2019版高考數(shù)學 2.6 冪函數(shù)與二次函數(shù)課件.ppt

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第六節(jié)冪函數(shù)與二次函數(shù) 知識梳理 1 必會知識教材回扣填一填 1 冪函數(shù) 定義 一般地 函數(shù) 叫做冪函數(shù) 其中 是自變量 為常數(shù) y x x 冪函數(shù)的圖象比較 2 二次函數(shù) 解析式 一般式 f x 頂點式 f x a x h 2 k a 0 頂點坐標為 兩根式 f x a x x1 x x2 a 0 ax2 bx c a 0 h k 圖象與性質(zhì) b 0 2 必備結(jié)論教材提煉記一記 1 f x ax2 bx c a 0 的圖象與x軸交點的橫坐標是方程 的實根 2 若x1 x2為f x 0的實根 則f x 在x軸上截得的線段長應(yīng)為 x1 x2 ax2 bx c 0 3 當 時 恒有f x 0 當 時 恒有f x 0 4 冪函數(shù)圖象的性質(zhì) 冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi) 一定不會出現(xiàn)在第四象限 至于是否出現(xiàn)在第二 三象限內(nèi) 要看函數(shù)的奇偶性 冪函數(shù)的圖象最多只能同時出現(xiàn)在兩個象限內(nèi) 如果冪函數(shù)圖象與坐標軸相交 則交點一定是原點 3 必用技法核心總結(jié)看一看 1 常用方法 配方法 待定系數(shù)法 2 數(shù)學思想 數(shù)形結(jié)合 分類討論 3 記憶口訣 冪函數(shù)在第一象限的圖象 正拋負雙 大豎小橫 說明 0且 1時圖象是拋物線型 1時圖象是豎直拋物線型 0 1時圖象是橫臥拋物線型 小題快練 1 思考辨析靜心思考判一判 1 函數(shù)y 是冪函數(shù) 2 如果冪函數(shù)的圖象與坐標軸相交 則交點一定是原點 3 當n 0時 冪函數(shù)y xn是定義域上的減函數(shù) 4 二次函數(shù)y ax2 bx c x m n 的最值一定是 解析 1 錯誤 不符合冪函數(shù)的定義 2 正確 因若相交 則x 0得y 0 若y 0 則得x 0 3 錯誤 冪函數(shù)y x 1在定義域上不單調(diào) 4 錯誤 當 m n 時 二次函數(shù)的最值 在區(qū)間端點達到 而非答案 1 2 3 4 2 教材改編鏈接教材練一練 1 必修1P82A組T10改編 已知點M 3 在冪函數(shù)f x 的圖象上 則f x 的表達式為 A f x x2B f x x 2C f x D f x 解析 選B 設(shè)冪函數(shù)的解析式為y x 則3 所以 2 即y x 2 2 必修1P79T1改編 設(shè) 1 1 3 則使函數(shù)y x 的定義域為R且為奇函數(shù)的所有 值為 A 1 3B 1 1C 1 3D 1 1 3 解析 選A 在函數(shù)y x 1 y x y y x3中 只有函數(shù)y x和y x3的定義域是R 且是奇函數(shù) 故 1 3 3 真題小試感悟考題試一試 1 2015 長沙模擬 函數(shù)y 的圖象是 解析 選B 因為函數(shù)y 是冪函數(shù) 冪函數(shù)在第一象限內(nèi)恒過點 1 1 排除A D 當x 1 0 1時 y x 在直線y x下方 排除C 2 2014 上海高考 若f x 則滿足f x 0 若滿足f x 0 即 所以因為y 是增函數(shù) 所以 1的解集為 0 1 即x的取值范圍是 0 1 答案 0 1 3 2015 蚌埠模擬 函數(shù)y 3 的值域是 解析 因為2 2x x2 x 1 2 1 1 所以 1 所以y 2 答案 2 考點1冪函數(shù)的圖象及性質(zhì) 典例1 1 2015 長春模擬 若則a b c的大小關(guān)系是 A a b cB c a bC b c aD b a c 2 已知函數(shù)f x m2 m 1 xm2 m 3是冪函數(shù) 且x 0 時 f x 是增函數(shù) 則m的值為 A 1B 2C 1或2D 3 解題提示 1 利用冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較 2 先利用冪函數(shù)的定義確定出m的取值范圍 再利用f x 在 0 上是增函數(shù)確定m的具體值 規(guī)范解答 1 選D 因為y 在第一象限內(nèi)是增函數(shù) 所以 因為y 是減函數(shù) 所以 所以b a c 2 選B 因為f x 是冪函數(shù) 所以m2 m 1 1 解得m 1或m 2 當m 1時 m2 m 3 3 當m 2時 m2 m 3 3 f x x 3或f x x3 而易知f x x3在 0 上為增函數(shù) f x x 3 在 0 上為減函數(shù) 所以m的值為2 易錯警示 解答本例題 2 有三點容易出錯 1 對冪函數(shù)的定義不明確 不能確定m2 m 1 1 2 對冪函數(shù)的圖象不理解 不清楚x 0 時函數(shù)遞增的含義 3 在求得m后沒有進行檢驗 互動探究 本例 2 已知變?yōu)?冪函數(shù)f x t3 t 1 t N 是偶函數(shù) 則實數(shù)t的值如何 解析 因為函數(shù)是冪函數(shù) 所以t3 t 1 1 解得t 0或1或 1 當t 0時 函數(shù)是奇函數(shù) 當t 1時 函數(shù)是偶函數(shù) 當t 1時 函數(shù)是偶函數(shù) 故實數(shù)t的值為 1或1 規(guī)律方法 1 利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較冪值大小的技巧在比較冪值的大小時 必須結(jié)合冪值的特點 轉(zhuǎn)化為同指數(shù)冪 再選擇適當?shù)暮瘮?shù) 借助其單調(diào)性進行比較 2 冪函數(shù)的指數(shù)與圖象特征的關(guān)系當 0 1時 冪函數(shù)y x 在第一象限的圖象特征 變式訓練 1 2015 南昌模擬 冪函數(shù)y f x 的圖象過點 4 2 則冪函數(shù)y f x 的圖象是 解析 選C 設(shè)冪函數(shù)的解析式為y x 因為冪函數(shù)y f x 的圖象過點 4 2 所以2 4 解得 所以y 其定義域為 0 且是增函數(shù) 當0 x 1時 其圖象在直線y x的上方 對照選項 故選C 2 已知f x 若0 a b 1 則下列各式正確的是 解析 選C 因為0 a b 1 所以0 a b 1 又函數(shù)f x 為增函數(shù) 所以f a f b 加固訓練 1 2015 珠海模擬 已知冪函數(shù)y f x 的圖象過點 則log4f 2 的值為 A B C 2D 2 解析 選A 設(shè)f x x 由圖象過點 得 2 冪函數(shù)y x 1及直線y x y 1 x 1將平面直角坐標系的第一象限分成八個 卦限 如圖所示 那么冪函數(shù)y 的圖象經(jīng)過的 卦限 是 A B C D 解析 選D 由0 x x 1時 y x知 y 的圖象經(jīng)過 卦限 故選D 3 當0g x f x 答案 h x g x f x 考點2求二次函數(shù)的解析式 典例2 1 已知二次函數(shù)f x 滿足f 2 1 f 1 1 且f x 的最大值是8 則此二次函數(shù)的解析式為 2 2015 長沙模擬 已知二次函數(shù)f x 的二次項系數(shù)為a 且不等式f x 2x的解集為 1 3 若方程f x 6a 0有兩個相等的根 則f x 的單調(diào)遞增區(qū)間為 解題提示 1 根據(jù)條件 利用二次函數(shù)一般式 頂點式或零點式求解 2 先求出函數(shù)解析式 然后根據(jù)二次函數(shù)的圖象確定其單調(diào)遞增區(qū)間 規(guī)范解答 1 設(shè)f x ax2 bx c a 0 由題意得解得所以所求二次函數(shù)為f x 4x2 4x 7 一題多解 解答本題 你知道幾種解法 解答本題 還有以下解法 方法一 利用頂點式 設(shè)f x a x m 2 n 因為f 2 f 1 所以拋物線的對稱軸為x 所以m 又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8 所以n 8 所以y f x 因為f 2 1 所以 8 1 解得a 4 所以f x 8 4x2 4x 7 方法二 利用零點式 由已知f x 1 0兩根為x1 2 x2 1 故可設(shè)f x 1 a x 2 x 1 即f x ax2 ax 2a 1 又函數(shù)有最大值ymax 8 即 8 解得a 4 所以所求函數(shù)的解析式為f x 4x2 4x 7 答案 f x 4x2 4x 7 2 因為f x 2x 0的解集為 1 3 設(shè)f x 2x a x 1 x 3 且a 0 所以f x a x 1 x 3 2x ax2 2 4a x 3a 由方程f x 6a 0得ax2 2 4a x 9a 0 因為方程 有兩個相等的根 所以 2 4a 2 4a 9a 0 解得a 1或a 由于a 0 舍去a 1 將a 代入 式得f x 所以函數(shù)f x 的單調(diào)增區(qū)間是 3 答案 3 規(guī)律方法 求二次函數(shù)解析式的方法 變式訓練 1 2015 合肥模擬 已知二次函數(shù)f x ax2 bx 1 a b R x R 若函數(shù)f x 的最小值為f 1 0 則f x 解析 由題意知解得所以f x x2 2x 1 答案 x2 2x 1 2 2015 武漢模擬 若函數(shù)f x x a bx 2a 常數(shù)a b R 是偶函數(shù) 且它的值域為 4 則該函數(shù)的解析式f x 解析 f x bx2 ab 2a x 2a2 由已知條件ab 2a 0 又f x 的值域為 4 則因此f x 2x2 4 答案 2x2 4 加固訓練 1 若二次函數(shù)f x ax2 bx c a 0 滿足f x 1 f x 2x 且f 0 1 則f x 的解析式為 解析 由f 0 1 得c 1 所以f x ax2 bx 1 又f x 1 f x 2x 所以a x 1 2 b x 1 1 ax2 bx 1 2x 即2ax a b 2x 所以所以因此 f x x2 x 1 答案 f x x2 x 1 2 2015 綿陽模擬 如圖直角梯形OABC位于平面直角坐標系中 其中OC 1 BC 1 OA 2 動點P從C出發(fā)沿折線段CBA運動到A 包括端點 設(shè)點P的橫坐標為x 函數(shù)f x 1 求函數(shù)y f x 的解析式 2 作出函數(shù)y f x 的草圖 并求f x 的單調(diào)遞增區(qū)間 解析 1 由已知C 0 1 A 2 0 B 1 1 當點P位于線段BC上 即0 x 1時 點P x 1 于是 x 1 2 x 1 y x 2 x 1 x2 2x 1 當點P位于BA上 即1 x 2時 點P x 2 x 于是 x 2 x 2 x x 2 y x 2 x 2 x x 2 2x2 6x 4 于是函數(shù)f x 2 f x 的圖象如圖所示 由圖象知 f x 的單調(diào)增區(qū)間為 考點3二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)知 考情高考對二次函數(shù)圖象與性質(zhì)進行單獨考查的頻率較低 常與一元二次方程 一元二次不等式等知識交匯命題是高考的熱點 以選擇題 填空題的形式出現(xiàn) 考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用 明 角度命題角度1 二次函數(shù)的最值問題 典例3 2015 長沙模擬 已知函數(shù)y x2 ax 在區(qū)間 0 1 上的最大值是2 實數(shù)a的值為 解題提示 先求出二次函數(shù)的對稱軸 然后討論對稱軸與 0 1 的關(guān)系 從而確定a的值 規(guī)范解答 y x a2 a 2 其圖象的對稱軸為x 當0 1 即0 a 2時 ymax a2 a 2 由 a2 a 2 2 得a 3或a 2 與0 a 2矛盾 舍去 當 0 即a 0時 y在 0 1 上單調(diào)遞減 有ymax f 0 由f 0 2得 2解得a 6 當 1 即a 2時 y在 0 1 上單調(diào)遞增 有ymax f 1 由f 1 2得 1 a 2 解得a 綜上 得a 6或a 答案 6或 命題角度2 求解一元二次不等式恒成立問題 典例4 2015 石家莊模擬 設(shè)函數(shù)f x ax2 2x 2 對于滿足10 則實數(shù)a的取值范圍為 解題提示 思路一 分a 0 a 0 a0求解 思路二 分離參數(shù)a得a 然后求g x 的最大值即可 規(guī)范解答 方法一 當a 0時 f x 由f x 0 x 1 4 得 所以a 1或 a 1或 即a 當a 0時 解得a 當a 0時 f x 2x 2 f 1 0 f 4 6 所以不合題意 綜上可得 實數(shù)a的取值范圍是a 答案 方法二 由f x 0 即ax2 2x 2 0 x 1 4 得a 在 1 4 上恒成立 令g x 所以g x max g 2 所以要使f x 0在 1 4 上恒成立 只要a 即可 答案 悟 技法1 二次函數(shù)最值問題的類型及處理思路 1 類型 對稱軸 區(qū)間都是給定的 對稱軸動 區(qū)間固定 對稱軸定 區(qū)間變動 2 解決這類問題的思路 抓住 三點一軸 數(shù)形結(jié)合 三點是指區(qū)間兩個端點和中點 一軸指的是對稱軸 結(jié)合配方法 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想即可完成 2 由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關(guān)鍵 1 一般有兩個解題思路 一是分離參數(shù) 二是不分離參數(shù) 2 兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值 至于用哪種方法 關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離 這兩個思路的依據(jù)是 a f x a f x max a f x a f x min 通 一類1 2015 貴陽模擬 函數(shù)y ax2 bx與y ab 0 a b 在同一直角坐標系中的圖象可能是 解析 選D 對A y ax2 bx滿足得 b a 即 1 此時y 在 0 上單調(diào)遞減 不符合 同理B C也不符合 對D y ax2 bx滿足得 b a 即 1 此時y 在 0 上單調(diào)遞減 故選D 2 2015 中山模擬 如圖是二次函數(shù)y ax2 bx c圖象的一部分 圖象過點A 3 0 對稱軸為x 1 給出下面四個結(jié)論 b2 4ac 2a b 1 a b c 0 5a b 其中正確的是 A B C D 解析 選B 因為圖象與x軸交于兩點 所以b2 4ac 0 即b2 4ac 正確 對稱軸為x 1 即 1 2a b 0 錯誤 結(jié)合圖象 當x 1時 y 0 即a b c 0 錯誤 由對稱軸為x 1知 b 2a 又函數(shù)圖象開口向下 所以a 0 所以5a 2a 即5a b 正確 3 2015 焦作模擬 已知函數(shù)y x2 2x 3在閉區(qū)間 0 m 上有最大值3 最小值2 則m的取值范圍為 解析 y x2 2x 3的對稱軸為x 1 當m 1時 y f x 在 0 m 上為減函數(shù) 所以ymax f 0 3 ymin f m m2 2m 3 2 所以m 1 無解 當1 m 2時 ymin f 1 12 2 1 3 2 ymax f 0 3 當m 2時 ymax f m m2 2m 3 3 不滿足題意 答案 1 2 4 2015 衡水模擬 已知函數(shù)f x x2 2x g x ax 2 a 0 對任意的x1 1 2 都存在x0 1 2 使得g x1 f x0 則實數(shù)a的取值范圍是 解析 當x0 1 2 時 由f x x2 2x得f x0 1 3 又對任意的x1 1 2 都存在x0 1 2 使得g x1 f x0 所以當x1 1 2 時 g x1 1 3 當a 0時 解得a 綜上所述 實數(shù)a的取值范圍是 0 答案 0 巧思妙解2數(shù)形結(jié)合思想在解決二次函數(shù)問題中的妙用 典例 2015 中山模擬 設(shè)函數(shù)f x g x x2 bx b R 若y f x 的圖象與y g x 的圖象有且僅有兩個不同的公共點A x1 y1 B x2 y2 則下列判斷正確的是 A 當a0B 當a0 y1 y20時 x1 x20時 x1 x2 0 y1 y2 0 常規(guī)解法 選B 設(shè)F x x3 bx2 1 則方程F x 0與f x g x 同解 故其有且僅有兩個不同零點x1 x2 由F x 0 得x 0或x 這樣 必須且只需F 0 0或 0 因為F 0 1 故必有 0由此得b 不妨設(shè)x10 由此知y1 y2 巧妙解法 選B 在同一坐標系內(nèi)畫出f x 及g x x2 bx的草圖如圖所示 其中點A x1 y1 關(guān)于原點的對稱點C也在函數(shù)y 的圖象上 坐標為 x1 y1 而點B的坐標 x2 y2 在圖象上也明顯的顯示出來 由圖象可知 x1 x2 0 y1 y2 0 方法指導(dǎo) 1 利用二次函數(shù)圖象可以較直觀形象地解決以下幾方面問題 二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值 借助二次函數(shù)求參數(shù)的范圍 與二次函數(shù)相關(guān)的圖象交點個數(shù)問題 2 二次函數(shù)問題利用數(shù)形結(jié)合的關(guān)鍵 準確作出二次函數(shù)的圖象 結(jié)合圖象求解 類題試解 2015 杭州模擬 已知函數(shù)f x x2 2 a 2 x a2 g x x2 2 a 2 x a2 8 設(shè)H1 x max f x g x H2 x min f x g x max p q 表示p q中的較大值 min p q 表示p q中的較小值 記H1 x 的最小值為A H2 x 的最大值為B 則A B A 16B 16C a2 2a 16D a2 2a 16 常規(guī)解法 選B 由f x g x 得 x a 2 4 所以當x a 2和x a 2時 兩函數(shù)值相等 f x 圖象為開口向上的拋物線 g x 圖象為開口向下的拋物線 兩圖象在x a 2和x a 2處相交 則所以A H1 x min f a 2 4a 4 B H2 x max g a 2 4a 12 所以A B 16 巧妙解法 選B f x 頂點坐標為 a 2 4a 4 g x 頂點坐標 a 2 4a 12 并且f x 與g x 的頂點都在對方的圖象上 圖象如圖 由題意知 A B分別為兩個二次函數(shù)頂點的縱坐標 所以A B 4a 4 4a 12 16