八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)線段的垂直平分線PPT教學(xué)課件

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線段的垂直平分線,,,1,,如圖，△ABC和△ 關(guān)于直線MN對(duì)稱(chēng)，點(diǎn) 、 、 分別是點(diǎn) A、B、C 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),線段 、 、 與直線MN有什么關(guān)系?,探究一,ＡＰ＝,∠ＭＰＡ＝∠ ＝,將△ＡＢＣ和△ 沿ＭＮ折疊 后，點(diǎn)Ａ與點(diǎn) 重合，于是有:,2,,探究二,1、用上述方法，你還能得其它的結(jié)論嗎？,BD=,CE=,∠MDB= ∠,∠MEC= ∠,點(diǎn)P是 的中點(diǎn),MN⊥,結(jié)論,對(duì)稱(chēng)軸所在的直線經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連線段的 中點(diǎn)，并且垂直于這條直線線段,E,D,3,,,軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)：,1.對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線段被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分。,2.對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等。,4,,線段的垂直平分線的定義,經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)并且垂直于這條線段直線，叫做這條線段的垂直平分線（又名線段的中垂線）,軸對(duì)稱(chēng)中的垂直平分線性質(zhì):,1、如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)，那么對(duì)稱(chēng)軸是任何一對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線段的垂直平分線,2、如果一 個(gè)圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，那么對(duì)稱(chēng)軸是任何一對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線段的垂直平分線,L垂直平分,L垂直平分,L垂直平分,5,,探究三 請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手做一 做,,∵L垂直平分AB,∴P1A=P1B P2B=P2B ……….,線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等,垂直平分線的性質(zhì)定理,你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？,6,,如圖，MN?AB，垂足為點(diǎn)C，AC=CB，點(diǎn)P是直線MN上的任意一點(diǎn).,已知：,PA=PB,求證：,,證明：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等。,證明: ∵M(jìn)N?AB（已知） ∴?PCA=?PCB(垂直的定義) 在?PCA和?PCB中,,∴ ?PCA ≌ ?PCB(SAS),∴PA=PB(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等),7,,A,C,M,N,?,P,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí),上述證明有什么缺陷?,?PCA與?PCB將不存在.,PA與PB還相等嗎?,相等!,此時(shí),PA=CA,PB=CB 已知AC=CB ∴PA=PB,B,幾何語(yǔ)言表達(dá)： ∵M(jìn)N ⊥AB于C，且AC=BC,點(diǎn)P在MN上 ∴PA=PB,線段垂直平分線的性質(zhì)定理:,8,,用一根木棒和一根彈性均勻的橡皮筋，做一 個(gè)簡(jiǎn)易的“弓”，“箭”通過(guò)木棒中央的孔射出去，怎樣才能保持射出去的方向與木棒垂直呢？為什么,C,B,A,只要AB=BC就可以,,與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上,,∴點(diǎn)B在線段AC的垂直平分線上,∵ AB=BC,探究三,垂直平分線的性質(zhì)逆定理,9,,線段垂直平分線的逆定理：,與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。,你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？,結(jié)論：,,,C,幾何語(yǔ)言表達(dá)： ∵PA=PB ∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上,此定理可以作為垂直平分線的判定定理,10,,已知:,如圖,PA=PB,求證:,點(diǎn)P在線段AB的垂直 平分線上.,過(guò)點(diǎn)P作PC?AB，垂足為點(diǎn)C.,在Rt ?PCA和Rt ?PCB中∵ PA=PB，PC=PC∴ Rt ?PCA ≌ Rt ?PCB(H.L.)∴ＡＣ＝ＢＣ,∴PC是線段AB的垂直平分線.即點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.,證明：,到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。,證明：,故∠PCA=∠PCB=90°.,11,,1.垂直平分線的定義：∵M(jìn)N是AB的垂直平分線∴ ， ； 2.垂直平分線的性質(zhì)：∵M(jìn)N是AB的垂直平分線∴ （ ） 3.垂直平分線的判定：∵PA＝PB∴ （ ）,MN⊥AB,AD＝BD,PA＝PB,線段垂直平分線上點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn) 的距離相等,P在AB的垂直平分線上,與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距 離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上,4、線段垂直平分線的集合定義：線段垂直平分線可以看作是與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合。,12,,13,,作線段的垂直平分線一.,已知：線段AB. 求作：線段AB的垂直平分線.,,,,,,C,D,作法：,（2）作直線CD. CD即為所求.,原理：線段垂直平分線的逆定理.與兩點(diǎn)確定一條直線,（1）分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于 AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于C，D兩點(diǎn).,14,,作線段的垂直平分線方法二.,已知：線段AB. 求作：線段AB的垂直平分線.,,,,C,M,作法：,（3）連直線CM. CM即為所求.,（2）分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于 AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于C點(diǎn).,（1）取線段AB的中點(diǎn)M,,原理：線段垂直平分線的逆定理.與兩點(diǎn)確定一條直線,15,,1.如圖，A，B是路邊兩個(gè)新建小區(qū)，要在公路邊增設(shè)一個(gè) 公共汽車(chē)站.使兩個(gè)小區(qū)到車(chē)站的路程一樣長(zhǎng)，該公共汽 車(chē)站應(yīng)建在什么地方？,【提示】連接AB，作AB的垂直平分線，則與公路的 交點(diǎn)就是要建的公共汽車(chē)站.,,,,,,,,作圖與探索,16,,2. 有A，B，C三個(gè)村莊，現(xiàn)準(zhǔn)備要建一所學(xué)校，要求學(xué)校到三個(gè)村莊的距離相等，請(qǐng)你確定學(xué)校的位置.,A,B,C,【提示】學(xué)校在連接任意兩點(diǎn)的兩條線段的垂直平分線的交點(diǎn)處.,,,,,,,,,,,,,,,,,17,,利用尺規(guī)作三角形三條邊的垂直平分線，然后說(shuō)說(shuō)你發(fā)現(xiàn)了什么?,三角形三邊垂直平分線的性質(zhì),,,,,,,,,,發(fā)現(xiàn)：三角形三邊 的垂直平分線交于一點(diǎn)．,,18,,證明結(jié)論：三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn).,已知：在△ABC中，設(shè)AB、BC的垂直平分線交于點(diǎn)O. 求證：O點(diǎn)在AC的垂直平分線上．,證明：連接AO，BO，CO． ∵點(diǎn)O在線段AB的垂直平分線上，∴OA=OB(線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等)．同理OB=OC．∴OA=OC．∴O點(diǎn)在AC的垂直平分線上(到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn).在這條線段的垂直平分線上)．∴AB、BC、AC的垂直平分線相交于點(diǎn)O,19,,3.如圖，△ABC中，邊AB，BC的垂直平分線交于點(diǎn)P. （1）求證：PA=PB=PC. （2）點(diǎn)P是否也在邊AC的垂直平分線上呢？由此你能得出什么結(jié)論？,,,,,,,A,P,C,B,結(jié)論：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.,20,,定理：三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。,三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)定理,,21,,3．已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，AB的垂直平分線交AD于O求證：OA=OB=OC．,開(kāi)拓創(chuàng)新 試一試,證明：∵AB=AC，AD是BC的中線，∴AD垂直平分BC(等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊)．又∵AB的垂直平分線與交于點(diǎn)O∴OB=OC=OA(三角形三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等)．,http://www.bnup.com.cn,分別作出直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三邊的垂直平分線，說(shuō)明交點(diǎn)分別在什么位置.,銳角三角形三邊的垂直平分線交點(diǎn)在三角形內(nèi)；直角三角形三邊的垂直平分線交點(diǎn)在斜邊上；鈍角三角形三邊的垂直平分線交點(diǎn)在三角形外．,23,,如圖，如果△ACD的周長(zhǎng)為18cm，△ABC的周長(zhǎng)為28cm， DE是BC的垂直平分線,根據(jù)這些條件，你可以求出線段BC的長(zhǎng)?,（1）△ACD的周長(zhǎng)＝AD ＋CD＋AC＝18cm. （2）△ABC的周長(zhǎng)＝AB＋AC＋BC＝28cm.,（3）由DE是BC的垂直平分線得：BD＝CD；所以AD＋CD＝ AD＋BD＝AB.,,,,,（4）由（2）中式子－（1）中式子得BC＝10cm.,【解析】,課前熱身-求邊,24,,1.如圖，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分線交AB于E，交AC于D，求△BCD的周長(zhǎng).,,,,,D,C,B,E,A,25,,2.已知:如圖,在?ABC中,DE是AC的垂直平分線, AE=3cm, ?ABD的周長(zhǎng)為13cm,則?ABC 的周長(zhǎng) 為 cm,A,B,D,C,E,3cm,19,13cm,,26,,3.如圖,CD、EF分別是AB、BC的垂直平分線.請(qǐng)你指出圖中相等的線段有哪些?,AD =BD,CF = BF,AC = BC,CE = BE,1,2,3,CF =DF,即:BF=CF=DF,,27,,4.如右上圖，在銳角三角形ABC中,∠A=50°，AC、BC的垂直平分線交于點(diǎn)O，則∠1____∠2，∠3____∠4，∠5___∠6，∠1+∠4=_____度，∠5+∠6=_____度，∠BOC=_______度.,,F,E,O,課前熱身-求角,28,,,5、如圖，在Ｒｔ△ABC中， ∠Ｂ＝９０° ∠Ａ＝４０°，ＡＣ的垂直平分線ＭＮ與 ＡＢ交于點(diǎn)Ｄ，則∠ＢＣＤ的度數(shù)是＿＿,29,,6.如右上圖，在△ABC中，DE、FG分別是邊AB、AC的垂直平分線，則∠B__∠1,∠C __ ∠2,若∠BAC=126°，則∠EAG=__________度.,,,30,,問(wèn)題:如圖,A、B、C三個(gè)村莊合建一所學(xué)校,要求校址P點(diǎn)距離三個(gè)村莊都相等.請(qǐng)你幫助確定校址.,?,?,?,A,B,C,,,,,,點(diǎn)P為校址,課前熱身-作圖,31,,7.如圖,已知點(diǎn)A、B和直線l,在直線 l 上求作一點(diǎn)P,使PA=PB.,l,?,?,點(diǎn)P為所求作的點(diǎn),32,,8.如圖，BD ⊥AC，垂足為點(diǎn)E，AE=CE.求證：AB+CD=AD+BC.,證明： ∵ BD ⊥AC，垂足為點(diǎn)E，AE=CE ∴AB=CB，AD=CD.（線段垂直平分線的性質(zhì)定理） ∴ AB+CD=AD+BC,課前熱身-證明,33,,9.如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D在BC上，且BD+AD=BC.求證：點(diǎn)D在AC的垂直平分線上。,證明： ∵ BD+AD=BC=BD+DC∴AD=DC∴點(diǎn)D在AC的垂直平分線上（線段垂直平分線的判定定理）,34,,10.已知:?ABC中,?C=90?,?A=30o,BD 平分?ABC交AC于D. 求證:D點(diǎn)在AB的垂直平分線上.,證明:,30o,,∵ ? C=90o, ? A=30o(已知) ∴ ?ABC=60o(三角形內(nèi)角和定理),∴ ? A= ?ABD (等量代換),∴ D點(diǎn)在AB的垂直平分線上.(和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上.),,∴ AD=BD(等角對(duì)等邊),35,,11.已知:如圖,線段CD垂直平分AB,AB平分?CAD. 求證:AD∥BC.,證明:,∵線段CD垂直平分AB(已知),∴ CA=CB(線段垂直平分線的 性質(zhì)定理),∴ ? 1= ? 3(等邊對(duì)等角),又∵ AB平分?CAD(已知) ∴ ? 1= ? 2(角平分線的定義),∴ ? 2= ? 3(等量代換),∴ AD ∥BC(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行),36,,∴ ?1+ ? 2= ?4(等邊對(duì)等角),又∵ ? 4=? B+? 3(三角形的一個(gè)外角等于與它 不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和),∴ ?1+ ? 2= ? B+? 3,∵ AD平分?BAC(已知) ∴ ? 2=? 3(角平分線的定義),∴ ?1=? B 即? CAF= ? B.,證明: ∵ EF垂直平分AD(已知),∴ AF=DF(線段垂直平分線的性質(zhì)定理),12.已知:如圖,AD平分?BAC,EF垂直平分AD交BC的延長(zhǎng)線于F,連結(jié)AF.求證: ? CAF= ? B.,37,,