（天津?qū)０妫?018年高考數(shù)學(xué) 母題題源系列 專題11 幾何體面積、體積的計(jì)算 文.doc

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母題十一 幾何體面積、體積的計(jì)算 【母題原題1】【2018天津，文11】 如圖，已知正方體的棱長為1，則四棱錐的體積為__________． 【答案】 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查棱錐體積的計(jì)算，空間想象能力等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力． 【母題原題2】【2017天津，文11】 已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18，則這個(gè)球的體積為 ． 【答案】 【解析】設(shè)正方體邊長為，則， 外接球直徑為． 【名師點(diǎn)睛】求多面體的外接球的面積和體積問題常用方法有（1）三條棱兩兩互相垂直時(shí)，可恢復(fù)為長方體，利用長方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點(diǎn)，再根據(jù)勾股定理求球的半徑；（3）如果設(shè)計(jì)幾何體有兩個(gè)面相交，可過兩個(gè)面的外心分別作兩個(gè)面的垂線，垂線的交點(diǎn)為幾何體的球心，本題就是第三種方法． 【命題意圖】 高考對本部分內(nèi)容重點(diǎn)考查球的體積與表面積的計(jì)算． 【命題規(guī)律】 高考試題對該部分內(nèi)容考查的主要角度有兩種：一是計(jì)算球的體積與表面積；二是已知球的體積與表面積求解相關(guān)問題． 【答題模板】解答本類題目，以2017年試題為例，一般考慮如下三步： 第一步：求正方體的邊長 根據(jù)正方體的表面積為18，求正方體的邊長； 第二步：求外接球的半徑 正方體的體對角線的一半； 第三步：下結(jié)論． 根據(jù)球的體積公式計(jì)算． 【方法總結(jié)】 （1）若球的半徑為，則其表面積為，體積為． （2）正方體的棱長為a，球的半徑為R， ①正方體的外接球，則2R＝a； ②正方體的內(nèi)切球，則2R＝a； ③球與正方體的各棱相切，則2R＝a． （3）長方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝． （4）正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1． （5）解決球與其他幾何體的切、接問題，關(guān)鍵在于仔細(xì)觀察、分析，弄清相關(guān)元素的關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，選準(zhǔn)最佳角度作出截面(要使這個(gè)截面盡可能多地包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素之間的關(guān)系)，達(dá)到空間問題平面化的目的． 1．【2018天津河北區(qū)二?！恳粋€(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【名師點(diǎn)睛】本題利用空間幾何體的三視圖重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題．三視圖問題是考查學(xué)生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點(diǎn)．觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實(shí)線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響，對簡單組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀． 2．【2018天津上學(xué)期期末考試】一個(gè)四棱柱的三視圖如圖所示，該四棱柱的體積為（ ） A． 12 B． 24 C． 36 D． 48 【答案】C 【解析】由三視圖可得該四棱柱的高為6；底面為梯形，且梯形的上、下底分別為2、4，梯形的高為2．故四棱柱的體積為．選C． 3．【2018天津靜海期中考試】已知三棱柱中，底面，，，，，則該三棱柱的表面積是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分析：該幾何體的表面積由兩個(gè)直角三角形的底面與三個(gè)矩形的側(cè)面組成，求出直角三角形的面積與矩形的面積即可得結(jié)果． 詳解： 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查三棱錐外接球表面積的求法，屬于難題．要求外接球的表面積和體積，關(guān)鍵是求出求的半徑，求外接球半徑的常見方法有： ①若三條棱兩垂直則用（為三棱的長）； ②若面（），則（為外接圓半徑） ③可以轉(zhuǎn)化為長方體的外接球； ④特殊幾何體可以直接找出球心和半徑． 4．【2018天津?qū)嶒?yàn)中學(xué)期中考試】某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】幾何體為一個(gè)四棱錐與正方體的組合體，所以體積為，選C． 【名師點(diǎn)睛】空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略 (1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進(jìn)行求解． (2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解． (3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解． 5．【2018天津耀華中學(xué)期中考試】一個(gè)球受熱膨脹，表面積增加，那么球的半徑增加了（ ） A． B． C． D． 【答案】D 8．【2018天津七校聯(lián)考期中考試】在梯形中， ， ， ．將梯形繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】幾何體為一個(gè)圓柱去掉一個(gè)圓錐，體積為 ，選C 9．【2018天津耀華中學(xué)模擬三】某幾何體的三視圖（單位： ）如圖所示，則該幾何體的體積是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 10．【2018天津南開中學(xué)模擬】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：)，則該幾何體的體積為__________． 【答案】． 【解析】分析：首先根據(jù)題中所給的三視圖，將幾何體還原，分析得到其為一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的組合體，所以其體積為圓柱和圓錐的體積之和，結(jié)合圖中所給的數(shù)據(jù)，利用體積公式求得結(jié)果． 詳解：根據(jù)題中所給的幾何體的三視圖，將幾何體還原，可以得到幾何體是一個(gè)圓柱和圓錐的組合體，利用相關(guān)數(shù)據(jù)可知圓柱的體積為，圓錐的體積為， 所以該幾何體的體積為，故答案是． 【名師點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)根據(jù)幾何體的三視圖求其體積的問題，在解題的過程中，還原幾何體是解題的關(guān)鍵，之后利用圖中的相關(guān)數(shù)據(jù)，結(jié)合體積公式求得結(jié)果，注意組合體的體積在求解的11．【2018天津部分區(qū)二?！恳阎粋€(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為_______． 【答案】 【名師點(diǎn)睛】本題考查了應(yīng)用空間幾何體的三視圖求體積的問題，是基礎(chǔ)題目． 12．【2018天津河?xùn)|區(qū)二?！柯閳F(tuán)又叫煎堆，呈球形，華北地區(qū)稱麻團(tuán)，是一種古老的中華傳統(tǒng)特色油炸面食，寓意團(tuán)圓．制作時(shí)以糯米粉團(tuán)炸起，加上芝麻而制成，有些包麻茸、豆沙等餡料，有些沒有．一個(gè)長方體形狀的紙盒中恰好放入4個(gè)球形的麻團(tuán)，它們彼此相切，同時(shí)與長方體紙盒上下底和側(cè)面均相切，其俯視圖如圖所示，若長方體紙盒的表面積為576 ，則一個(gè)麻團(tuán)的體積為_______． 【答案】 解得：r2=9，即r=3，可得一個(gè)麻團(tuán)的體積V==36π．故答案為：36π 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查球的體積，考查幾何體的內(nèi)切球問題，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握能力和空間觀察想象能力． 13．【2018天津市十二校二?！恳粋€(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為__________． 【答案】 【解析】分析：由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)組合體，它由半個(gè)圓錐與四分之一球體組成，分別求出圓錐與球體的體積，求和即可． 詳解：由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)組合體，它由半個(gè)圓錐與四分之一球體組成， 其中，圓錐的底面半徑為，高為，體積為； 球半徑為，體積為，所以，該幾何體的體積為，故答案為． 【名師點(diǎn)睛】本題利用空間幾何體的三視圖重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題．三視圖問題是考查學(xué)生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點(diǎn)．觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實(shí)線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響，對簡單組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀． 14．【2018天津9校聯(lián)考】一個(gè)幾何體的三視圖及尺寸如圖所示，則該幾何體的體積為__________． 【答案】 15．【2018天津十二重點(diǎn)中學(xué)模擬】如圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積是________． 【答案】 【解析】由幾何體的三視圖可得該幾何體是直三棱柱，如圖所示： 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查三棱柱外接球表面積的求法，屬于中檔題．要求外接球的表面積和體積，關(guān)鍵是求出求的半徑，求外接球半徑的常見方法有：①若三條棱兩垂直則用（為三棱的長）；②若面（），則（為外接圓半徑）；③可以轉(zhuǎn)化為長方體的外接球；④特殊幾何體可以直接找出球心和半徑． 16．【2018天津部分區(qū)期末考】一個(gè)四棱柱的三視圖如圖所示，該四棱柱的體積為__________． 【答案】36 【解析】由三視圖還原原幾何體如圖： 該幾何體為四棱錐，四棱柱，底面ABCD為直角梯形，其中AD∥BC，AB⊥BC，BC=2AB=2AD=2，側(cè)棱AA1=6，∴該四棱柱的體積為V=．故答案為：36． 17．【2018天津?qū)嶒?yàn)中學(xué)期中考試】已知一個(gè)長方體的同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長分別為，，，則這個(gè)長方體外接球的表面積為__________． 【答案】 【解析】長方體外接球的直徑為長方體對角線長：方體外接球的表面積為 18．【2018天津耀華中學(xué)期中考試】已知圓錐側(cè)面展開圖為中心角為的扇形，其面積為，圓錐的全面積為，則為__________． 【答案】 19．【2018天津七校聯(lián)考期中】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位： ），則該幾何體的體積為__________． 【答案】 【解析】幾何體為一個(gè)圓錐與一個(gè)棱柱的組合體， 體積為 20．【2018天津河?xùn)|區(qū)期中】如圖，一個(gè)幾何體的三視圖的輪廓均為邊長為的取值范圍為__________． 【答案】 【解析】該幾何體為棱長為的正方體截去一個(gè)三棱錐得到，則． 21．【2018天津一中月考五】已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為__________． 【答案】 【名師點(diǎn)睛】本題考查由三視圖還原幾何體和組合體體積的計(jì)算，考查學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)算能力，解答的關(guān)鍵是正確的由三視圖得到幾何體． 22．【2018天津一中月考三】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為__________． 【答案】 【解析】幾何體如圖，體積為 23．【2018天津一中月考二】如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為_________． 【答案】 【名師點(diǎn)睛】本題考查由三視圖求幾何體的體積，以及幾何體的體積公式，考查空間想象能力，三視圖正確復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵．