（江蘇專版）2018年高考數(shù)學(xué) 母題題源系列 專題12 直線與圓位置關(guān)系 理.doc

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專題12 直線與圓位置關(guān)系 【母題原題1】【2018江蘇，理12】在平面直角坐標(biāo)系中，A為直線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點(diǎn)D．若，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為________． 【答案】3 點(diǎn)睛：以向量為載體求相關(guān)變量的取值或范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、曲線方程等相結(jié)合的一類綜合問題.通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將問題轉(zhuǎn)化為解方程或解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類問題的一般方法. 【母題原題2】【2017江蘇，理13】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)在圓上,若則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是 ▲ . 【答案】 【考點(diǎn)】直線與圓，線性規(guī)劃 【名師點(diǎn)睛】線性規(guī)劃問題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)、直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍. 【母題原題3】【2016江蘇，理18】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知以為圓心的圓:及其上一點(diǎn)A(2，4). (1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓外切，且圓心N在直線x=6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）設(shè)平行于OA的直線l與圓相交于B，C兩點(diǎn)，且BC=OA，求直線l的方程； （3）設(shè)點(diǎn)T（t，0）滿足：存在圓上的兩點(diǎn)P和Q，使得，求實(shí)數(shù)t的取值范圍. 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 (3)設(shè) 【考點(diǎn)】直線方程、圓的方程、直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系、平面向量的運(yùn)算 【名師點(diǎn)睛】直線與圓中的三個定理：切線的性質(zhì)定理，切線長定理，垂徑定理；兩個公式：點(diǎn)到直線距離公式及弦長公式，其核心都是轉(zhuǎn)化到與圓心、半徑的關(guān)系上，這是解決直線與圓的根本思路.對于多元問題，也可先確定主元，如本題以為主元，揭示在兩個圓上運(yùn)動，從而轉(zhuǎn)化為兩個圓有交點(diǎn)這一位置關(guān)系，這也是解決直線與圓問題的一個思路，即將問題轉(zhuǎn)化為直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系問題. 【命題意圖】直線與圓是高中數(shù)學(xué)的C級知識點(diǎn)，是高中數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的典型體現(xiàn)． 【命題規(guī)律】 近年來，高考對直線與圓的命題，既充分體現(xiàn)自身知識結(jié)構(gòu)體系的命題形式多樣化，又保持與函數(shù)或不等式或軌跡相結(jié)合的命題思路，呈現(xiàn)出“綜合應(yīng)用，融會貫通”的特色，充分彰顯直線與圓的交匯價值． 【答題模板】解答本類題目，以2016年試題為例，一般考慮如下三步： 第一步：利用待定系數(shù)法求圓標(biāo)準(zhǔn)方程 第二步：根據(jù)圓中垂徑定理揭示等量關(guān)系 第三步：利用圓與圓位置關(guān)系、坐標(biāo)表示逐層揭示刻畫多元關(guān)系 【方法總結(jié)】 1.以動點(diǎn)軌跡為圓考查直線與圓、圓與圓位置關(guān)系,突出考查方程思想和解析法 2.以圓中直角三角形建立函數(shù)關(guān)系式或方程或不等式, 注重考查圓相關(guān)幾何性質(zhì)． 3.利用數(shù)形結(jié)合揭示與刻畫直線與圓、圓與圓位置關(guān)系,重點(diǎn)考查直線與圓的綜合應(yīng)用以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想． 1．【江蘇省南京師大附中2018屆高三高考考前模擬考試數(shù)學(xué)試題】已知直線x－y＋b＝0與圓交于不同的兩點(diǎn)A，B．若O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是______． 【答案】 點(diǎn)睛：本題考查向量知識的運(yùn)用，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，能正確的轉(zhuǎn)化向量的不等式是解題關(guān)鍵，屬于中檔題． 2．【江蘇省蘇州市第五中學(xué)校2018屆高三上學(xué)期期初考試數(shù)學(xué)（文）試題】已知，若直線上總存在點(diǎn)，使得過點(diǎn)的的兩條切線互相垂直，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____． 【答案】 【解析】 【分析】 設(shè)兩個切點(diǎn)分別為A、B，則由題意可得四邊形PAOB為正方形，根據(jù)圓心O到直線的距離，進(jìn)行求解即可得的范圍. 【詳解】 圓心為，半徑， 設(shè)兩個切點(diǎn)分別為A、B，則由題意可得四邊形PAOB為正方形， 故有， 圓心O到直線的距離， 即， 即，解得或. 故答案為：. 【點(diǎn)睛】 本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題. 3．【江蘇省南京市2018屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題】在平面直角坐標(biāo)系中，圓與軸的兩個交點(diǎn)分別為 ,其中在的右側(cè)，以為直徑的圓記為圓，過點(diǎn)作直線與圓，圓分別交于兩點(diǎn)．若為線段的中點(diǎn)，則直線的方程為_________． 【答案】 點(diǎn)睛：（1）本題主要考查直線的方程，直線與圓的位置關(guān)系,要在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握能力、基本的運(yùn)算能力和分析推理能力. (2)涉及直線與曲線的問題，經(jīng)常要聯(lián)立直線與曲線的方程得到韋達(dá)定理，這是一個常規(guī)的方法技巧，大家要理解掌握并靈活運(yùn)用. 4．【江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2017-2018學(xué)年度高三教學(xué)情況調(diào)研（二）數(shù)學(xué)試題】在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是____． 【答案】. 點(diǎn)睛:本題主要考查圓的基礎(chǔ)知識，考查函數(shù)的思想,意在考查學(xué)生圓的基礎(chǔ)知識的掌握能力和基本運(yùn)算能力. 5．【江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2017-2018學(xué)年度高三教學(xué)情況調(diào)研（二）數(shù)學(xué)試題】如圖，扇形的圓心角為90，半徑為1，點(diǎn)是圓弧上的動點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于弦的對稱點(diǎn)，則的取值范圍為____． 【答案】. 【解析】分析:先建立直角坐標(biāo)系，再設(shè)出點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)，利用已知條件求出P, Q的坐標(biāo)，再求出 的函數(shù)表達(dá)式，求其最值，即得其取值范圍. 詳解:以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)A所在直線作x軸，以O(shè)B所在直線作y軸，建立直角坐標(biāo)系.則A(1，0),B(0，1),直線AB的方程為x+y-1=0, 設(shè)P ，， 點(diǎn)睛：(1)本題的難點(diǎn)有三，其一是要聯(lián)想到建立直角坐標(biāo)系；其二是要能利用已知求出點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)，其三是能夠利用三角函數(shù)的知識求出函數(shù)的值域. （2）本題主要考查利用坐標(biāo)法解答數(shù)學(xué)問題，考查直線、圓的方程和三角恒等變換，考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生基礎(chǔ)知識的掌握能力及推理分析轉(zhuǎn)化能力，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力. 6．【江蘇省姜堰、溧陽、前黃中學(xué)2018屆高三4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題】已知點(diǎn)，若圓上恰有兩點(diǎn)，使得和的面積均為，則的取值范圍是____. 【答案】 【解析】由題意可得|AB|==2， 根據(jù)△MAB和△NAB的面積均為4， 可得兩點(diǎn)M，N到直線AB的距離為2； 由于AB的方程為=， 即x+y+3=0； 若圓上只有一個點(diǎn)到直線AB的距離為2， 則有圓心（2，0）到直線AB的距離為=r+2，解得r=； 7．【江蘇省無錫市2018屆高三第一學(xué)期期末檢測數(shù)學(xué)試卷】過圓內(nèi)一點(diǎn)作兩條相互垂直的弦和，且，則四邊形的面積為__________． 【答案】19. 【解析】 根據(jù)題意畫出上圖，連接 ，過 作 ， ， 為 的中點(diǎn)， 為 的中點(diǎn)，又 ， ，∴四邊形 為正方形， 由圓的方程得到圓心，半徑 ， 【點(diǎn)睛】 本題的關(guān)鍵點(diǎn)有以下： 1.利用數(shù)形結(jié)合法作輔助線構(gòu)造正方形； 2.利用勾股定理求解. 8．【江蘇省淮安市等四市2018屆高三上學(xué)期第一次模擬數(shù)學(xué)試題】在平面直角坐標(biāo)系中，若圓 上存在點(diǎn)，且點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在圓 上，則的取值范圍是____． 【答案】 【解析】關(guān)于直線的對稱圓，由題意，圓與圓有交點(diǎn)，所以，所以的范圍是。 點(diǎn)睛：本題考查直線和圓的位置關(guān)系。由題意，得到關(guān)于直線的對稱圓，存在點(diǎn)滿足條件，即圓與圓有交點(diǎn)，由圖象特點(diǎn)得，求得的范圍。直線和圓的題型充分利用圖象輔助解題。 9．【2018年4月2018屆高三第二次全國大聯(lián)考（江蘇卷）-數(shù)學(xué)】在平面直角坐標(biāo)系中,若直線上存在一點(diǎn),圓上存在一點(diǎn),滿足,則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________. 【答案】 10．【江蘇省南通市2018屆高三上學(xué)期第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)， ，從直線上一點(diǎn)向圓引兩條切線， ，切點(diǎn)分別為， .設(shè)線段的中點(diǎn)為，則線段長的最大值為_________. 【答案】 【解析】由射影定理得 設(shè) 因?yàn)?，所以 點(diǎn)睛：求與圓有關(guān)的軌跡問題時，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法： ①直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程． ②定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程． ③幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程． ④代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等．