（天津?qū)０妫?018年高考數(shù)學(xué) 母題題源系列 專題15 概率與統(tǒng)計(jì) 文.doc

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母題十五 概率與統(tǒng)計(jì) 【母題原題1】【2018天津，文15】 已知某校甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參加獻(xiàn)愛(ài)心活動(dòng)． （Ⅰ）應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？ （Ⅱ）設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用表示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作． （i）試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果； （ii）設(shè)為事件“抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)”，求事件發(fā)生的概率． 【考點(diǎn)分析】本小題主要考查隨機(jī)抽樣、用列舉法計(jì)算隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)、古典概型及其概率計(jì)算公式等基本知識(shí)．考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力．滿分13分． 【答案】(Ⅰ)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人；(Ⅱ)（i）答案見(jiàn)解析；（ii）． （Ⅱ）（i）從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)的所有可能結(jié)果為 ， ，共21種． （ii）由（Ⅰ），不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中，來(lái)自甲年級(jí)的是，來(lái)自乙年級(jí)的是，來(lái)自丙年級(jí)的是，則從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)的所有可能結(jié)果為，共5種．所以，事件M發(fā)生的概率為． 【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查隨機(jī)抽樣、用列舉法計(jì)算隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)、古典概型及其概率計(jì)算公式等基本知識(shí)．考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力． 【母題原題2】【2015天津，文15】 設(shè)甲、乙、丙三個(gè)乒乓球協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)分別為27，9，18，先采用分層抽樣的方法從這三個(gè)協(xié)會(huì)中抽取6名運(yùn)動(dòng)員參加比賽． （I）求應(yīng)從這三個(gè)協(xié)會(huì)中分別抽取的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)； （II）將抽取的6名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行編號(hào)，編號(hào)分別為，從這6名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2名參加雙打比賽． （i）用所給編號(hào)列出所有可能的結(jié)果； （ii）設(shè)A為事件“編號(hào)為的兩名運(yùn)動(dòng)員至少有一人被抽到”，求事件A發(fā)生的概率． 【答案】（I）3，1，2；（II）（i）見(jiàn)試題解析；（ii） 【解析】試題分析：（I）由分層抽樣方法可知應(yīng)從甲、乙、丙這三個(gè)協(xié)會(huì)中分別抽取的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)分別為3，1，2；（II）（i）一一列舉，共15種；（ii）符合條件的結(jié)果有9種，所以． ，，，，，共9種，所以事件A發(fā)生的概率 【命題意圖】本類問(wèn)題主要涉及古典概型、幾何概型、對(duì)立事件概率的計(jì)算及概率與統(tǒng)計(jì)的綜合，要求掌握利用古典概想、幾何概型求概率的方法，掌握利用互斥事件概率的加法公式及對(duì)立事件的概率公式求概率的方法． 【命題規(guī)律】 從近三年高考情況來(lái)看，本部分內(nèi)容為高考的必考內(nèi)容，以解答題的形式出現(xiàn)，1．以統(tǒng)計(jì)為背景或以數(shù)據(jù)為背景是常見(jiàn)題型，2．古典概型是概率論中最簡(jiǎn)單而又直觀的模型． 【答題模板】解答本類題目，以2017年高考北京卷試題為例，一般考慮如下三步： 第一步：分析頻率分布直方圖，每一個(gè)小矩形的面積表示本組的頻率； 第二步：會(huì)用公式 ，這樣即使頻數(shù)； 第三步：結(jié)合統(tǒng)計(jì)知識(shí) 能夠根據(jù)統(tǒng)計(jì)知識(shí)計(jì)算男女生人數(shù)． 【方法總結(jié)】 1．求古典概型的概率： （1）對(duì)于事件的概率的計(jì)算，關(guān)鍵是要分清基本事件總數(shù)與事件包含的基本事件數(shù)，因此必須解決以下三個(gè)方面的問(wèn)題，第一，試驗(yàn)所包含的基本事件是等可能的，第二，試驗(yàn)所包含的基本事件有多少個(gè)，第三，事件是什么，它包含的基本事件有多少個(gè)． （2）如果基本事件的個(gè)數(shù)比較少，可用列舉法把包含的古典概型試驗(yàn)所包含的基本事件一一列舉出來(lái)，然后再求出事件中的基本事件數(shù)，利用公式，求出事件的概率，若包含的基本事件個(gè)數(shù)比較多，還需根據(jù)排列組合知識(shí)求解包含的基本事件的個(gè)數(shù)． 2．互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率： ①計(jì)算公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)(A、B互斥)； ②對(duì)于較復(fù)雜的互斥事件的概率求法可考慮利用對(duì)立事件去求． 3．幾何概型與古典概型的關(guān)系 幾何概型是古典概型的補(bǔ)充和推廣，它要求隨機(jī)試驗(yàn)的基本事件空間包含無(wú)窮多個(gè)元素，每個(gè)基本事件由在幾何空間(一維、二維、三維)中的某一區(qū)域G內(nèi)隨機(jī)而取的點(diǎn)的位置來(lái)確定；而“基本事件發(fā)生或出現(xiàn)是等可能的”這一要求，兩種概率模型是高度統(tǒng)一的． 4．與長(zhǎng)度或面積有關(guān)的幾何概型是高考命題的熱點(diǎn)，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多 為容易題或中檔題．重點(diǎn)關(guān)注：與線段長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型；與一元不等式有關(guān)的幾何概型；與距離有關(guān)的幾何概型．求解與面積有關(guān)的幾何概型的注意點(diǎn)：求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的面積以求面積，必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解． 5．用樣本估計(jì)總體 （1）．頻率分布直方圖：畫一個(gè)只有橫、縱軸正方向的直角坐標(biāo)系，把橫軸分成若干段，每一段對(duì)應(yīng)一個(gè)組的組距，然后以此段為底作一矩形，它的高等于該組的，這樣得出一系列的矩形，每個(gè)矩形的面積恰好是該組上的頻率，這些矩形就構(gòu)成了頻率分布直方圖．在頻率分布直方圖中，每個(gè)小矩形的面積等于相應(yīng)數(shù)據(jù)的頻率，各小矩形的面積之和等于； （2）莖葉圖：莖葉圖是一種將樣本數(shù)據(jù)有條理地列出來(lái)，從中觀察樣本分布情況的圖．在莖葉圖中，“莖”表示數(shù)的高位部分，“葉”表示數(shù)的低位部分． （3）樣本的數(shù)字特征： ①眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)（一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)可能只有一個(gè)，也可能有多個(gè)）．在頻率分布直方圖中，最高的矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)； ②中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)由小到大（或由大到小）的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．在頻率分布直方圖中，中位數(shù)對(duì)應(yīng)的直線的左右兩邊的矩形面積之和均為，可以根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)求頻率分布直方圖中的中位數(shù)； ③平均數(shù)：設(shè)個(gè)數(shù)分別為、、、，則叫做這個(gè)數(shù)的算數(shù)平均數(shù)．在頻率分布直方圖中，它等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和； ④方差：設(shè)個(gè)數(shù)分別為、、、，則叫做這個(gè)數(shù)的方差，方差衡量樣本的穩(wěn)定性的強(qiáng)弱．一般來(lái)講，方差越大，樣本的穩(wěn)定性越差；方差越小越接近于零，樣本的穩(wěn)定性越強(qiáng)； ⑤標(biāo)準(zhǔn)差：設(shè)個(gè)數(shù)分別為、、、，則叫做這個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，標(biāo)準(zhǔn)差也可以衡量樣本穩(wěn)定性的強(qiáng)弱． 6．獨(dú)立性檢驗(yàn) （1）分類變量：對(duì)于變量的“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量； （2）列聯(lián)表：列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表． （3）與表格相比，三維柱形圖與二維條形圖更能直觀地反映出相關(guān)數(shù)據(jù)的總體狀況． （4）利用隨機(jī)變量來(lái)確定是否能以給定把握認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法，稱為兩個(gè)分類變量的 獨(dú)立性檢驗(yàn) （5)兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟： ①列出兩個(gè)分類變量的列聯(lián)表： ②假設(shè)兩個(gè)分類變量、無(wú)關(guān)系； ③計(jì)算（其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量)； ④把的值與臨界值比較，確定、有關(guān)的程度或無(wú)關(guān)系． 臨界值附表： 7．兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系 （1）作出兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖，如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在通過(guò)散點(diǎn)圖中心的一條直線附近，稱兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫回歸直線． （2）回歸方程為，其中=，． 1．【2018天津?yàn)I海新區(qū)七校模擬】從高三學(xué)生中抽取名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，成績(jī)（單位：分）的分組及各數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如圖所示，已知成績(jī)的范圍是區(qū)間，且成績(jī)?cè)趨^(qū)間的學(xué)生人數(shù)是人， （1）求的值； （2）若從數(shù)學(xué)成績(jī)（單位：分）在的學(xué)生中隨機(jī)選取人進(jìn)行成績(jī)分析 ①列出所有可能的抽取結(jié)果； ②設(shè)選取的人中，成績(jī)都在內(nèi)為事件，求事件發(fā)生的概率． 【答案】（1）50；（2）①見(jiàn)解析，② 【解析】試題分析：（1）由頻率分布直方圖的面積和為1，可求得x．（2）用枚舉法列出所有基本事件，再由古典概型可求得事件發(fā)生的概率． 試題解析：（1）由直方圖可得成績(jī)分布在區(qū)間的頻率為 ② “從上述5人中任選人，都來(lái)自分?jǐn)?shù)段”為事件A； 則事件A包含的基本事件有，故所求概率 【點(diǎn)睛】直方圖的兩個(gè)結(jié)論 （1）小長(zhǎng)方形的面積＝組距(頻率/組距)＝頻率． （2）各小長(zhǎng)方形的面積之和等于1． 2．【2018天津十二校模擬】為進(jìn)一步貫徹落實(shí)“十九”大精神，某高校組織了“歌頌祖國(guó)，緊跟黨走”為主題的黨史知識(shí)競(jìng)賽，從參加競(jìng)賽的學(xué)生中，隨機(jī)抽取40名學(xué)生，將其成績(jī)分為六段，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖． （1）求圖中的值； （2）若從競(jìng)賽成績(jī)?cè)谂c兩個(gè)分?jǐn)?shù)段的學(xué)生中隨機(jī)選取兩名學(xué)生，設(shè)這兩名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)之差的絕對(duì)值不大于分為事件，求事件發(fā)生的概率． 【答案】（1）；（2）． 【解析】試題分析：（1）根據(jù)直方圖中所有小矩形的面積之和等于 ，列方程求解即可；（2）成績(jī)?cè)谟腥?，成?jī)?cè)诘挠腥?，利用列舉法可得在兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)隨機(jī)選取兩名學(xué)生，所有的基本事件個(gè)數(shù)為 ，這兩名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)之差的絕對(duì)值不大于分的事件個(gè)數(shù)為，根據(jù)古典概型概率公式可得結(jié)果． 共15種． 事件包含的基本事件有：共7種． 事件發(fā)生的概率為． 【方法點(diǎn)睛】本題主要考查直方圖的性質(zhì)與應(yīng)用以及古典概型概率公式的應(yīng)用，屬于難題，利用古典概型概率公式求概率時(shí)，找準(zhǔn)基本事件個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵，基本亊件的探求方法有 （1）枚舉法：適合給定的基本事件個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的；（2）樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問(wèn)題中的基本亊件的探求．在找基本事件個(gè)數(shù)時(shí)，一定要按順序逐個(gè)寫出：先，…．，再，…．．依次 …．… 這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生． 3．【2018天津部分區(qū)二?！磕硡^(qū)的區(qū)人大代表有教師6人，分別來(lái)自甲、乙、丙、丁四個(gè)學(xué)校，其中甲校教師記為，乙校教師記為，丙校教師記為，丁校教師記為．現(xiàn)從這6名教師代表中選出3名教師組成十九大報(bào)告宣講團(tuán)，要求甲、乙、丙、丁四個(gè)學(xué)校中，每校至多選出1名． （1）請(qǐng)列出十九大報(bào)告宣講團(tuán)組成人員的全部可能結(jié)果； （2）求教師被選中的概率； （3）求宣講團(tuán)中沒(méi)有乙校教師代表的概率． 【答案】（1）見(jiàn)解析（2） （3） 【解析】分析：（1）某區(qū)的區(qū)大代表中有教師6人，分別來(lái)自甲、乙、丙、丁四個(gè)學(xué)校，其中甲校教師記為A1，A2，乙校教師記為B1，B2，丙校教師記為C，丁校教師記為D．從這6名教師代表中選出3名教師組成十九大政策宣講團(tuán)，利用列舉法能求出組成人員的全部可能結(jié)果． （2）組成人員的全部可能結(jié)果中，利用列舉法求出A1被選中的結(jié)果有5種，由此能求出教師A1被選中的概率． 所以所求概率． （3）宣講團(tuán)沒(méi)有乙校代表的結(jié)果有：，共2種結(jié)果，所以所求概率為． 【名師點(diǎn)睛】古典概型中基本事件數(shù)的探求方法 （1）列舉法． （2）樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問(wèn)題中的基本事件的探求．對(duì)于基本事件有“有序”與“無(wú)序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法． （3）列表法：適用于多元素基本事件的求解問(wèn)題，通過(guò)列表把復(fù)雜的題目簡(jiǎn)單化、抽象的題目具體化． （4）排列組合法：適用于限制條件較多且元素?cái)?shù)目較多的題目． 4．【2018天津河?xùn)|區(qū)二?！啃∶鞣浅Ｏ矚g葫蘆娃七兄弟的人偶玩具，小明的媽媽答應(yīng)小明買其中的兩個(gè)，面對(duì)紅、橙、黃、綠、青、藍(lán)、紫七個(gè)造型各異的玩偶小明舉棋不定． （1）請(qǐng)列舉出小明購(gòu)買人偶的所有結(jié)果； （2）事件A為“小明至少?gòu)募t、橙、黃三個(gè)人偶中購(gòu)買一個(gè)”，求事件A發(fā)生的概率． 【答案】（1）21（2） 【解析】分析：第一問(wèn)就相當(dāng)于從7個(gè)不同元素中任取兩個(gè)不同元素有多少種取法的問(wèn)題，按照一定的次序?qū)?，做到不重不漏即可；第二?wèn)就需要先找滿足條件的基本事件數(shù)，就從第一問(wèn)中尋找含有A，B，C中至少一個(gè)的事件都有哪些，之后應(yīng)用滿足條件的基本事件數(shù)除以總的基本事件數(shù)即可得結(jié)果 詳解：（1） 設(shè) 紅、橙、黃、綠、青、藍(lán)、紫七個(gè)玩偶分別為 、、、、、共計(jì)15種 事件A發(fā)生的概率 【名師點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)古典概型的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要明確實(shí)驗(yàn)所對(duì)應(yīng)的基本事件的條件，從而得到基本事件都有哪些，之后在求有關(guān)事件發(fā)生的概率的時(shí)候，需要將滿足條件的基本事件都寫出來(lái)，并且保證個(gè)數(shù)不要輸錯(cuò)，從而利用相應(yīng)的公式求得結(jié)果． 5．【2018天津耀華中學(xué)月考三】在甲、乙兩個(gè)盒子中分別裝有標(biāo)號(hào)為， ， ， 的四個(gè)球，現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒子中各取出個(gè)球，每個(gè)小球被取出的可能性相等． （1）列出所有可能的結(jié)果； （2）求取出的兩個(gè)球上標(biāo)號(hào)為相鄰整數(shù)的概率； （3）求取出的兩個(gè)球上標(biāo)號(hào)之和能被整除的概率． 【答案】（1）見(jiàn)解析（2）（3）． 【解析】試題分析：（1）本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從兩個(gè)盒子中分別取一個(gè)球，共有16種結(jié)果，滿足條件的事件是所取兩個(gè)小球上的數(shù)字為相鄰整數(shù)，可以列舉出所有結(jié)果，根據(jù)古典概型概 （2）所取兩個(gè)小球上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的結(jié)果有： ，共6種． 故所求概率． （3）所取兩個(gè)球上的數(shù)字和能被整除的結(jié)果有共5種．故所求概率為． 6．【2018天津部分區(qū)上學(xué)期期末考】某公司需要對(duì)所生產(chǎn)的三種產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，三種產(chǎn)品數(shù)量（單位：件）如下表所示： 產(chǎn)品 A B C 數(shù)量（件） 180 270 90 采用分層抽樣的方法從以上產(chǎn)品中共抽取6件． （1）求分別抽取三種產(chǎn)品的件數(shù)； （2）將抽取的6件產(chǎn)品按種類編號(hào)，分別記為，現(xiàn)從這6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件． （ⅰ）用所給編號(hào)列出所有可能的結(jié)果； （ⅱ）求這兩件產(chǎn)品來(lái)自不同種類的概率． 【答案】（1）2件、3件、1件；（2） 【解析】試題分析： （1）由條件先確定在各層中抽取的比例，然后根據(jù)分層抽樣的方法在各層中抽取可得A、B、C三種產(chǎn)品分別抽取了2件、3件、1件．（2）（ⅰ）由題意設(shè)產(chǎn)品編號(hào)為； 產(chǎn)品編號(hào)為 產(chǎn)品編號(hào)為，然后列舉出出從6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件的所有可能結(jié)果．（ⅱ）根據(jù)古典概型概率公式求解即可． （2）（i）設(shè)產(chǎn)品編號(hào)為； 產(chǎn)品編號(hào)為 產(chǎn)品編號(hào)為， 則從這6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件的所有結(jié)果是： ，共個(gè)． （ii）根據(jù)題意，這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的；其中這兩件產(chǎn)品來(lái)自不同種類的有： ，共11個(gè)． 所以這兩件產(chǎn)品來(lái)自不同種類的概率為． 7．【2018天津一中學(xué)月考五】為了調(diào)查觀眾對(duì)某熱播電視劇的喜愛(ài)程度，某電視臺(tái)在甲、乙兩地各隨機(jī)抽取了名觀眾作問(wèn)卷調(diào)查，得分統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示． （1）計(jì)算甲、乙兩地被抽取的觀眾問(wèn)卷的平均分與方差． （2）若從甲地被抽取的名觀眾中再邀請(qǐng)名進(jìn)行深入調(diào)研，求這名觀眾中恰有人的問(wèn)卷調(diào)查成績(jī)?cè)诜忠陨系母怕剩? 【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）． 【解析】分析：（1）根據(jù)莖葉圖中給出的數(shù)據(jù)并結(jié)合平均數(shù)、方差的定義求解即可．（2）由題意列舉出從8人中抽取2人的所有得分情況，然后根據(jù)古典概型求解． 詳解：（1）依題意得， ． （2）依題意得從8人中抽取2人，則2人的所有得分情況為：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共種． 其中恰有人的成績(jī)?cè)诜忠陨系那闆r為：，，，，，，，，，，，，共種， 由古典概型概率公式可得所求概率為． 【名師點(diǎn)睛】求古典概型的概率的關(guān)鍵是求試驗(yàn)的基本事件的總數(shù)和事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)，這就需要正確列出基本事件，基本事件的表示方法有列舉法、列表法和樹形圖法，具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)需要靈活選擇． 8．【2018天津一中學(xué)月考三】一盒中裝有9張各寫有一個(gè)數(shù)字的卡片，其中4張卡片上的數(shù)字是1，3張卡片上的數(shù)字是2，2張卡片上的數(shù)字是3，從盒中任取3張卡片． （1）求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率； （2）表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求的分布列（注：若三個(gè)數(shù)滿足 ，則稱為這三個(gè)數(shù)的中位數(shù)）． 【答案】（1） （2）見(jiàn)解析 （Ⅱ）的所有可能值為1，2，3，且，，． 故的分布列為 1 2 3 從而． 9．【2018四川成都七中三?！恐醒胝疄榱藨?yīng)對(duì)因人口老齡化而造成的勞動(dòng)力短缺等問(wèn)題，擬定出臺(tái)“延遲退休年齡政策”．為了了解人們]對(duì)“延遲退休年齡政策”的態(tài)度，責(zé)成人社部進(jìn)行調(diào)研．人社部從網(wǎng)上年齡在15∽65歲的人群中隨機(jī)調(diào)查100人，調(diào)査數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖和支持“延遲退休”的人數(shù)與年齡的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下： 年齡 支持“延遲退休”的人數(shù) 15 5 15 28 17 （1）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0．05的前提下認(rèn)為以45歲為分界點(diǎn)的不同人群對(duì)“延遲退休年齡政策”的支持度有差異； 45歲以下 45歲以上 總計(jì) 支持 不支持 總計(jì) （2）若以45歲為分界點(diǎn)，從不支持“延遲退休”的人中按分層抽樣的方法抽取8人參加某項(xiàng)活動(dòng)．現(xiàn)從這8人中隨機(jī)抽2人 抽到1人是45歲以下時(shí)，求抽到的另一人是45歲以上的概率． 參考數(shù)據(jù)： 0．100 0．050 0．010 0．001 2．706 3．841 6．635 10．828 ，其中 【答案】（1）能（2）①②見(jiàn)解析 【解析】分析：（1）由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表，計(jì)算觀測(cè)值，對(duì)照臨界值得出結(jié)論； （2）①求抽到1人是45歲以下的概率，再求抽到1人是45歲以上的概率。 詳解：（1）由頻率分布直方圖知45歲以下與45歲以上各50人，故填充列聯(lián)表如下： 45歲以下 45歲以上 總計(jì) 支持 35 45 80 不支持 15 5 20 總計(jì) 50 50 100 【名師點(diǎn)睛】本題考查了考查了古典概型的概率計(jì)算問(wèn)題，是中檔題． 10．【2018北京十一學(xué)校三?！坑捎谘芯啃詫W(xué)習(xí)的需要，中學(xué)生李華持續(xù)收集了手機(jī)“微信運(yùn)動(dòng)”團(tuán)隊(duì)中特定20名成員每天行走的步數(shù)，其中某一天的數(shù)據(jù)記錄如下： 5860 6520 7326 6798 7325 8430 8215 7453 7446 6754 7638 6834 6460 6830 9860 8753 9450 9860 7290 7850 對(duì)這20個(gè)數(shù)據(jù)按組距1000進(jìn)行分組，并統(tǒng)計(jì)整理，繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖表： 步數(shù)分組統(tǒng)計(jì)表（設(shè)步數(shù)為） 組別 步數(shù)分組 頻數(shù) 2 10 2 （Ⅰ）寫出的值，并回答這20名“微信運(yùn)動(dòng)”團(tuán)隊(duì)成員一天行走步數(shù)的中位數(shù)落在哪個(gè)組別； （Ⅱ）記組步數(shù)數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差分別為組步數(shù)數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差分別為，，試分別比較與以，與的大??；(只需寫出結(jié)論) 【答案】（1），，；（2），；（3）見(jiàn)解析 11．【2018河北石家莊二中三?！磕呈袨闇?zhǔn)備參加省中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)，對(duì)本市甲、乙兩個(gè)田徑隊(duì)的所有跳高運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行了測(cè)試，將全體運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)繪制成頻率分布直方圖．同時(shí)用莖葉圖表示甲，乙兩隊(duì)運(yùn)動(dòng)員本次測(cè)試的成績(jī)（單位：，且均為整數(shù)），由于某些原因，莖葉圖中乙隊(duì)的部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但已知所有運(yùn)動(dòng)員中成績(jī)?cè)谝陨希òǎ┑闹挥袃蓚€(gè)人，且均在甲隊(duì)．規(guī)定：跳高成績(jī)?cè)谝陨希òǎ┒x為“優(yōu)秀”． （1）求甲，乙兩隊(duì)運(yùn)動(dòng)員的總?cè)藬?shù)及乙隊(duì)中成績(jī)?cè)冢▎挝唬海﹥?nèi)的運(yùn)動(dòng)人數(shù)； （2）在甲，乙兩隊(duì)所有成績(jī)?cè)谝陨系倪\(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選取人，已知至少有人成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)秀”，求兩人成績(jī)均“優(yōu)秀”的概率． 【答案】（1），（2）（3） 見(jiàn)解析 ∴全體運(yùn)動(dòng)館總?cè)藬?shù)（人）， ∴成績(jī)位于中運(yùn)動(dòng)員的頻率為，人數(shù)為， 由莖葉圖可知：甲隊(duì)成績(jī)?cè)诘倪\(yùn)動(dòng)員有名，∴（人）； （2）由頻率直方圖可得：以上運(yùn)動(dòng)員總數(shù)為：， 由莖葉圖可得，甲乙隊(duì)以上人數(shù)恰好人， 所以乙在這部分?jǐn)?shù)據(jù)不缺失，且優(yōu)秀的人數(shù)為人， 設(shè)事件為“至少有人成績(jī)優(yōu)秀”，事件為“兩人成績(jī)均優(yōu)秀”， ∴，，∴； 12．【2018青海西寧二?！恳阎瘮?shù)，現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)，將其繪制所得的莖葉圖如圖所示（其中莖為整數(shù)部分，葉為小數(shù)部分．例如：可記為，且上述數(shù)據(jù)的平均數(shù)為．） （Ⅰ）求莖葉圖中數(shù)據(jù)的值； （Ⅱ）現(xiàn)從莖葉圖中小于的數(shù)據(jù)中任取兩個(gè)數(shù)據(jù)分別替換的值，求恰有一個(gè)數(shù)據(jù)使得函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)的概率． 【答案】（1）（2） 【解析】分析：（Ⅰ）利用莖葉圖和平均數(shù)公式進(jìn)行求解即可；（Ⅱ）先利用判別式求出函數(shù)無(wú)零點(diǎn)的實(shí)數(shù)的取值范圍，再通過(guò)列舉法、利用古典概型的概率公式進(jìn)行求解． 詳解：（Ⅰ）由題意可知， ， 可得． （Ⅱ）對(duì)于函數(shù)，由，解得：． 則莖葉圖中小于3的數(shù)據(jù)中，由4個(gè)滿足，記作；不滿足的有3個(gè)，記作； 則任取2個(gè)數(shù)據(jù)，基本事件有 共21種；其中恰有1個(gè)數(shù)據(jù)滿足條件的有：共12種，故所求概率為． 【名師點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖、樣本的數(shù)字特征、古典概型的概率公式等知識(shí)，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和邏輯思維能力． 13．【2018山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)二?！?018 年1月16日，由新華網(wǎng)和中國(guó)財(cái)經(jīng)領(lǐng)袖聯(lián)盟聯(lián)合主辦的2017中國(guó)財(cái)經(jīng)年度人物評(píng)選結(jié)果揭曉，某知名網(wǎng)站財(cái)經(jīng)頻道為了解公眾對(duì)這些年度人物是否了解，利用網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)進(jìn)行了調(diào)查，并從參與調(diào)查者中隨機(jī)選出人，把這人分為 兩類（類表示對(duì)這些年度人物比較了解，類表示對(duì)這些年度人物不太了解），并制成如下表格： 年齡段 歲～歲 歲～歲 歲～歲 歲～歲 人數(shù) 類所占比例 （1）若按照年齡段進(jìn)行分層抽樣，從這人中選出人進(jìn)行訪談，并從這人中隨機(jī)選出兩名幸運(yùn)者給予獎(jiǎng)勵(lì)．求其中一名幸運(yùn)者的年齡在歲～歲之間，另一名幸運(yùn)者的年齡在歲～歲之間的概率；(注：從人中隨機(jī)選出人，共有種不同選法) （2）如果把年齡在 歲～歲之間的人稱為青少年，年齡在歲～歲之間的人稱為中老年，則能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為青少年與中老年人在對(duì)財(cái)經(jīng)年度人物的了解程度上有差異？ 參考數(shù)據(jù)： ，其中 【答案】（1）；（2）在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為青少年與老年人在對(duì)財(cái)經(jīng)年度人物的了解程度上有差異． 【解析】試題分析：（1）由題意得，從這人中隨機(jī)選取人，結(jié)果有種，兩名幸運(yùn)者中，其中一名幸運(yùn)者的年齡在歲～歲之間，另一名幸運(yùn)者的年齡在歲～歲之間的結(jié)果有12種，進(jìn)而得到；（2）根據(jù)公式得到的觀測(cè)值，進(jìn)而做出判斷． ，共種．故所求的概率為 （2）青少年中類的人數(shù)為，則類的人數(shù)為 中老年中類的人數(shù)為，則類的人數(shù)為 列出列聯(lián)表如下： 類 類 合計(jì) 青少年 中老年 合計(jì) 計(jì)算得的觀測(cè)值 所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為青少年與老年人在對(duì)財(cái)經(jīng)年度人物的了解程度上有差異． 【名師點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了分層抽樣的概念，古典概型的公式，以及的應(yīng)用；對(duì)于古典概型，要求事件總數(shù)是可數(shù)的，滿足條件的事件個(gè)數(shù)可數(shù)，使得滿足條件的事件個(gè)數(shù)除以總的事件個(gè)數(shù)即可． 14．【2018寧夏銀川一中模擬】某班級(jí)體育課舉行了一次“投籃比賽”活動(dòng)，為了了解本次投籃比賽學(xué)生總體情況，從中抽取了甲乙兩個(gè)小組樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示． 5 6 5 8 6 0 1 3 6 2 4 6 9 7 1 2 7 1 3 8 0 1 8 1 甲 乙 （1）分別求甲乙兩個(gè)小組成績(jī)的平均數(shù)與方差； （2）分析比較甲乙兩個(gè)小組的成績(jī)； （3）從甲組高于70分的同學(xué)中，任意抽取2名同學(xué)，求恰好有一名同學(xué)的得分在[80，90）的概率． 【答案】（1） ．（2）甲乙兩個(gè)小組成績(jī)相當(dāng)； 乙組成績(jī)比甲組成績(jī)更穩(wěn)定．（3）． ． 記甲乙成績(jī)的的方差分別為，，則 ． ． （2）因?yàn)?，所以甲乙兩個(gè)小組成績(jī)相當(dāng)；因?yàn)椋砸医M成績(jī)比甲組成績(jī)更穩(wěn)定． （3）由莖葉圖知，甲組高于70分的同學(xué)共4名，有2名在[70，80），記為，，有2名在[80，90）記為，．任取兩名同學(xué)的基本事件有6個(gè)： （），（），（），（），（），（）． 恰好有一名同學(xué)的得分在[80，90）的基本事件數(shù)共4個(gè)：（），（），（），（）． 所以恰好有一名同學(xué)的得分在[80，90）的概率為． 【名師點(diǎn)睛】古典概型中基本事件數(shù)的探求方法 （1）列舉法；（2）樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問(wèn)題中的基本事件的探求．對(duì)于基本事件有“有序”與“無(wú)序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法；（3）列表法：適用于多元素基本事件的求解問(wèn)題，通過(guò)列表把復(fù)雜的題目簡(jiǎn)單化、抽象的題目具體化． 15．【2018安徽淮南二?！看蠖梗欧Q菽，原產(chǎn)中國(guó)，在中國(guó)已有五千年栽培歷史．皖北多平原地帶，黃河故道土地肥沃，適宜種植大豆．2018年春，為響應(yīng)中國(guó)大豆參與世界貿(mào)易的競(jìng)爭(zhēng)，某市農(nóng)科院積極研究，加大優(yōu)良品種的培育工作．其中一項(xiàng)基礎(chǔ)工作就是研究晝夜溫差大小與大豆發(fā)芽率之間的關(guān)系．為此科研人員分別記錄了5天中每天100粒大豆的發(fā)芽數(shù)得如下數(shù)據(jù)表格： 科研人員確定研究方案是：從5組數(shù)據(jù)中選3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用求得的回歸方程對(duì)剩下的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)． （1）求剩下的2組數(shù)據(jù)恰是不相鄰的2天數(shù)據(jù)的概率； （2）若選取的是4月5日、6日、7日三天數(shù)據(jù)據(jù)此求關(guān)于的線性回歸方程； （3）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)的誤差絕對(duì)值均不超過(guò)1粒，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，請(qǐng)檢驗(yàn)(Ⅱ)中回歸方程是否可靠？ 注： ，． 【答案】（1）；（2）；（3）得到的線性回歸方程是可靠的 【解析】分析：（1）利用對(duì)立事件的概率公式求恰好是不相鄰的2天數(shù)據(jù)的概率．（2）利用最小二乘法求y關(guān)于的線性回歸方程為．（3）檢驗(yàn)即可得解． 詳解：（1）恰好是不相鄰的2天數(shù)據(jù)的概率是． ， ； ，故y關(guān)于的線性回歸方程為． （3）當(dāng)時(shí)， ，； 當(dāng)時(shí)， ，，故得到的線性回歸方程是可靠的． 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查概率的求法，考查回歸方程的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握水平和基本的計(jì)算能力．