2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式專題檢測試卷 新人教A版選修4-5.docx

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第三講 柯西不等式與排序不等式 專題檢測試卷(三) (時間：90分鐘　滿分：120分) 一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分) 1．設(shè)a1≤a2≤a3…≤an，b1≤b2≤b3…≤bn為兩組實數(shù)，在排序不等式中，順序和，反序和，亂序和的大小關(guān)系為(　　) A．反序和≥亂序和≥順序和 B．反序和＝亂序和＝順序和 C．反序和≤亂序和≤順序和 D．反序和、亂序和、順序和大小關(guān)系不確定 答案　C 2．已知m2＋n2＝2，t2＋s2＝8，則|mt＋ns|的最大值為(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 答案　B 解析　∵(m2＋n2)(t2＋s2)≥(mt＋ns)2， ∴(mt＋ns)2≤28＝16， ∴|mt＋ns|≤4. 當(dāng)且僅當(dāng)ms＝nt時，等號成立． 3．已知a，b，c為正數(shù)，則(a＋b＋c)的最小值為(　　) A．1B.C．3D．4 答案　D 解析　(a＋b＋c) ＝[()2＋()2] ≥2＝22＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)a＋b＝c時取等號． 4．設(shè)a，b，c為正數(shù)，a＋b＋4c＝1，則＋＋2的最大值是(　　) A.B.C．2D. 答案　B 解析　1＝a＋b＋4c＝()2＋()2＋(2)2 ＝[()2＋()2＋(2)2](12＋12＋12) ≥(＋＋2)2， ∴(＋＋2)2≤3，即當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝4c時等號成立． 5．函數(shù)f(x)＝＋cosx，則f(x)的最大值是(　　) A.B.C．1D．2 答案　A 解析　由f(x)＝＋cosx， 得f(x)＝＋cosx ≤＝. 當(dāng)且僅當(dāng)cosx＝時取等號. 6．設(shè)a，b，c均為實數(shù)，則的最大值為(　　) A.B.C.D. 答案　B 解析　由(a2＋2b2＋3c2)≥2， 即(a2＋2b2＋3c2)≥(a＋b＋c)2， ∴≤. ∴≤. 7．已知a，b，x1，x2∈R＋，ab＝1，x1＋x2＝2，則M＝(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)與4的大小關(guān)系是(　　) A．M＞4B．M＜4C．M≥4D．M≤4 答案　C 解析　(ax1＋bx2)(bx1＋ax2) ＝[()2＋()2][()2＋()2] ≥[(x1＋x2)]2＝(x1＋x2)2＝4. 8．已知x＋y＋z＝1，則2x2＋3y2＋z2的最小值為(　　) A.B.C.D. 答案　D 解析　∵(2x2＋3y2＋z2)≥(x＋y＋z)2＝1， ∴2x2＋3y2＋z2≥. 當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時，等號成立． 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分) 9．函數(shù)y＝5＋的最大值為__________． 答案　6 解析　由柯西不等式，得y＝5＋ ≤＝2＝6， 當(dāng)且僅當(dāng)5＝， 即x＝時，等號成立． 10．如圖，在矩形OPAQ中，a1≤a2，b1≤b2，則陰影部分的矩形面積之和________空白部分的矩形面積之和． 答案　≥ 解析　由題圖可知，陰影部分的面積等于a1b1＋a2b2，而空白部分的面積等于a1b2＋a2b1，根據(jù)順序和≥反序和可知，答案為≥. 11．已知0＜x＜1,0＜y＜1，則函數(shù)f(x)＝＋的最小值是________． 答案　 解析　由三角不等式，得 ＋ ≥＝. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝1－x，y＝1－y，即x＝，y＝時，等號成立．故f(x)的最小值為. 12．設(shè)a＝(－2,1,2)，|b|＝6，則ab的最小值為______，此時b＝________. 答案　－18　(4，－2，－4) 解析　根據(jù)柯西不等式的向量形成，有|ab|≤|a||b|， ∴|ab|≤6＝18. 當(dāng)且僅當(dāng)存在實數(shù)k，使a＝kb時，等號成立． ∴－18≤ab≤18. ∴ab的最小值為－18，此時b＝－2a＝(4，－2，－4)． 三、解答題(本大題共6小題，每小題10分，共60分) 13．設(shè)a，b，c是正實數(shù)，且a＋b＋c＝9，求＋＋的最小值． 解　∵(a＋b＋c) ＝[()2＋()2＋()2] ≥2＝18，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝3時等號成立． ∴＋＋≥2， ∴＋＋的最小值為2. 14．(2017江蘇)已知a，b，c，d為實數(shù)，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，證明：ac＋bd≤8. 證明　由柯西不等式，得(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)， 因為a2＋b2＝4，c2＋d2＝16， 所以(ac＋bd)2≤64， 因此ac＋bd≤8. 15．已知二次三項式f(x)＝ax2＋bx＋c的所有系數(shù)均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，求證：對于任何正數(shù)x1，x2，當(dāng)x1x2＝1時，必有f(x1)f(x2)≥1. 證明　f(x1)f(x2)＝(ax＋bx1＋c)(ax＋bx2＋c) ≥[a()2＋b＋c]2 ＝f2()＝f2(1)＝1. 故f(x1)f(x2)≥1. 16．已知x2＋2y2＋3z2＝，求3x＋2y＋z的最小值． 解　(x2＋2y2＋3z2)≥2＝(3x＋2y＋z)2， ∴(3z＋2y＋z)2≤(x2＋2y2＋3z2)＝12， ∴－2≤3x＋2y＋z≤2， 當(dāng)且僅當(dāng)x2＝9y2＝81z2， 即x＝－，y＝－，z＝－時取“＝”． ∴3x＋2y＋z的最小值為－2. 17．求三個實數(shù)x，y，z，使得它們同時滿足下列方程：2x＋3y＋z＝13,4x2＋9y2＋z2－2x＋15y＋3z＝82. 解　將兩個方程相加，得 (2x)2＋(3y＋3)2＋(z＋2)2＝108， ① 又第一個方程可變形為2x＋(3y＋3)＋(z＋2)＝18， ② 由①②及柯西不等式，得(2x)2＋(3y＋3)2＋(z＋2)2≥[2x＋(3y＋3)＋(z＋2)]2， 即108≥182＝108，即柯西不等式中的等號成立． 所以2x＝3y＋3＝z＋2＝6，故x＝3，y＝1，z＝4. 18．設(shè)x，y，z∈R，且＋＋＝1，求x＋y＋z的取值范圍． 解　由柯西不等式，得 [42＋()2＋22]≥2＝(x＋y＋z)2， 即251≥(x＋y＋z)2. ∴|x＋y＋z|≤5，∴－5≤x＋y＋z≤5. ∴x＋y＋z的取值范圍是[－5,5]．