)題意作出圖形，構(gòu)造直角三角形確定球的半徑 錐體、柱體的體積問題 根據(jù)題設(shè)條件求出所給幾何體的底面積和高，直結(jié)套用公式求解 不規(guī)則幾何體的體積問題 常用分割或補(bǔ)形的思想，若幾何體的底不規(guī)則，也需采用同樣的方法，將不規(guī)則的幾何體或平面圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體或平面圖形，易于求解 1．【江蘇省南通市2018屆高三最后一卷 --- 備用題數(shù)學(xué)試題】已知邊長為2的等邊三角形中，、分別為、邊上的點(diǎn)，且，將沿折成，使平面平面，則幾何體的體積的最大值為__________． 【答案】. 點(diǎn)睛：求最值問題往往先將所求問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù):配方法、換元法、不等式法、三角函數(shù)法、圖象法、函數(shù)單調(diào)性法求解，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值，首先確定函數(shù)的定義域，然后準(zhǔn)確地找出其單調(diào)區(qū)間 ，最后再根據(jù)其單調(diào)性求凼數(shù)的最值即可. 2．【江蘇省南通市2018屆高三最后一卷 --- 備用題數(shù)學(xué)試題】如圖，已知圓錐的高是底面半徑的倍，側(cè)面積為，若正方形內(nèi)接于底面圓，則四棱錐側(cè)面積為__________． 【答案】. 【解析】分析：設(shè)圓錐底面半徑為，則高為，母線長為， 由圓錐側(cè)面積為，可得，結(jié)合，利用三角形面積公式可得結(jié)果. 詳解：設(shè)圓錐底面半徑為，則高為，母線長為， 因?yàn)閳A錐側(cè)面積為， ，， 設(shè)正方形邊長為，則， 正四棱錐的斜高為， 正四棱錐的側(cè)面積為， 故答案為. 點(diǎn)睛：本題主要考查圓錐的性質(zhì)、正四棱錐的性質(zhì)，以及圓錐的側(cè)面積、正四棱錐的側(cè)面積，屬于中檔題，解答本題的關(guān)鍵是求得正四棱錐底面棱長與圓錐底面半徑之間的關(guān)系. 3．【江蘇省蘇州市2018屆高三調(diào)研測試（三）數(shù)學(xué)試題】現(xiàn)用一半徑為，面積為的扇形鐵皮制作一個(gè)無蓋的圓錐形容器（假定銜接部分及鐵皮厚度忽略不計(jì)，且無損耗），則該容器的容積為__________. 【答案】 點(diǎn)睛：涉及弧長和扇形面積的計(jì)算時(shí)，可用的公式有角度表示和弧度表示兩種，其中弧度表示的公式結(jié)構(gòu)簡單，易記好用，在使用前，應(yīng)將圓心角用弧度表示． 4．【江蘇省南京師大附中2018屆高三高考考前模擬考試數(shù)學(xué)試題】如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1的各條棱長均為2，D為棱B1C1上任意一點(diǎn)，則三棱錐D－A1BC的體積是______． 【答案】 點(diǎn)睛：本題考查三棱錐體積的計(jì)算，正確轉(zhuǎn)換底面是關(guān)鍵． 5．【江蘇省海門中學(xué)2018屆高三5月考試（最后一卷）數(shù)學(xué)試題】如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥底ABCD,底面ABCD是矩形，AB=2， AD=3，點(diǎn)E為棱CD上一點(diǎn)，若三棱錐E-PAB的體積為4，則PA的長為______. 【答案】4. 【解析】分析：由題意結(jié)合三棱錐的體積公式求解PA的長度即可. 詳解：由題意可知， 點(diǎn)E到平面的距離為， 由三棱錐的體積公式可得：，即：. 點(diǎn)睛：本題主要考查三棱錐的體積公式及其應(yīng)用，方程的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力. 6．【江蘇省揚(yáng)州樹人學(xué)校2018屆高三模擬考試（四）數(shù)學(xué)試題】記棱長為1的正三棱錐的體積為，棱長都為1的正三棱柱的體積為，則__________． 【答案】. 點(diǎn)睛：求椎體、柱體的體積時(shí)要按照體積公式分別求出底面面積和高，解題時(shí)注意一些中間結(jié)論的運(yùn)用，如等邊三角形的邊長為時(shí)，則它的高為，面積為等，以提高運(yùn)算的速度． 7．【江蘇省蘇州市第五中學(xué)校2018屆高三上學(xué)期期初考試數(shù)學(xué)（文）試題】已知圓錐和圓柱的底面半徑均為，高均為，則圓錐和圓柱的表面積之比是______． 【答案】 【解析】 【分析】 分別求出圓錐和圓柱的表面積. 【詳解】 圓錐的母線長， ，， . 故答案為：. 【點(diǎn)睛】 本題考查了旋轉(zhuǎn)體的表面積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題. 8．【江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2017-2018學(xué)年度高三教學(xué)情況調(diào)研（二）數(shù)學(xué)試題】在棱長為2的正四面體中，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且，則三棱錐的體積為____． 【答案】. 點(diǎn)睛：（1）解答本題的關(guān)鍵是體積轉(zhuǎn)化.如果直接求三棱錐的體積，點(diǎn)D到底面的高不是很好計(jì)算，所以考慮利用體積變換求體積，由于變到點(diǎn)M時(shí)，點(diǎn)M到底面的高計(jì)算比較方便，所以轉(zhuǎn)化成求三棱錐M-BDC的體積.（2）求幾何體的體積常用的方法有直接法和體積變換，要根據(jù)具體情況，靈活選擇. 9．【江蘇省2018年高考沖刺預(yù)測卷一數(shù)學(xué)】已知在體積為的圓柱中，，分別是上、下底面直徑，且，則三棱錐的體積為__________． 【答案】 【解析】設(shè)上，下底面圓的圓心分別為，，圓的半徑為 由已知，，則 是中點(diǎn) 到平面的距離與到平面的距離相等 故， 設(shè)三棱錐的高為 則， 10．【江蘇省無錫市2018屆高三第一學(xué)期期末檢測數(shù)學(xué)試卷】直三棱柱中，已知，，，，若三棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為__________． 【答案】