（天津?qū)０妫?018年高考數(shù)學(xué) 母題題源系列 專題12 直線與圓有關(guān)計(jì)算 文.doc

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母題十二 直線與圓有關(guān)計(jì)算 【母題原題1】【2018天津，文12】 在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(diǎn)（0，0），（1，1），（2，0）的圓的方程為__________． 【答案】 【名師點(diǎn)睛】求圓的方程，主要有兩種方法： （1）幾何法：具體過程中要用到初中有關(guān)圓的一些常用性質(zhì)和定理．如：①圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上；②圓心在任意弦的中垂線上；③兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線． （2）待定系數(shù)法：根據(jù)條件設(shè)出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求出相關(guān)量．一般地，與圓心和半徑有關(guān)，選擇標(biāo)準(zhǔn)式，否則，選擇一般式．不論是哪種形式，都要確定三個(gè)獨(dú)立參數(shù)，所以應(yīng)該有三個(gè)獨(dú)立等式． 【母題原題2】【2017天津，文12】 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l．已知點(diǎn)C在l上，以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點(diǎn)A．若，則圓的方程為 ． 【答案】 【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，焦點(diǎn)， ，，，由于圓與軸得正半軸相切，則取，所求圓得圓心為，半徑為1，所求圓的方程為． 【考點(diǎn)】1．拋物線的方程；2．圓的方程． 【名師點(diǎn)睛】本題設(shè)計(jì)比較巧妙，考查了圓，拋物線的方程，同時(shí)還考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，本題只有一個(gè)難點(diǎn)，就是，會(huì)不會(huì)用向量的坐標(biāo)表示，根據(jù)圖象，可設(shè)圓心為，那么方程就是，若能用向量的坐標(biāo)表示角，即可求得，問題也就迎刃而解了． 【母題原題3】【2016天津，文12】 已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點(diǎn)在圓C上，且圓心到直線的距離為，則圓C的方程為__________． 考點(diǎn)：直線與圓位置關(guān)系 【名師點(diǎn)睛】求圓的方程有兩種方法： （1）代數(shù)法：即用“待定系數(shù)法”求圓的方程．①若已知條件與圓的圓心和半徑有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，列出關(guān)于a，b，r的方程組求解．②若已知條件沒有明確給出圓的圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組求解． （2）幾何法：通過研究圓的性質(zhì)，直線和圓的關(guān)系等求出圓心、半徑，進(jìn)而寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 【考點(diǎn)】直線方程、圓的方程、直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系、平面向量的運(yùn)算 【名師點(diǎn)睛】直線與圓中的三個(gè)定理：切線的性質(zhì)定理，切線長(zhǎng)定理，垂徑定理；兩個(gè)公式：點(diǎn)到直線距離公式及弦長(zhǎng)公式，其核心都是轉(zhuǎn)化到與圓心、半徑的關(guān)系上，這是解決直線與圓的根本思路． 【命題意圖】直線與圓是高中數(shù)學(xué)的C級(jí)知識(shí)點(diǎn)，是高中數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的典型體現(xiàn)． 【命題規(guī)律】 近年來，高考對(duì)直線與圓的命題，既充分體現(xiàn)自身知識(shí)結(jié)構(gòu)體系的命題形式多樣化，又保持與函數(shù)或不等式或軌跡相結(jié)合的命題思路，呈現(xiàn)出“綜合應(yīng)用，融會(huì)貫通”的特色，充分彰顯直線與圓的交匯價(jià)值． 【答題模板】解答本類題目，以2016年試題為例，一般考慮如下三步： 第一步：利用待定系數(shù)法求圓標(biāo)準(zhǔn)方程 第二步：根據(jù)圓中垂徑定理揭示等量關(guān)系 第三步：利用圓與圓位置關(guān)系、坐標(biāo)表示逐層揭示刻畫多元關(guān)系 【方法總結(jié)】 1．以動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓考查直線與圓、圓與圓位置關(guān)系，突出考查方程思想和解析法 2．以圓中直角三角形建立函數(shù)關(guān)系式或方程或不等式， 注重考查圓相關(guān)幾何性質(zhì)． 3．利用數(shù)形結(jié)合揭示與刻畫直線與圓、圓與圓位置關(guān)系，重點(diǎn)考查直線與圓的綜合應(yīng)用以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想． 1．【2018天津靜?？h一中期末考】已知圓截直線所得弦長(zhǎng)為4，則實(shí)數(shù)的值是（ ) A． －3 B． －2 C． －1 D． －4 【答案】C 2．【2018天津七校聯(lián)考】設(shè)點(diǎn)是函數(shù)的圖象上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最大值為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函數(shù)的圖象為半圓 在直線 上，所以的最大值為圓心到直線距離加半徑，即 ，選B 【名師點(diǎn)睛】與圓有關(guān)的最值問題的常見類型及解題策略 （1）與圓有關(guān)的長(zhǎng)度或距離的最值問題的解法．一般根據(jù)長(zhǎng)度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解． （2）與圓上點(diǎn)有關(guān)代數(shù)式的最值的常見類型及解法．①形如型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)和點(diǎn)的直線的斜率的最值問題；②形如型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線的截距的最值問題；③形如型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離平方的最值問題． 3．【2018天津河西區(qū)模擬】圓與圓的公共弦長(zhǎng)為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】?jī)蓤A方程相減，得公共弦所在直線方程為，圓的半徑，圓心到直線的距離，則弦長(zhǎng)．故選． 4．【2018天津一中模擬五】已知圓：與雙曲線的一條漸近線相切，則雙曲線的離心率為（ ） A． B． C． D． 【答案】B a=b，∴c2=a2+b2=4b2，∴e=，故選：B． 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式等．考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想的運(yùn)用． 5．【2018天津靜?？h一中期末考】若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，則m＝(　　) A． 9 B． 19 C． 21 D． －11 【答案】A 【解析】， ， ，半徑為，圓心距為，由于兩圓外切，故，解得．所以選． 6．【2018天津七校期中聯(lián)考】已知點(diǎn)在圓和圓的公共弦上，則的最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【名師點(diǎn)睛】在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤． 7．【2018天津河?xùn)|區(qū)期中考】已知圓，則其圓心和半徑分別為（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】C 【解析】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得圓心為，半徑．故選． 8．【2018天津部分區(qū)二?！恳阎本€恒過定點(diǎn)，且以為圓心，5為半徑的圓與直線相交于兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)為_______． 【答案】 故答案為：2 【名師點(diǎn)睛】當(dāng)直線與圓相交時(shí)，弦長(zhǎng)問題屬常見的問題，最常用的手法是弦心距，弦長(zhǎng)一半，圓的半徑構(gòu)成直角三角形，運(yùn)用勾股定理解題． 9．【2018天津十二二模】以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位．已知直線極坐標(biāo)方程為，它與曲線（為參數(shù)）相交于兩點(diǎn)、，則__________． 【答案】2 【解析】分析：先利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，將極坐標(biāo)方程為化成直角坐標(biāo)方程，再將曲線的參數(shù)方程化成普通方程，最后利用直角坐標(biāo)方程的形式，利用垂徑定理及勾股定理，由圓的半徑及圓心到直線的距離，即可求出的長(zhǎng)． 詳解：，利用進(jìn)行化簡(jiǎn)，，為參數(shù)），相消去可得圓的方程為：得到圓心，半徑為，圓心到直線的距離，，線段的長(zhǎng)為，故答案為． 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)到直線距離公式以及圓的弦長(zhǎng)的求法，求圓的弦長(zhǎng)有兩種方法：一是利用弦長(zhǎng)公式，結(jié)合韋達(dá)定理求解；二是利用半弦長(zhǎng)，弦心距，圓半徑構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求解． 10．【2018天津?yàn)I海新區(qū)模擬】設(shè)直線與圓 相交于兩點(diǎn)，若，則__________． 【答案】 【名師點(diǎn)睛】直線與圓相交，連接圓心與弦中點(diǎn)的直線垂直于弦，所以關(guān)于弦的問題，利用這個(gè)垂直構(gòu)成直角三角形運(yùn)算． 11．【2018天津靜海一中期末考】方程有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________． 【答案】 【解析】為半圓， 為過點(diǎn)的直線， 由圖可知，直線，即，， ， 過時(shí)， ；過時(shí)， ，所以的取值范圍是 12．【2018天津一中模擬二】圓心在直線，且與直線相切于點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________． 【答案】 【解析】∵圓心在直線y=﹣4x上，設(shè)圓心C為（a，﹣4a），圓與直線x+y﹣1=0相切于點(diǎn)P（3，﹣2），則kPC==1，∴a=1．即圓心為（1，﹣4），r=|CP|==2，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣1）2+（y+4）=8．故答案為：（x﹣1）2+（y+4）=8． 【名師點(diǎn)睛】此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：點(diǎn)到直線的距離公式，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線的點(diǎn)斜式方程，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到切線的距離等于圓的半徑．屬于基礎(chǔ)題． 13．【2018天津七校聯(lián)考】若圓與圓恰有三條公切線，則的最大值為__________． 【答案】6 【解析】由題意得兩圓相外切，即 ， 【名師點(diǎn)睛】判斷圓與圓的位置關(guān)系的常見方法 （1）幾何法：利用圓心距與兩半徑和與差的關(guān)系． （2）切線法：根據(jù)公切線條數(shù)確定． （3）數(shù)形結(jié)合法：直接根據(jù)圖形確定 14．【2018天津十二重點(diǎn)中學(xué)模擬】已知圓的圓心在軸正半軸上，點(diǎn)在圓上，且圓心到直線的距離為，則圓的方程為________． 【答案】 15．【2018天津部分區(qū)期末】以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切于點(diǎn)，則該圓的方程為__________． 【答案】 【解析】由題意設(shè)圓的方程為，根據(jù)條件得，解得．∴該圓的方程為．答案：． 16．【2018天津河?xùn)|區(qū)期中】已知點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________． 【答案】 【解析】因?yàn)樵趫A內(nèi)部，∴， 即，即，即，∴， ． 17．【2018浙江臺(tái)州模擬】若圓關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值為__________．由點(diǎn)向圓所作兩條切線，切點(diǎn)記為，當(dāng)取最小值時(shí)，外接圓的半徑為__________． 【答案】 即，化簡(jiǎn)得， 則有，所以有的最小值為； 根據(jù)圖形的特征，可知PC最短時(shí)，對(duì)應(yīng)的最小，而PC最短時(shí)，即為C到直線的距離，即，此時(shí)A，B，P，C四點(diǎn)共圓， 此時(shí)PC即為外接圓的直徑，所以其半徑就是． 【名師點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)直線與圓的問題，在解題的過程中，注意圓關(guān)于直線對(duì)稱的條件，之后應(yīng)用代換，轉(zhuǎn)化為關(guān)于b的二次式，利用配方法求得最小值，再者就是分析圖形，得到什么情況下滿足取最值，歸納出外接圓的直徑，從而求得半徑． 18．【2018江西師大附中三?！繛榈妊苯侨切?，是內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，則的最小值為__________． 【答案】 所以|MB|的最小值為．故答案為：． 【名師點(diǎn)睛】（1）本題主要考查軌跡方程和最值的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力和分析推理轉(zhuǎn)化的能力． （2）本題的解題關(guān)鍵有兩點(diǎn)，其一是建立直角坐標(biāo)系，其二是求出點(diǎn)M的軌跡方程．