2018-2019高中數(shù)學(xué) 第3章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末復(fù)習(xí)學(xué)案 蘇教版選修1 -1.docx
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第3章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義并能解決有關(guān)斜率、切線方程等的問(wèn)題.2.掌握初等函數(shù)的求導(dǎo)公式,并能夠綜合運(yùn)用求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).3.掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法,會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值.4.會(huì)用導(dǎo)數(shù)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)一在xx0處的導(dǎo)數(shù)1.定義:函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時(shí)變化率,若x無(wú)限趨近于0時(shí),比值無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)A,稱函數(shù)yf(x)在xx0處可導(dǎo).常數(shù)A為f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù).2.幾何意義:函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)圖象在點(diǎn)(x0,f(x0)處的切線斜率.3.物理意義:瞬時(shí)速度、瞬時(shí)加速度.知識(shí)點(diǎn)二基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式函數(shù)導(dǎo)數(shù)yCy0yx(為常數(shù))yx1ysinxycosxycosxysinxyax(a0且a1)yaxlnayexyexylogax(a0且a1)yylnxy知識(shí)點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和差的導(dǎo)數(shù)f(x)g(x)f(x)g(x)積的導(dǎo)數(shù)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)商的導(dǎo)數(shù)(g(x)0)知識(shí)點(diǎn)四函數(shù)的單調(diào)性、極值與導(dǎo)數(shù)1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi),如果f(x)0,那么函數(shù)yf(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;如果f(x)0,那么函數(shù)yf(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.2.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(1)極大值:在xa附近,滿足f(a)f(x),當(dāng)x0;當(dāng)xa時(shí),f(x)0,則點(diǎn)a叫做函數(shù)的極大值點(diǎn),f(a)叫做函數(shù)的極大值;(2)極小值:在xa附近,滿足f(a)f(x),當(dāng)xa時(shí),f(x)a時(shí),f(x)0,則點(diǎn)a叫做函數(shù)的極小值點(diǎn),f(a)叫做函數(shù)的極小值.知識(shí)點(diǎn)五求函數(shù)yf(x)在a,b上的最大值與最小值的步驟1.求函數(shù)yf(x)在(a,b)內(nèi)的極值.2.將函數(shù)yf(x)的各極值與端點(diǎn)處函數(shù)值f(a),f(b)比較,其中最大的一個(gè)為最大值,最小的一個(gè)為最小值.特別提醒:(1)關(guān)注導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義利用導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義時(shí)要特別注意切點(diǎn)是否已知,若切點(diǎn)未知,則設(shè)出切點(diǎn),用切點(diǎn)坐標(biāo)表示切線斜率.(2)正確理解單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)、極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系當(dāng)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上為增函數(shù)時(shí),f(x)0;f(x0)0是函數(shù)yf(x)在x0處取極值的必要條件.1.導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn).()2.在可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)處,切線與x軸平行.()3.函數(shù)f(x)在定義域上都有f(x)0,則函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞增.()4.函數(shù)f(x)xlnx的最小值為e1.()類型一導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用例1設(shè)函數(shù)f(x)x3ax29x1(a0),直線l是曲線yf(x)的一條切線,當(dāng)l的斜率最小時(shí),直線l與直線10xy6平行.(1)求a的值;(2)求f(x)在x3處的切線方程.考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的概念題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用解(1)f(x)x22ax9(xa)2a29,f(x)mina29,由題意知,a2910,a1或1(舍去).故a1.(2)由(1)得a1.f(x)x22x9,則kf(3)6,f(3)10.f(x)在x3處的切線方程為y106(x3),即6xy280.反思與感悟利用導(dǎo)數(shù)求切線方程時(shí)關(guān)鍵是找到切點(diǎn),若切點(diǎn)未知需設(shè)出.常見(jiàn)的類型有兩種,一類是求“在某點(diǎn)處的切線方程”,則此點(diǎn)一定為切點(diǎn),易求斜率進(jìn)而寫出直線方程即可得;另一類是求“過(guò)某點(diǎn)的切線方程”,這種類型中的點(diǎn)不一定是切點(diǎn),可先設(shè)切點(diǎn)為Q(x1,y1),由f(x1)和y1f(x1)求出x1,y1的值,轉(zhuǎn)化為第一種類型.跟蹤訓(xùn)練1求垂直于直線2x6y10并且與曲線yx33x25相切的直線方程.考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的概念題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用解設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為P(x0,y0),函數(shù)yx33x25的導(dǎo)數(shù)為y3x26x,則切線的斜率為k3x6x0.又直線2x6y10的斜率為k,kk(3x6x0)1,解得x01,y03,即P(1,3).又k3,切線方程為y33(x1),即3xy60.類型二導(dǎo)數(shù)中分類討論思想例2已知函數(shù)f(x)ax2bxlnx(a,bR).設(shè)a0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間.考點(diǎn)分類討論思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用題點(diǎn)分類討論思想在單調(diào)性中的應(yīng)用解由f(x)ax2bxlnx,x(0,),得f(x).(1)當(dāng)a0時(shí),f(x).若b0,當(dāng)x0時(shí),f(x)0,當(dāng)0x時(shí),f(x)時(shí),f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是.(2)當(dāng)a0時(shí),令f(x)0,得2ax2bx10.由b28a0,得x1,x2.顯然x10.當(dāng)0xx2時(shí),f(x)x2時(shí),f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是.綜上所述,當(dāng)a0,b0時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,);當(dāng)a0,b0時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是;當(dāng)a0時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是.反思與感悟(1)關(guān)注函數(shù)的定義域,單調(diào)區(qū)間應(yīng)為定義域的子區(qū)間.(2)已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性時(shí)轉(zhuǎn)化要等價(jià).(3)分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間實(shí)質(zhì)是討論不等式的解集.(4)求參數(shù)的范圍時(shí)常用到分離參數(shù)法.跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)xa(2lnx),a0,討論f(x)的單調(diào)性.考點(diǎn)分類討論思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用題點(diǎn)分類討論思想在單調(diào)性中的應(yīng)用解f(x)的定義域是(0,),則f(x)1.設(shè)g(x)x2ax2,二次方程g(x)0的判別式a28.當(dāng)0,即0a0,都有f(x)0.此時(shí)f(x)是(0,)上的單調(diào)遞增函數(shù);當(dāng)0,即a2時(shí),僅對(duì)x時(shí),有f(x)0,對(duì)其余的x0都有f(x)0.此時(shí)f(x)也是(0,)上的單調(diào)遞增函數(shù);當(dāng)0,即a2時(shí),方程g(x)0有兩個(gè)不同的實(shí)根x1,x2,0x10,yf(x)為(,)上的增函數(shù),所以yf(x)無(wú)極值;當(dāng)a0時(shí),令f(x)0,得xlna.當(dāng)x(,lna)時(shí),f(x)0,yf(x)在(lna,)上遞增,故f(x)在xlna處取得極小值f(lna)lna,無(wú)極大值.綜上,當(dāng)a0時(shí),yf(x)無(wú)極值;當(dāng)a0時(shí),yf(x)在xlna處取得極小值lna,無(wú)極大值.(3)當(dāng)a1時(shí),f(x)x1.直線l:ykx1與曲線yf(x)沒(méi)有公共點(diǎn)等價(jià)于關(guān)于x的方程kx1x1在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解,即關(guān)于x的方程(k1)x(*)在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解.當(dāng)k1時(shí),方程(*)為0,在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解;當(dāng)k1時(shí),方程(*)為xex.令g(x)xex,則有g(shù)(x)(1x)ex,令g(x)0,得x1.當(dāng)x變化時(shí),g(x),g(x)的變化情況如下表:x(,1)1(1,)g(x)0g(x)當(dāng)x1時(shí),g(x)min,從而g(x).所以當(dāng)時(shí),方程(*)沒(méi)有實(shí)數(shù)解,解得k(1e,1).綜上,k的取值范圍為(1e,1.反思與感悟(1)已知極值點(diǎn)求參數(shù)的值后,要代回驗(yàn)證參數(shù)值是否滿足極值的定義.(2)討論極值點(diǎn)的實(shí)質(zhì)是討論函數(shù)的單調(diào)性,即f(x)的正負(fù).(3)求最大值要在極大值與端點(diǎn)值中取最大者,求最小值要在極小值與端點(diǎn)值中取最小者.跟蹤訓(xùn)練3設(shè)f(x)lnx,g(x)f(x)f(x).(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值;(2)討論g(x)與g的大小關(guān)系;(3)求a的取值范圍,使g(a)g(x)對(duì)任意x0成立.考點(diǎn)分類討論思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用題點(diǎn)分類討論思想在極值、最值中的應(yīng)用解(1)由題設(shè),知g(x)lnx,所以g(x),令g(x)0,得x1,當(dāng)x(0,1)時(shí),g(x)0,當(dāng)x(1,)時(shí),g(x)0,故g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間是(1,).因此,x1是g(x)的唯一極值點(diǎn),且為極小值點(diǎn),從而是最小值點(diǎn),所以g(x)的最小值為g(1)1.(2)glnxx,設(shè)h(x)g(x)g2lnxx,則h(x).當(dāng)x1時(shí),h(1)0,即g(x)g;當(dāng)x(0,1)(1,)時(shí),h(x)0,h(1)0,因此,h(x)在(0,)內(nèi)單調(diào)遞減.當(dāng)0x1時(shí),h(x)h(1)0,即g(x)g;當(dāng)x1時(shí),h(x)h(1)0,即g(x)g.(3)由(1),知g(x)的最小值為1.因?yàn)間(a)g(x)對(duì)任意x0成立,所以g(a)1,即lna1,解得0ae.即a的取值范圍為(0,e).類型三導(dǎo)數(shù)中的構(gòu)造函數(shù)問(wèn)題例4已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)為yf(x),當(dāng)x0時(shí),f(x)0,若af,bf(),cf,則a,b,c的大小關(guān)系是.答案bca解析令g(x)xf(x),則g(x)(x)f(x)xf(x),g(x)是偶函數(shù).g(x)f(x)xf(x),f(x)0時(shí),xf(x)f(x)0;當(dāng)x0.g(x)在(0,)上是減函數(shù).ln21,g()g(ln2)g.g(x)是偶函數(shù),g()g(),gg(ln2),g()gg,即bcbc解析設(shè)g(x),則g(x).令g(x)0,解得xe;令g(x)e,g(x)在(0,e)上遞增,在(e,)上遞減,而543e,g(5)g(4)g(3),即bc.例5定義域?yàn)镽的可導(dǎo)函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足f(x)2ex的解集為.答案(0,)解析設(shè)g(x),則g(x).f(x)0,即函數(shù)g(x)單調(diào)遞增.f(0)2,g(0)f(0)2,則不等式等價(jià)于g(x)g(0).函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,x0,不等式的解集為(0,).反思與感悟應(yīng)用構(gòu)造法解決不等式時(shí),先根據(jù)所求結(jié)論與已知條件,構(gòu)造函數(shù),通過(guò)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,再利用單調(diào)性得到x的取值范圍.跟蹤訓(xùn)練5設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),f(x)為其導(dǎo)函數(shù).當(dāng)x0時(shí),f(x)xf(x)0,且f(1)0,則不等式xf(x)0的解集為.答案(1,)解析令g(x)xf(x).當(dāng)x0時(shí),g(x)xf(x)f(x)xf(x)0,g(x)在(0,)上單調(diào)遞增.又f(x)是偶函數(shù),即f(x)f(x),則g(x)(x)f(x)xf(x)g(x),g(x)是奇函數(shù),g(x)在R上單調(diào)遞增.f(1)0,則g(1)1f(1)0,由xf(x)0,即g(x)g(1),得x1,xf(x)0的解集為(1,).例6已知x1,證明:x1lnx.證明設(shè)f(x)x1lnx,x(1,),則f(x)1,因?yàn)閤(1,),所以f(x)0,即函數(shù)f(x)在(1,)上是增函數(shù),又x1,所以f(x)f(1)11ln10,即x1lnx0,所以x1lnx.反思與感悟利用函數(shù)的最值證明不等式的基本步驟(1)將不等式構(gòu)造成f(x)0(或0時(shí),22x0時(shí),exe01,f(x)2(1ex)0.函數(shù)f(x)22x2ex在(0,)上是減函數(shù),f(x)0時(shí),22x2ex0,22x2ex.1.若函數(shù)f(x)x3bx2cx的圖象與x軸相切于點(diǎn)(1,0),則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的概念題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用答案解析f(x)3x22bxc,由題意可得即得f(x)3x24x1,由f(x)0即3x24x10,解得x0)在1,)上的最大值為,則a的值為.考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值答案1解析f(x),當(dāng)x時(shí),f(x)0,f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x時(shí),令f(x),0),f(x)x5.令f(x)0,解得x2或3.當(dāng)0x3時(shí),f(x)0,故f(x)在(0,2),(3,)上為增函數(shù);當(dāng)2x3時(shí),f(x)a,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值答案解析f(x)3x2x2,令f(x)0,得3x2x20,解得x1或x,又f(1),f,f(1),f(2)7,故f(x)min,a.3.已知yf(x)是奇函數(shù),當(dāng)x(0,2)時(shí),f(x)lnxax,當(dāng)x(2,0)時(shí),f(x)的最小值為1,則a的值為.考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值答案1解析由題意知,當(dāng)x(0,2)時(shí),f(x)的最大值為1.令f(x)a0,得x,當(dāng)0x0;當(dāng)x時(shí),f(x)0.f(x)maxflna11,解得a1.4.已知f(x)sinx2x,xR,且f(2a)0恒成立,f(x)在R上單調(diào)遞增.f(2a)f(a1),2aa1,得a0)的導(dǎo)數(shù)f(x)的最大值為5,則在函數(shù)f(x)圖象上的點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程是.考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值答案15x3y20解析f(x)2x24ax32(xa)232a2,f(x)max32a25,a0,a1.f(x)2x24x3,f(1)2435,又f(1)23,所求切線方程為y5(x1),即15x3y20.6.函數(shù)f(x)ax3bx2cxd的圖象如圖,則函數(shù)yax2bx的單調(diào)遞增區(qū)間是.考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性答案解析不妨取a1,f(x)x3bx2cxd,f(x)3x22bxc,由圖可知,f(2)0,f(3)0,124bc0,276bc0,b,c18.yx2x6,y2x,當(dāng)x時(shí),y0.yax2bx的單調(diào)遞增區(qū)間為.7.將8分成兩個(gè)數(shù)之和,使其立方之和最小,則這兩個(gè)數(shù)分別為.考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用答案4,4解析設(shè)一個(gè)數(shù)為x,則另一個(gè)數(shù)為8x,則yx3(8x)3,0x8,y3x23(8x)2.令y0,即3x23(8x)20,解得x4.當(dāng)0x4時(shí),y0;當(dāng)40.所以當(dāng)x4時(shí),y最小.8.若函數(shù)f(x)(mx1)ex在(0,)上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性答案1,)解析f(x)mex(mx1)ex(mxm1)ex,由題意知,f(x)0在x(0,)上恒成立.也就是mxm10在x(0,)上恒成立,當(dāng)m0時(shí)顯然不成立,當(dāng)m0時(shí),令g(x)mxm1,只需g(0)0,得m1.即實(shí)數(shù)m的取值范圍為1,).9.已知函數(shù)f(x)在定義域0,)上恒有f(x)f(x).若a,b,則a與b的大小關(guān)系為.(用“”連接)考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用題點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)求解答案ab解析設(shè)g(x),則當(dāng)x0時(shí),g(x)g(3),即,所以ab.10.已知f(x),g(x)都是定義在R上的函數(shù),且ax (a0且a1),f(x)g(x)f(x)g(x),則a.考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用題點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)求解答案解析令h(x),f(x)g(x)f(x)g(x),h(x)0,函數(shù)yax在R上單調(diào)遞減,0a1.,a1a1,化為2a25a20,解得a2或.0a0;當(dāng)x時(shí),f(x)0.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為3,2)和,單調(diào)遞減區(qū)間為.又f(2)13,f,f(3)8,f(1)4,所以f(x)在區(qū)間3,1上的最大值為13.三、探究與拓展14.已知函數(shù)f(x)若函數(shù)f(x)的圖象與直線yx有三個(gè)不同的公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值集合為.考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用答案16,20解析因?yàn)閒(x)sinx(x1)與yx無(wú)交點(diǎn),故只需函數(shù)f(x)x39x225xa(x1)的圖象與直線yx有三個(gè)不同的公共點(diǎn)即可.設(shè)g(x)x39x224xa,則g(x)3x218x24.令g(x)3x218x240,得x12,x24,且g(x)在1,2上遞增,在2,4上遞減,在4,)上遞增,g(1)a16,g(2)a20,g(4)a16,故只需g(1)g(4)a160或g(2)a200,解得a20或a16.15.設(shè)函數(shù)f(x)x32ax23a2xb(0a1).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)若當(dāng)xa1,a2時(shí),恒有|f(x)|a,試確定a的取值范圍;(3)當(dāng)a時(shí),關(guān)于x的方程f(x)0在區(qū)間1,3上恒有兩個(gè)相異的實(shí)根,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用解(1)f(x)x24ax3a2(xa)(x3a).令f(x)0,得xa或x3a.當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)的變化情況如下表:x(,a)a(a,3a)3a(3a,)f(x)00f(x)極小值極大值所以f(x)在(,a)和(3a,)上是減函數(shù);在(a,3a)上是增函數(shù).當(dāng)xa時(shí),f(x)取得極小值,f(x)極小值f(a)ba3;當(dāng)x3a時(shí),f(x)取得極大值,f(x)極大值f(3a)b.(2)f(x)x24ax3a2,其對(duì)稱軸為x2a.因?yàn)?a1,所以2aa1.所以f(x)在區(qū)間a1,a2上是減函數(shù).當(dāng)xa1時(shí),f(x)取得最大值,f(a1)2a1;當(dāng)xa2時(shí),f(x)取得最小值,f(a2)4a4.于是有即a1.又因?yàn)?a1,所以a1.即a的取值范圍為.(3)當(dāng)a時(shí),f(x)x3x2xb.f(x)x2x,由f(x)0,即x2x0,解得x1,x22,即f(x)在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),在(2,)上是減函數(shù).要使f(x)0在1,3上恒有兩個(gè)相異實(shí)根,即f(x)在1,2),(2,3上各有一個(gè)實(shí)根,于是有即解得0b.所以b的取值范圍是.- 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