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2.1 圓錐曲線
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.掌握?qǐng)A錐曲線的類型及其定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)求簡(jiǎn)單圓錐曲線的方程.2.通過(guò)對(duì)圓錐曲線性質(zhì)的研究，感受數(shù)形結(jié)合的基本思想和理解代數(shù)方法研究幾何性質(zhì)的優(yōu)越性.
知識(shí)點(diǎn)一 橢圓的定義
思考 如果動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A，B的距離之和為PA＋PB＝2a(a>0且a為常數(shù))，點(diǎn)P的軌跡一定是橢圓嗎？
答案 不一定.
當(dāng)2a>AB時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是橢圓；
當(dāng)2a＝AB時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是線段AB；
當(dāng)2a
F1F2時(shí)，滿足條件的點(diǎn)不存在.
梳理 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于F1F2的正數(shù))的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.
知識(shí)點(diǎn)三 拋物線的定義
如圖，我們?cè)诤诎迳袭嬕粭l直線EF，然后取一個(gè)三角板，將一條拉鏈AB固定在三角板的一條直角邊上，并將拉鏈下邊一半的一端固定在C點(diǎn)，將三角板的另一條直角邊貼在直線EF上，在拉鎖D處放置一支粉筆，上下拖動(dòng)三角板，粉筆會(huì)畫出一條曲線.
思考1 畫出的曲線是什么形狀？
答案 拋物線.
思考2 DA是點(diǎn)D到直線EF的距離嗎？為什么？
答案 是.AB是直角三角形的一條直角邊.
思考3 點(diǎn)D在移動(dòng)過(guò)程中，滿足什么條件？
答案 DA＝DC.
梳理 平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(F不在l上)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.
1.設(shè)F1，F(xiàn)2為定點(diǎn)，F(xiàn)1F2＝3，動(dòng)點(diǎn)M滿足MF1＋MF2＝3，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是橢圓.( )
2.已知定點(diǎn)M(1,1)，定直線l：x＝3，有一動(dòng)點(diǎn)N，點(diǎn)N到M點(diǎn)的距離MN始終等于N點(diǎn)到直線l的距離，則N點(diǎn)的軌跡是一條拋物線.( √ )
3.已知A(－3,0)，B(3,0)，且MA－MB＝8，則M點(diǎn)的軌跡是雙曲線.( )
類型一 橢圓定義的應(yīng)用
例1 在△ABC中，B(－6,0)，C(0,8)，且sinB，sinA，sinC成等差數(shù)列.
(1)頂點(diǎn)A的軌跡是什么？
(2)指出軌跡的焦點(diǎn)和焦距.
考點(diǎn) 橢圓的定義
題點(diǎn) 橢圓定義的應(yīng)用
解 (1)由sinB，sinA，sinC成等差數(shù)列，得sinB＋sinC＝2sinA.由正弦定理，可得AC＋AB＝2BC.
又BC＝10，所以AB＋AC＝20，且20>BC，
所以點(diǎn)A的軌跡是橢圓(除去直線BC與橢圓的交點(diǎn)).
(2)橢圓的焦點(diǎn)為B，C，焦距為10.
反思與感悟 此類題求解的關(guān)鍵是把已知條件轉(zhuǎn)化為三角形邊的關(guān)系，找到點(diǎn)滿足的條件.注意三點(diǎn)要構(gòu)成三角形，軌跡要除去兩點(diǎn).
跟蹤訓(xùn)練1 已知△ABC中，B(－3,0)，C(3,0)，且AB，BC，AC成等差數(shù)列.
(1)求證：點(diǎn)A在一個(gè)橢圓上運(yùn)動(dòng)；
(2)寫出這個(gè)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo).
考點(diǎn) 橢圓的定義
題點(diǎn) 橢圓定義的應(yīng)用
(1)證明 在△ABC中，由AB，BC，AC成等差數(shù)列得AB＋AC＝2BC＝12>BC滿足橢圓定義，所以點(diǎn)A在以B，C為焦點(diǎn)的橢圓上運(yùn)動(dòng).
(2)解 焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－3,0)，(3,0).
類型二 雙曲線定義的應(yīng)用
例2 如圖，已知?jiǎng)訄AC與圓F1，F(xiàn)2均外切(圓F1與圓F2相離)，試問(wèn)：動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是什么曲線？
考點(diǎn) 雙曲線的定義
題點(diǎn) 雙曲線定義的理解
解 設(shè)動(dòng)圓C的半徑為R，圓F1，F(xiàn)2的半徑分別為r1，r2，易知CF1＝R＋r1，CF2＝R＋r2.
所以CF1－CF2＝r1－r2.
又CF1－CF2＝r1－r21＝AB，
∴點(diǎn)M的軌跡是橢圓.
2.已知兩點(diǎn)F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，到它們的距離的差的絕對(duì)值是6的點(diǎn)M的軌跡是____________.
考點(diǎn) 圓錐曲線的定義
題點(diǎn) 雙曲線定義的理解
答案 雙曲線
解析 ∵＝6AB＝6，
滿足橢圓的定義，
故點(diǎn)P的軌跡是以A，B兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓.
1.在橢圓定義中，常數(shù)>F1F2不可忽視，若常數(shù)F1F2，則這樣的點(diǎn)不存在；若常數(shù)＝F1F2，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條射線.
3.在拋物線定義中F?l.若F∈l，則點(diǎn)的軌跡是經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且垂直于l的直線.
一、填空題
1.已知定點(diǎn)F1(－3,0)和F2(3,0)，動(dòng)點(diǎn)M滿足MF1＋MF2＝10，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是________.
考點(diǎn) 圓錐曲線的定義
題點(diǎn) 橢圓定義的理解
答案 橢圓
解析 ∵M(jìn)F1＋MF2＝10>F1F2，∴點(diǎn)M的軌跡是橢圓.
2.已知點(diǎn)M(x，y)的坐標(biāo)滿足－＝4，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是______.
考點(diǎn) 圓錐曲線的定義
題點(diǎn) 雙曲線定義的理解
答案 雙曲線
解析 點(diǎn)M(x，y)到點(diǎn)(1,1)及到點(diǎn)(－3，－3)的距離之差的絕對(duì)值為4，而(1,1)與(－3，－3)的距離為4.由定義知，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是雙曲線.
3.已知平面內(nèi)有一條長(zhǎng)度為4的定線段AB，動(dòng)點(diǎn)P滿足PA－PB＝3，則點(diǎn)P的軌跡是________________________________.
考點(diǎn) 圓錐曲線的定義
題點(diǎn) 雙曲線定義的理解
答案 以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的一支(靠近焦點(diǎn)B)
解析 ∵PA－PB＝3<4，∴動(dòng)點(diǎn)P在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的一支(靠近焦點(diǎn)B)上.
4.若動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)F(1,1)和直線l：3x＋y－4＝0的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是________.
考點(diǎn) 圓錐曲線的定義
題點(diǎn) 拋物線定義的理解
答案 直線
解析 由定點(diǎn)F(1,1)在直線l：3x＋y－4＝0上，
故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為直線.
5.已知在△ABC中，A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別是(－2,0)，(2,0)，且三邊a，b，c滿足a＋c＝b，則點(diǎn)B的軌跡為________.
考點(diǎn) 圓錐曲線的定義
題點(diǎn) 橢圓定義的理解
答案 橢圓(除去與x軸的交點(diǎn))
解析 設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x，y).
由a＋c＝b，得BC＋AB＝AC，即BC＋BA＝6＞AC.
由橢圓的定義，知點(diǎn)B的軌跡是以A，C為焦點(diǎn)的橢圓.又因?yàn)锳，B，C構(gòu)成三角形，所以點(diǎn)B的軌跡是以A，C為焦點(diǎn)的橢圓，除去橢圓與x軸的交點(diǎn).
6.平面內(nèi)有兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2及動(dòng)點(diǎn)P，設(shè)命題甲是“|PF1－PF2|是非零常數(shù)”，命題乙是“動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線”，那么甲是乙的____________條件.
考點(diǎn) 圓錐曲線的定義、條件判斷
題點(diǎn) 雙曲線定義的理解、條件判斷
答案 必要不充分
解析 按照雙曲線的定義可知，若動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線，則|PF1－PF2|是非零常數(shù)；反之，若|PF1－PF2|是非零常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡不一定是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線.
7.已知F1(0，－2)，F(xiàn)2(0,2)，PF1＋PF2＝m，則當(dāng)m＝________時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是線段，當(dāng)m∈________時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是橢圓.
考點(diǎn) 圓錐曲線的定義
題點(diǎn) 橢圓定義的理解
答案 4 (4，＋∞)
解析 當(dāng)m＝4時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是線段F1F2.
當(dāng)PF1＋PF2＝m>F1F2＝4時(shí)，滿足橢圓的定義，
此時(shí)點(diǎn)P的軌跡是橢圓.
8.下列說(shuō)法中正確的有________.(填序號(hào))
①已知F1(－6,0)，F(xiàn)2(6,0)，到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于12的點(diǎn)的軌跡是橢圓；
②已知F1(－6,0)，F(xiàn)2(6,0)，到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡是橢圓；
③到點(diǎn)F1(－6,0)，F(xiàn)2(6,0)的距離之和等于點(diǎn)M(10,0)到F1，F(xiàn)2的距離之和的點(diǎn)的軌跡是橢圓；
④到點(diǎn)F1(－6,0)，F(xiàn)2(6,0)距離相等的點(diǎn)的軌跡是橢圓.
考點(diǎn) 圓錐曲線的定義
題點(diǎn) 橢圓定義的理解
答案?、?
解析 橢圓是到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于F1F2)的點(diǎn)的軌跡，應(yīng)特別注意橢圓的定義的應(yīng)用.
①中，F(xiàn)1F2＝12，故到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和為常數(shù)12的點(diǎn)的軌跡是線段F1F2；
②中，點(diǎn)到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和為常數(shù)8小于F1F2，故這樣的點(diǎn)不存在；
③中，點(diǎn)(10,0)到F1，F(xiàn)1兩點(diǎn)的距離之和為＋＝20>F1F2＝12，故③中點(diǎn)的軌跡是橢圓；
④中，點(diǎn)的軌跡是線段F1F2的垂直平分線.
故正確的是③.
9.在△ABC中，已知AB＝4，且三內(nèi)角A，B，C滿足2sinA＋sinC＝2sinB，則頂點(diǎn)C的軌跡為________.
考點(diǎn) 圓錐曲線的定義
題點(diǎn) 雙曲線定義的理解
答案 雙曲線的一支(除去與直線AB的交點(diǎn))
解析 由正弦定理，得sinA＝，
sinB＝，sinC＝(R為△ABC的外接圓半徑).
∵2sinA＋sinC＝2sinB，∴2a＋c＝2b，即b－a＝，
從而有CA－CB＝AB＝2
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2018-2019高中數(shù)學(xué)
第2章
圓錐曲線與方程
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