（天津?qū)０妫?018年高考數(shù)學(xué) 母題題源系列 專題20 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì) 文.doc
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母題二十 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì) 【母題原題1】【2018天津，文20】 設(shè)函數(shù)，其中，且是公差為的等差數(shù)列． （I）若 求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （II）若，求的極值； （III）若曲線 與直線有三個(gè)互異的公共點(diǎn)，求的取值范圍． 【考點(diǎn)分析】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)和方法，考查函數(shù)思想和分類討論思想，考查綜合分析問題和解決問題的能量，滿分14分． 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)極大值為；極小值為；(Ⅲ) 【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意可得，結(jié)合，究的性質(zhì)可得的取值范圍是． 試題解析：（Ⅰ）由已知，可得，故，因此，又因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線方程為，故所求切線方程為． （Ⅱ）由已知可得． 故．令，解得，或． 當(dāng)變化時(shí)，，的變化如下表： + 0 ? 0 + ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 函數(shù)的極大值為；函數(shù)的極小值為． （Ⅲ）曲線與直線有三個(gè)互異的公共點(diǎn)等價(jià)于關(guān)于的方程有三個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，令，可得． 設(shè)函數(shù)，則曲線與直線有三個(gè)互異的公共點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)． ． 的極小值． 若，由的單調(diào)性可知函數(shù)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意． 若即，也就是，此時(shí)，且，從而由的單調(diào)性，可知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意． 的取值范圍是． 【名師點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，本專題在高考中的命題方向及命題角度從高考來看，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題；（4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 【母題原題2】【2017天津，文19】 設(shè)，．已知函數(shù)，． （Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）已知函數(shù)和的圖象在公共點(diǎn)（x0，y0）處有相同的切線， （i）求證：在處的導(dǎo)數(shù)等于0； （ii）若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上恒成立，求b的取值范圍． 【答案】（Ⅰ）遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為．（2）（ⅰ）在處的導(dǎo)數(shù)等于0．（ⅱ）的取值范圍是． 試題解析：（I）由，可得 ， 令，解得，或．由，得． 當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表： 所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為． （II）（i）因?yàn)椋深}意知， 由（I）知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減， 故當(dāng)時(shí)，在上恒成立，從而在上恒成立． 【考點(diǎn)】1．導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2．導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；3．導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 【名師點(diǎn)睛】本題本題考點(diǎn)為導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，本題屬于中等問題，第一問求導(dǎo)后要會(huì)分解因式，并且根據(jù)條件能判斷兩個(gè)極值點(diǎn)的大小關(guān)系，避免討論，第二問導(dǎo)數(shù)的幾何意義，要注意切點(diǎn)是公共點(diǎn)，切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)相等的條件，前兩問比較容易入手，但第三問，需分析出，同時(shí)根據(jù)單調(diào)性判斷函數(shù)的最值，涉及造函數(shù)解題較難，這一問思維巧妙，有選拔優(yōu)秀學(xué)生的功能． 【母題原題3】【2016天津，文20】 設(shè)函數(shù)，，其中 (I)求的單調(diào)區(qū)間； (II) 若存在極值點(diǎn)，且，其中，求證：； （Ⅲ）設(shè)，函數(shù)，求證：在區(qū)間上的最大值不小于． 【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）詳見解析． 【解析】 試題分析：（Ⅰ）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)是否存在情況，分類討論：①當(dāng)時(shí)，有恒成立，所以的單調(diào)增區(qū)間為．②當(dāng)時(shí)，存在三個(gè)單調(diào)區(qū)間（Ⅱ）由題意得，計(jì)算可得再由及單調(diào)性可得結(jié)論；（Ⅲ）實(shí)質(zhì)研究函數(shù)最大值：主要比較，的大小即可，分三種情況研究①當(dāng)時(shí)，，②當(dāng)時(shí)，，③當(dāng)時(shí)，． 當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表： ＋ 0 － 0 ＋ 單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增 所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，． （Ⅱ）證明：因?yàn)榇嬖跇O值點(diǎn)，所以由（Ⅰ）知，且，由題意，得，即，進(jìn)而．又 ，且 ，所以． （2）當(dāng)時(shí)，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，，，所以在區(qū)間上的取值范圍為，因此 ． ． 綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值不小于． 證法2：欲證在區(qū)間上的最大值不小于，只需證在區(qū)間上存在，使得 ③若時(shí)，，成立； ④當(dāng)時(shí)，，成立． 考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、證明不等式 【名師點(diǎn)睛】 1．求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟 (1)確定函數(shù)f(x)的定義域(定義域優(yōu)先)； (2)求導(dǎo)函數(shù)f′(x)； (3)在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)求不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0的解集． (4)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)的解集確定函數(shù)f(x)的單調(diào)增(減)區(qū)間．若遇不等式中帶有參數(shù)時(shí)，可分類討論求得單調(diào)區(qū)間． 2．由函數(shù)f(x)在(a，b)上的單調(diào)性，求參數(shù)范圍問題，可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問題，要注意“＝”是否可以取到． 【母題原題4】【2015天津，文20】 已知函數(shù) （I）求的單調(diào)性； （II）設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為P，曲線在點(diǎn)P處的切線方程為，求證：對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)，都有; （III）若方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根且，求證：． 【答案】（I） 的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（II）見試題解析；（III）見試題解析． 【解析】 試題解析：（I）由，可得，當(dāng)，即 時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞增；當(dāng)，即 時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞減．所以函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是． （II）設(shè)，則， 曲線 在點(diǎn)P處的切線方程為，即，令 即 則． 由于在 單調(diào)遞減，故在 單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以 在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，，對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)，都有． 【命題意圖】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的重要工具，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可以描繪出函數(shù)圖象大致的變化趨勢(shì)，是進(jìn)一步解決問題的依據(jù)．分類討論思想具有明顯的邏輯特征，是整體思想一個(gè)重要補(bǔ)充，解決這類問題需要一定的分析能力和分類技巧．因此高考對(duì)這類題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、代數(shù)式化簡(jiǎn)與變形，考查運(yùn)算求解能力，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法分析與解決問題能力． 【命題規(guī)律】含有參數(shù)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)試題，主要有兩個(gè)方面：一是根據(jù)給出的某些條件求出這些參數(shù)值，基本思想方法為方程的思想；二是在確定參數(shù)的范圍（或取值）使得函數(shù)具有某些性質(zhì)，基本解題思想是函數(shù)與方程的思想、分類討論的思想．含有參數(shù)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)試題是高考考查函數(shù)方程思想、分類討論思想的主要題型之一．這類試題在考查題型上，通常以解答題的形式出現(xiàn)，難度中等． 【答題模板】解答本類題目，以2017年第10題高考題為例，一般考慮如下三步： 第一步：求解導(dǎo)函數(shù)、因式分解、分類討論，寫出單調(diào)性 （1）的定義域?yàn)?，? （?。┤簦瑒t，所以在單調(diào)遞減． （ⅱ）若，則由得． 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增． 第二步：依據(jù)單調(diào)性判斷零點(diǎn)情況 （ⅰ）若，由（1）知，至多有一個(gè)零點(diǎn)． （ⅱ）若，由（1）知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為． ①當(dāng)時(shí)，由于，故只有一個(gè)零點(diǎn)； ②當(dāng)時(shí)，由于，即，故沒有零點(diǎn)； ③當(dāng)時(shí)，，即． 第三步： 賦值判斷零點(diǎn) 又，故在有一個(gè)零點(diǎn)．設(shè)正整數(shù)滿足，則． 由于，因此在有一個(gè)零點(diǎn)．綜上，的取值范圍為． 【方法總結(jié)】 1．研究函數(shù)單調(diào)區(qū)間，實(shí)質(zhì)研究函數(shù)極值問題．分類討論思想常用于含有參數(shù)的函數(shù)的極值問題，大體上可分為兩類，一類是定區(qū)間而極值點(diǎn)含參數(shù)，另一類是不定區(qū)間（區(qū)間含參數(shù)）極值點(diǎn)固定，這兩類都是根據(jù)極值點(diǎn)是否在區(qū)間內(nèi)加以討論，討論時(shí)以是否使得導(dǎo)函數(shù)變號(hào)為標(biāo)準(zhǔn)，做到不重不漏． 2．求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)首先堅(jiān)持定義域優(yōu)先原則，必須先確定函數(shù)的定義域，尤其注意定義區(qū)間不連續(xù)的情況，此時(shí)單調(diào)區(qū)間按斷點(diǎn)自然分類；其次，先研究定義區(qū)間上導(dǎo)函數(shù)無零點(diǎn)或零點(diǎn)落在定義區(qū)間端點(diǎn)上的情況，此時(shí)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)不變，單調(diào)性唯一；對(duì)于導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)在定義區(qū)間內(nèi)的情形，最好列表分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律，得出相應(yīng)單調(diào)區(qū)間． 3．討論函數(shù)的單調(diào)性其實(shí)質(zhì)就是討論不等式的解集的情況．大多數(shù)情況下，這類問題可以歸結(jié)為一個(gè)含有參數(shù)的一元二次不等式的解集的討論，在能夠通過因式分解求出不等式對(duì)應(yīng)方程的根時(shí)依據(jù)根的大小進(jìn)行分類討論，在不能通過因式分解求出根的情況時(shí)根據(jù)不等式對(duì)應(yīng)方程的判別式進(jìn)行分類討論．討論函數(shù)的單調(diào)性是在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行的，千萬不要忽視了定義域的限制． 4．含參數(shù)的函數(shù)的極值(最值)問題常在以下情況下需要分類討論： (1)導(dǎo)數(shù)為零時(shí)自變量的大小不確定需要討論； (2)導(dǎo)數(shù)為零的自變量是否在給定的區(qū)間內(nèi)不確定需要討論； (3)端點(diǎn)處的函數(shù)值和極值大小不確定需要討論； (4)參數(shù)的取值范圍不同導(dǎo)致函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性的變化不確定需要討論． 5．求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟 (1)確定函數(shù)的定義域(定義域優(yōu)先)； (2)求導(dǎo)函數(shù)； (3)在函數(shù)的定義域內(nèi)求不等式或的解集． (4)由（）的解集確定函數(shù)的單調(diào)增(減)區(qū)間．若遇不等式中帶有參數(shù)時(shí)，可分類討論求得單調(diào)區(qū)間． 6．由函數(shù)在上的單調(diào)性，求參數(shù)范圍問題，可轉(zhuǎn)化為 (或)恒成立問題，要注意“＝”是否可以取到． 7．求函數(shù)最值時(shí)，不可想當(dāng)然地認(rèn)為極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，要通過認(rèn)真比較才能下結(jié)論；另外注意函數(shù)最值是個(gè)“整體”概念，而極值是個(gè)“局部”概念． 8．函數(shù)、導(dǎo)數(shù)解答題中貫穿始終的是數(shù)學(xué)思想方法，在含有參數(shù)的試題中，分類與整合思想是必要的，由于是函數(shù)問題，所以函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想也是必要的，把不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題、把方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題等，轉(zhuǎn)化與化歸思想也起著同樣的作用，解決函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的解答題要充分注意數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用． 9．導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用通常圍繞四個(gè)點(diǎn)進(jìn)行命題．第一個(gè)點(diǎn)是圍繞導(dǎo)數(shù)的幾何意義展開，設(shè)計(jì)求曲線的切線方程，根據(jù)切線方程求參數(shù)值等問題，這類試題在考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的同時(shí)也考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、函數(shù)等知識(shí)，試題的難度不大；第二個(gè)點(diǎn)是圍繞利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)展開，設(shè)計(jì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值，已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)或者參數(shù)范圍等問題，在考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的同時(shí)考查分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法；第三個(gè)點(diǎn)是圍繞導(dǎo)數(shù)研究不等式、方程展開，涉及不等式的證明、不等式的恒成立、討論方程根等問題，主要考查通過轉(zhuǎn)化使用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)并把函數(shù)性質(zhì)用來分析不等式和方程等問題的能力，該點(diǎn)和第二個(gè)點(diǎn)一般是解答題中的兩個(gè)設(shè)問，考查的核心是導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法和函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用；第四個(gè)點(diǎn)是圍數(shù)性質(zhì)并把函數(shù)性質(zhì)用來分析不等式和方程等問題的能力，該點(diǎn)和第二個(gè)點(diǎn)一般是解答題中的兩個(gè)設(shè)問，考查的核心是導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法和函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用． 10．函數(shù)的單調(diào)性問題與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 （1）函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若，則為增函數(shù)；若，則為減函數(shù)． （2）用導(dǎo)數(shù)函數(shù)求單調(diào)區(qū)間方法 求單調(diào)區(qū)間問題，先求函數(shù)的定義域，在求導(dǎo)函數(shù)，解導(dǎo)數(shù)大于0的不等式，得到區(qū)間為增區(qū)間，解導(dǎo)數(shù)小于0得到的區(qū)間為減區(qū)間，注意單調(diào)區(qū)間一定要寫出區(qū)間形式，不用描述法集合或不等式表示，且增（減）區(qū)間有多個(gè)，一定要分開寫，用逗號(hào)分開，不能寫成并集形式，要說明增（減）區(qū)間是誰，若題中含參數(shù)注意分類討論； (3) 已知在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)問題 先求導(dǎo)函數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上大于（增函數(shù)）（小于（減函數(shù)））0恒成立問題，通過函數(shù)方法或參變分離求出參數(shù)范圍，注意要驗(yàn)證參數(shù)取等號(hào)時(shí)，函數(shù)是否滿足題中條件，若滿足把取等號(hào)的情況加上，否則不加． （4）注意區(qū)分函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是增（減）函數(shù)與函數(shù)的增（減）區(qū)間是某各區(qū)間的區(qū)別，函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是增（減）函數(shù)中的區(qū)間可以是該函數(shù)增(減)區(qū)間的子集． 11．函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) （1）函數(shù)極值的概念 設(shè)函數(shù)在附近有定義，若對(duì)附近的所有點(diǎn)，都有，則稱是函數(shù) 的一個(gè)極大值，記作=； 設(shè)函數(shù)在附近有定義，若對(duì)附近的所有點(diǎn)，都有，則稱是函數(shù) 的一個(gè)極小值，記作=． 注意：極值是研究函數(shù)在某一點(diǎn)附近的性質(zhì)，使局部性質(zhì);極值可有多個(gè)值，且極大值不定大于極小值;極值點(diǎn)不能在函數(shù)端點(diǎn)處?。? （2）函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 當(dāng)函數(shù)在處連續(xù)時(shí)，若在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極大值；若在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極小值． 注意： ①在導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，如函數(shù)，導(dǎo)數(shù)為，在處導(dǎo)數(shù)為0，但不是極值點(diǎn)； ②極值點(diǎn)導(dǎo)數(shù)不定為0，如函數(shù)在的左側(cè)是減函數(shù)，右側(cè)是增函數(shù)，在處取極小值，但在處的左導(dǎo)數(shù)=-1，有導(dǎo)數(shù)=1，在處的導(dǎo)數(shù)不存在． （3）函數(shù)的極值問題 ①求函數(shù)的極值，先求導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)為0，求出導(dǎo)函數(shù)為0點(diǎn)，方程的根和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，再用導(dǎo)數(shù)判定這些點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)的單調(diào)性，若左增由減，則在這一點(diǎn)取值極大值，若左減右增，則在這一點(diǎn)取極小值，要說明在哪一點(diǎn)去極大（小）值； ②已知極值求參數(shù)，先求導(dǎo)，則利用可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0，列出關(guān)于參數(shù)方程，求出參數(shù)，注意可導(dǎo)函數(shù)在某一點(diǎn)去極值是導(dǎo)函數(shù)在這一點(diǎn)為0的必要不充分條件，故需將參數(shù)代入檢驗(yàn)在給點(diǎn)的是否去極值； ③已知三次多項(xiàng)式函數(shù)有極值求參數(shù)范圍問題，求導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的一元二次方程有解，判別式大于0，求出參數(shù)的范圍． 12．最值問題 （1）最值的概念 對(duì)函數(shù)有函數(shù)值使對(duì)定義域內(nèi)任意，都有（）則稱是函數(shù)的最大（?。┲担? 注意：①若函數(shù)存在最大（?。┲?，則值唯一；最大值可以在端點(diǎn)處??；若函數(shù)的最大值、最小值都存在，則最大值一定大于最小值． ②最大值不一定是極大值，若函數(shù)是單峰函數(shù)，則極大（?。┲稻褪亲畲螅ㄐ。┲担? （2）函數(shù)最問題 ①對(duì)求函數(shù)在某一閉區(qū)間上，先用導(dǎo)數(shù)求出極值點(diǎn)的值和區(qū)間端點(diǎn)的值，最大者為最大值，最小者為最小值，對(duì)求函數(shù)定義域上最值問題或值域，先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，從而弄清函數(shù)的圖像，結(jié)合函數(shù)圖像求出極值； ②對(duì)已知最值或不等式恒成立求參數(shù)范圍問題，通過參變分離轉(zhuǎn)化為不等式≤（≥）（ 是自變量，是參數(shù)）恒成立問題，≥（≤），轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，注意函數(shù)最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系． 1．【2018天津河西區(qū)三?！恳阎瘮?shù)． （1）若曲線與直線相切，求實(shí)數(shù)的值； （2）若不等式在定義域內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【答案】（1）1；（2）． 可得實(shí)數(shù)的取值范圍． 詳解：（1）解：，設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由題意得， 解得，，所以實(shí)數(shù)的值為． （2）解：由題意，在定義域內(nèi)恒成立，得在定義域內(nèi)恒成立，令，則， 再令，則， 【名師點(diǎn)睛】應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切點(diǎn)處切線的斜率，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1) 已知切點(diǎn)求斜率，即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；(2) 己知斜率求切點(diǎn)即解方程；(3) 巳知切線過某點(diǎn)(不是切點(diǎn)) 求切點(diǎn)，設(shè)出切點(diǎn)利用求解． 2．【2018天津部分區(qū)二?！吭O(shè)函數(shù)． （1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （2）若函數(shù)在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍； （3）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的正整數(shù)在區(qū)間上始終存在個(gè)整數(shù)使得成立，試問：正整數(shù)是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，說明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（1），f′（1）的值，求出切線方程即可； （2）得到=，令p（x）=，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可； （3）求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）的最值，從而求出m的范圍即可． 詳解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，所? （3）由題意，，因?yàn)?，所? 所以在上單調(diào)遞增，∴， 由題意，恒成立． 令，且在上單調(diào)遞增，， 因此，而是正整數(shù)，故，所以時(shí)，存在，時(shí)，對(duì)所有滿足題意，∴． 【名師點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，本專題在高考中的命題方向及命題角度 從高考來看，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 3．【2018天津河?xùn)|區(qū)二模】已知函數(shù) （1）若，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程； （2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （3）若，任取存在實(shí)數(shù)使恒成立，求的取值范圍． 【答案】（1）（2）見解析（3） 【解析】分析：第一問首先將代入函數(shù)解析式，之后應(yīng)用求導(dǎo)公式求得其導(dǎo)數(shù)，將代入，求得其函數(shù)值和導(dǎo)函數(shù)值，之后應(yīng)用點(diǎn)斜式將切線方程寫出，在化為一般式即可；第二問對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)導(dǎo)數(shù)等于零的根的大小進(jìn)行比較，分類討論求得其單調(diào)區(qū)間；第三問從函數(shù)解析式可以發(fā)現(xiàn)，為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，之后將問題轉(zhuǎn)化為最值來處理即可求得結(jié)果． 當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù) 當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù) （3） 時(shí)，，，，由（2）可知在內(nèi)有最小值，要使恒成立，大于等于最大值即 的取值范圍是． 【名師點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)的問題，該題涉及到的知識(shí)點(diǎn)有函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)處的切線的方程的問題，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得其斜率，之后應(yīng)用點(diǎn)斜式完成任務(wù)，函數(shù)的單調(diào)性，即為求其導(dǎo)數(shù)，大于零時(shí)單調(diào)增，小于零時(shí)單調(diào)減，需要分類討論，關(guān)于恒成立問題需要將其向最值轉(zhuǎn)化． 4．【2018天津河北區(qū)二?！恳阎瘮?shù)，其中a >2． （I）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性； （II）若對(duì)于任意的，恒有，求a的取值范圍． 【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）（2，5] 【解析】分析：（Ⅰ）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù)后由可得增區(qū)間，由可得減區(qū)間．（Ⅱ）原不等式可化為令，則得在上單調(diào)遞增，故在上恒成立，解不等式可得所求范圍． 令，則函數(shù)g(x)在x∈(0，+∞)上為增函數(shù)． ∴在上恒成立， 而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立． ∴，∵ >2，∴，解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是． 【名師點(diǎn)睛】（1）注意函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能并在一起，若相同的單調(diào)區(qū)間有多個(gè)，中間應(yīng)用“和”或“，”． （2）函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)遞增（減）的問題，可轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上大于等于零（或小于等于零）處理，解題時(shí)注意不要忘了等號(hào)． 5．【2018天津十二校模擬】已知函數(shù)，的最大值為． （Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性； （Ⅲ）當(dāng)時(shí)，令，是否存在區(qū)間．使得函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)槿舸嬖冢髮?shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，說明理由． 【答案】(1) ;(2) 時(shí)，在單調(diào)增；時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；時(shí)，同理在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（3）不存在． ，問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)是否存在兩個(gè)不相等的實(shí)根，進(jìn)而可得結(jié)果． 詳解：(1) 由題意得， 令，解得， 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減． 所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，也是最大值， 所以，解得． （2）的定義域?yàn)椋? 所以，令，則對(duì)恒成立，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增， 所以恒成立， 所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增． 假設(shè)存在區(qū)間，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域是， 則， 問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)是否存在兩個(gè)不相等的實(shí)根， 即方程在區(qū)間內(nèi)是否存在兩個(gè)不相等的實(shí)根， 綜上所述，不存在區(qū)間，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域是． 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值值，屬于難題．求函數(shù)極值、最值的步驟：(1) 確定函數(shù)的定義域；(2) 求導(dǎo)數(shù) ；(3) 解方程 求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(4) 列表檢查 在 的根 左右兩側(cè)值的符號(hào)，如果左正右負(fù)（左增右減），那么 在 處取極大值，如果左負(fù)右正（左減右增），那么 在 處取極小值．（5）如果只有一個(gè)極值點(diǎn)，則在該處即是極值也是最值；（6）如果求閉區(qū)間上的最值還需要比較端點(diǎn)值的函數(shù)值與極值的大小． 6．【2018天津?yàn)I海新區(qū)七模擬】已知函數(shù)（其中，）． （1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程; （2）若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍; （3）求證:對(duì)于任意大于1的正整數(shù)，都有． 【答案】（1）；（2）；（3）見解析 【解析】試題分析：（1），，，可求得切線方程．（2）即在區(qū)間上恒成立．（3）由（1）得 在上恒成立，即．令，得，，不等式同向相加可得． 試題解析：（1）， ． ，． （2）， 函數(shù)在上為增函數(shù)，對(duì)任意恒成立． 對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立． 時(shí)，， ，即所求正實(shí)數(shù)的取值范圍是． （3）當(dāng)時(shí)，，， 所以，即， 所以，即對(duì)于任意大于1的正整數(shù)，都有． 【名師點(diǎn)睛】(1)若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增，則≥0在區(qū)間(a，b)上恒成立；要檢驗(yàn)=0．(2)若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減，則≤0在區(qū)間(a，b)上恒成立；要檢驗(yàn)=0． 離散型不等式證明關(guān)鍵要找到恒成立不等函數(shù)，再x用離散點(diǎn)列代換，利用不等式同向相加可證，恒成立不等函數(shù)一般需要在題中尋找． 7．【2018天津模擬】已知函數(shù)． （1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）若不等式對(duì)任意的正實(shí)數(shù)都成立，求實(shí)數(shù)的最大整數(shù)； （3）當(dāng)時(shí)，若存在實(shí)數(shù)且，使得，求證： ． 【答案】（1）單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；（2）；（3）證明見解析． 【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，，通過求導(dǎo)得出函數(shù)的單調(diào)性；（2）由可得對(duì)任意的正實(shí)數(shù)都成立，等價(jià)于對(duì)任意的正實(shí)數(shù)都成立，設(shè)，求出，即可求出實(shí)數(shù)的最大整數(shù)；（3）由題意，（ ），得出在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，，則介于之間，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性列出不等式組，即可求證． ∴函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)． 且，綜上，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為． （2）由可得對(duì)任意的正實(shí)數(shù)都成立，即對(duì)任意的正實(shí)數(shù)都成立． 記，則，可得， 令 ∴在上為增函數(shù)，即在上為增函數(shù) 又∵， ∴存在唯一零點(diǎn)，記為， 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)．∴的最小值為． ∵，∴，可得． 又∵，∴實(shí)數(shù)的最大整數(shù)為2． (3)由題意，（ ），令，由題意可得，， 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 又∵在上單調(diào)遞減，且，∴，∴， 同理，則，解得，∴． 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，最值，考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解不等式恒成問題．要通過求解不等式恒成立問題來求得參數(shù)的取值范圍，可將不等式變形成一為零的形式，然后將另一邊構(gòu)造為函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求得這個(gè)函數(shù)的最值，根據(jù)最值的情況來求得參數(shù)的取值范圍． 8．【2018天津十二校模擬】已知函數(shù)． （1）討論函數(shù)的單調(diào)性 ； （2）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （3）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求 的最大值． 【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上遞減；當(dāng) 時(shí)，在 上內(nèi)單調(diào)遞增，在 內(nèi)單調(diào)遞減；（2）；（3）． 【解析】試題分析：（1）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2），由，當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，則有 ，從而，再證明當(dāng)時(shí)，不符合題意，從而可得實(shí)數(shù)的取值范圍為；（3）求的最大值可轉(zhuǎn)化為，的最大值，利用導(dǎo)數(shù)可得在單調(diào)遞增，當(dāng) （2）令，由 解法一： 當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)單調(diào)遞減， 則有 ，從而， 當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)，有，則在上內(nèi)單調(diào)遞增，此時(shí) ，與恒成立矛盾，因此不符合題意， 綜上實(shí)數(shù)的取值范圍為． 解法二：當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，則有 ，符合題意．當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)，有，若，有，則在上內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減．又， 因此，即． 綜上實(shí)數(shù)的取值范圍為． （3），則， 由已知，可得，即方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， 則，解得，其中， ，由，則，故 所以在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為． 9．【2108天津部分區(qū)期末考】已知函數(shù)，． （1）討論的單調(diào)性； （2）當(dāng)時(shí)，令，其導(dǎo)函數(shù)為，設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，判斷是否為的零點(diǎn)？并說明理由． 【答案】（1）見解析；（2）見解析 【解析】試題分析：（Ⅰ）先求導(dǎo)，再分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求出， （Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）=x2﹣2lnx﹣x，x1，x2是函數(shù)g（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)0＜x1＜x2，可得x12﹣2lnx1﹣x1=0，x22﹣2lnx2﹣x2=0，兩式相減化簡(jiǎn)可得x1+x2﹣1=，再對(duì)g（x）求導(dǎo)，判斷的符號(hào)即可證明 試題解析：（1）依題意知函數(shù)的定義域?yàn)?，且? ①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增． ②當(dāng)時(shí)，由得，則當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)． 所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． （2）不是導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)．證明如下：由（Ⅰ）知函數(shù)． ∵，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)，∴，兩式相減得： 又，∴，∴在上是増函數(shù)， 則，即當(dāng)時(shí)，， 從而， 又所以， 故，所以不是導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)． 10．【2018天津河西期中考試】已知函數(shù)． （）若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值． （）設(shè)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象恒不在直線的上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【答案】（）；（）． 【解析】試題分析： （1）由解得，注意要檢驗(yàn)此時(shí)2是極值點(diǎn)； （2）題意說明在區(qū)間上的最大值，因此只要求出導(dǎo)數(shù)，確定在區(qū)間上的單調(diào)性及最大值，解相應(yīng)的不等式可得所求范圍． 當(dāng)時(shí)，，∴是的極值．∴． （）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象恒不在直線上方，等價(jià)于，恒成立，即，恒成立，由（）知，， 令，得，，當(dāng)時(shí)，，∴在單調(diào)減， ，與矛盾，舍去． 當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴在或處取到，，， ∴只要，計(jì)算得出． 當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)增，，符合題意， ∴實(shí)數(shù)的取值范圍是． 【名師點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值是中學(xué)學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的主要內(nèi)容，解題時(shí)要注意導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系，是為可導(dǎo)函數(shù)的極值的必要條件，還必要滿足在兩側(cè)的符號(hào)是異號(hào)，因此在由極值點(diǎn)求參數(shù)值時(shí)，必須檢驗(yàn)，否則可能出錯(cuò)． 11．【2018天津?yàn)I海新區(qū)模擬】已知函數(shù) （1）求函數(shù)f(x)是單調(diào)區(qū)間； （2）如果關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值集合； （3）是否存在正數(shù)k，使得關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？如果存在，求k滿足的條件；如果不存在，說明理由． 【答案】(1) 是函數(shù)的增區(qū)間；（－1，0）和（0，3）是函數(shù)的減區(qū)間; (2) 實(shí)數(shù)m的取值范圍是;(3) 滿足條件的正數(shù)k不存在． 由 ，由 因此 是函數(shù)的增區(qū)間； （－1，0）和（0，3）是函數(shù)的減區(qū)間 （2）因?yàn)? 所以實(shí)數(shù)m的取值范圍就是函數(shù)的值域 對(duì) 令 ∴當(dāng)x=2時(shí)取得最大值，且 又當(dāng)x無限趨近于0時(shí)，無限趨近于無限趨近于0， 進(jìn)而有無限趨近于－∞．因此函數(shù)的值域是 即實(shí)數(shù)m的取值范圍是 （3）結(jié)論：這樣的正數(shù)k不存在． ∴= 再由k>0，可得 由于 不妨設(shè) ，由①和②可得 利用比例性質(zhì)得 ∴，這與（*）式矛盾．因此滿足條件的正數(shù)k不存在． 【名師點(diǎn)睛】涉及函數(shù)的零點(diǎn)問題、方程解的個(gè)數(shù)問題、函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，一般先通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢(shì)等，再借助函數(shù)的大致圖象判斷零點(diǎn)、方程根、交點(diǎn)的情況，歸根到底還是研究函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值，然后通過數(shù)形結(jié)合的思想找到解題的思路． 12．【2018天津一中月考五】已知函數(shù)，． （1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值； （2）若對(duì)于任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （3）若，且，證明：． 【答案】(1)答案見解析；(2)；(3)證明見解析． 【解析】試題分析：（1）由題意x>0，由此根據(jù)k≤0，k>0利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)分類討論，能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值． （2）問題轉(zhuǎn)化為，對(duì)于x∈[e，e2]恒成立，令，則，令，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)k的取值范圍． （3）設(shè)，則，要證，只要證，即證，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明． 試題解析： （1）， ①時(shí)，因?yàn)?，所以? 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，無單調(diào)遞減區(qū)間，無極值； 即對(duì)于恒成立， 令，則， 令，則， 所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，故， 所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)． 要使對(duì)于恒成立，只要， 所以，即實(shí)數(shù)k的取值范圍為． （3）證法1 因?yàn)?，由?）知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且． 不妨設(shè)，則， 要證，只要證，即證． 因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以， 又，即證， 構(gòu)造函數(shù)， 即，． 證法2 要證成立，只要證：． 因?yàn)椋?，所以? 即，， 即， ，同理，從而， 要證，只要證，令不妨設(shè)，則， 即證，即證，即證對(duì)恒成立， 設(shè)，， 所以在單調(diào)遞增，，得證，所以． 13．【2018天津靜海一中模擬】函數(shù)，且在處的切線斜率為． (1)求的值，并討論在上的單調(diào)性； (2)設(shè)函數(shù) ，其中，若對(duì)任意的總存在，使得成立，求的取值范圍 （3）已知函數(shù)，試判斷在內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)． 【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析．（3）1個(gè)零點(diǎn) 時(shí)不合題意，則的取值范圍是m≥2． (3)由函數(shù)的解析式可得： ，構(gòu)造函數(shù)，則，據(jù)此討論可得存在，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，結(jié)合端點(diǎn)函數(shù)在可得在內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1個(gè)． g′(x)＝ (x≥0，m>0)， ①當(dāng)m≥2時(shí)，≥0，∴g′(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，即g(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，又g(0)＝1，∴g(x)≥1在x∈[0，＋∞)上恒成立，故m≥2時(shí)成立． ②當(dāng)0下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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