2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形學(xué)案 新人教A版必修5.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形學(xué)案 新人教A版必修5 1．1.1 正弦定理 正弦定理 [提出問題] 如圖，在Rt△ABC中，A＝30，斜邊c＝2， 問題1：△ABC的其他邊和角為多少？ 提示：∠B＝60，∠C＝90，a＝1，b＝. 問題2：試計算，，的值，三者有何關(guān)系？ 提示：＝2，＝＝2，＝2，三者的值相等． 問題3：對于任意的直角三角形是否也有類似的結(jié)論？ 提示：是．如圖sin A＝， ∴＝c.sin B＝，∴＝c. ∵sin C＝1，∴＝＝. 問題4：在鈍角△ABC中，B＝C＝30，b＝，試求其他邊和角． 提示：如圖，△ACD為直角三角形，∠C＝30 AC＝，則AD＝，CD＝， BC＝3.AB＝，∠BAC＝120. 問題5：問題4中所得數(shù)字滿足問題3中的結(jié)論嗎？ 提示：滿足． 問題6：若是銳角三角形上述結(jié)論還成立嗎？ 提示：都成立． [導(dǎo)入新知] 1．正弦定理 在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等， 即＝＝. 2．解三角形 一般地，把三角形的三個角A、B、C和它們的對邊a、b、c叫做三角形的元素，已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形． [化解疑難] 對正弦定理的理解 (1)適用范圍：正弦定理對任意的三角形都成立． (2)結(jié)構(gòu)形式：分子為三角形的邊長，分母為相應(yīng)邊所對角的正弦的連等式． (3)揭示規(guī)律：正弦定理指出的是三角形中三條邊與對應(yīng)角的正弦之間的一個關(guān)系式，它描述了三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系． (4)主要功能：正弦定理的主要功能是實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化． 已知兩角及一邊解三角形 [例1] 在△ABC中，已知a＝8，B＝60，C＝75，求A，b，c. [解] A＝180－(B＋C)＝180－(60＋75)＝45. 由＝得， b＝＝＝4，由＝得， c＝＝＝＝4(＋1)． ∴A＝45，b＝4，c＝4(＋1)． [類題通法] 已知三角形任意兩角和一邊解三角形的基本思路 (1)由三角形的內(nèi)角和定理求出第三個角． (2)由正弦定理公式的變形，求另外的兩條邊． 注意：若已知角不是特殊角時，往往先求出其正弦值(這時應(yīng)注意角的拆并，即將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的和或差，如75＝45＋30)，再根據(jù)上述思路求解． [活學(xué)活用] 1．在△ABC中，已知c＝10，A＝45，C＝30，解這個三角形． 解：∵A＝45，C＝30，∴B＝180－(A＋C)＝105. 由＝得a＝＝＝10. 由＝得b＝＝＝20sin 75， ∵sin 75＝sin (30＋45)＝sin 30cos 45＋cos 30sin 45 ＝， ∴b＝20＝5＋5. 已知兩邊及一邊的對角解三角形 [例2] 在△ABC中，已知c＝，A＝45，a＝2，解這個三角形． [解] ∵＝，∴sin C＝＝＝， ∴C＝60或C＝120. 當(dāng)C＝60時，B＝75，b＝＝＝＋1； 當(dāng)C＝120時，B＝15，b＝＝＝－1. ∴b＝＋1，B＝75，C＝60或b＝－1，B＝15，C＝120. [類題通法] 已知三角形兩邊和其中一邊的對角解三角形時的方法 (1)首先由正弦定理求出另一邊對角的正弦值． (2)如果已知的角為大邊所對的角時，由三角形中大邊對大角，大角對大邊的法則能判斷另一邊所對的角為銳角，由正弦值可求銳角唯一． (3)如果已知的角為小邊所對的角時，則不能判斷另一邊所對的角為銳角，這時由正弦值可求兩個角，要分類討論． [活學(xué)活用] 2．在△ABC中，若c＝，C＝，a＝2，求A，B，b. 解：由＝，得sin A＝＝. ∴A＝或A＝π. 又∵c＞a，∴C＞A， ∴只能取A＝， ∴B＝π－－＝，b＝ ＝＝＋1. 判斷三角形的形狀 [例3] 在△ABC中，sin2 A＝sin2 B＋sin2 C，且 sin A＝2sin Bcos C．試判斷△ABC的形狀． [解] 由正弦定理，得sin A＝，sin B＝，sin C＝. ∵sin2 A＝sin2 B＋sin2 C， ∴2＝2＋2， 即a2＝b2＋c2，故A＝90. ∴C＝90－B，cos C＝sin B. ∴2sin Bcos C＝2sin2 B＝sin A＝1. ∴sin B＝.∴B＝45或B＝135(A＋B＝225＞180，故舍去)． ∴△ABC是等腰直角三角形． [類題通法] 1．判斷三角形的形狀，可以從考查三邊的關(guān)系入手，也可以從三個內(nèi)角的關(guān)系入手，從條件出發(fā)，利用正弦定理進(jìn)行代換、轉(zhuǎn)化，呈現(xiàn)出邊與邊的關(guān)系或求出角與角的關(guān)系或大小，從而作出準(zhǔn)確判斷． 2．判斷三角形的形狀，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別． [活學(xué)活用] 3．在△ABC中，若b＝acos C，試判斷該三角形的形狀． 解：∵b＝acos C，＝＝2R.(2R為△ABC外接圓直徑) ∴sin B＝sin Acos C. ∵B＝π－(A＋C)，∴sin (A＋C)＝sin Acos C. 即sin Acos C＋cos Asin C＝sin Acos C， ∴cos Asin C＝0， ∵A、C∈(0，π)，∴cos A＝0，∴A＝， ∴△ABC為直角三角形． [典例] 在△ABC中，已知a＝2，b＝2，A＝60，則 B＝________. [解析] 由正弦定理，得sin B＝b＝2＝.∵0＜B＜180，∴B＝30，或B＝150.∵b＜a，根據(jù)三角形中大邊對大角可知B＜A，∴B＝150不符合條件，應(yīng)舍去，∴B＝30. [答案] 30 [易錯防范] 1．由sin B＝得B＝30，或150，而忽視b＝2＜a＝2，從而易出錯． 2．在求出角的正弦值后，要根據(jù)“大邊對大角”和“內(nèi)角和定理”討論角的取舍． [成功破障] 在△ABC中，a，b，c分別是角A，B, C所對應(yīng)的邊，且b＝6，a＝2，A＝30，求ac的值. 解：由正弦定理＝得 sin B＝＝＝. 由條件b＝6，a＝2，b＞a知B＞A. ∴B＝60或120. (1)當(dāng)B＝60時，C＝180－A－B ＝180－30－60＝90. 在Rt△ABC中，C＝90，a＝2，b＝6，c＝4， ∴ac＝24＝24. (2)當(dāng)B＝120時，C＝180－A－B＝180－30－120＝30， ∴A＝C，則有a＝c＝2. ∴ac＝22＝12. [隨堂即時演練] 1．(xx廣東高考)在△ABC中，若∠A＝60，∠B＝45，BC＝3，則AC＝( ) A．4 B．2 C. D. 解析：選B 由正弦定理得：＝，即＝，所以AC＝＝2，故選B. 2．在△ABC中，a＝5，b＝3，C＝120，則sin A∶sin B的值是( ) A. B. C. D. 答案：A 3．在△ABC中，若(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝sin2 C，則△ABC是________三角形． 解析：由已知得sin2 A－sin2 B＝sin2 C，根據(jù)正弦定理知sin A＝，sin B＝，sin C＝， 所以2－2＝2， 即a2－b2＝c2，故b2＋c2＝a2.所以△ABC是直角三角形． 答案：直角 4．(xx北京高考)在△ABC中，若a＝3，b＝，∠A＝，則∠C的大小為________． 解析：由正弦定理可知sin B＝＝＝，所以∠B＝或(舍去)，所以∠C＝π－∠A－∠B＝π－－＝. 答案： 5．不解三角形，判斷下列三角形解的個數(shù)． (1)a＝5，b＝4，A＝120； (2)a＝7，b＝14，A＝150； (3)a＝9，b＝10，A＝60. 解：(1)sin B＝＝＜， 所以△ABC有一解． (2)sin B＝＝1，所以△ABC無解． (3)sin B＝＝＝，而＜＜1，所以當(dāng)B為銳角時，滿足sin B＝的B的取值范圍為60＜B＜90. 當(dāng)B為鈍角時，有90＜B＜120，也滿足A＋B＜180，所以△ABC有兩解． [課時達(dá)標(biāo)檢測] 一、選擇題 1．在△ABC中，下列式子與的值相等的是( ) A. B. C. D. 解析：選C 由正弦定理得＝，所以＝. 2．(xx瀏陽高二檢測)在△ABC中，若sin A>sin B，則A與B的大小關(guān)系為( ) A．A>B B．Asin B，∴2Rsin A>2Rsin B，即a>b，故A>B. 3．一個三角形的兩個角分別等于120和45，若45角所對的邊長是4，那么120角所對邊長是( ) A．4 B.12 C．4 D．12 解析：選D 若設(shè)120角所對的邊長為x，則由正弦定理可得：＝， 于是x＝＝＝12，故選D. 4．△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a，則＝( ) A．2 B.2 C. D. 解析：選D 由正弦定理，得sin2Asin B＋sin Bcos2A＝sin A， 即sin B(sin2A＋cos2A)＝sin A. 所以sin B＝sin A．∴＝＝. 5．以下關(guān)于正弦定理或其變形的敘述錯誤的是( ) A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C B．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，則a＝b C．在△ABC中，若sin A＞sin B，則A ＞B，若A＞B，則sin A＞sin B都成立 D．在△ABC中，＝ 解析：選B 由正弦定理易知A，C，D正確．對于B，由sin 2A＝sin 2B，可得A＝B，或2A＋2B＝π，即A＝B，或A＋B＝， ∴a＝b，或a2＋b2＝c2，故B錯誤. 二、填空題 6．在△ABC中，若a＝14，b＝7，B＝60，則C＝________. 解析：由正弦定理知＝，又a＝14，b＝7，B＝60， ∴sin A＝＝＝，∵a＜b，∴A＜B， ∴A＝45，∴C＝180－(B＋A)＝180－(60＋45)＝75. 答案：75 7．在△ABC中，B＝30，C＝120，則a∶b∶c＝________. 解析：A＝180－B－C＝30，由正弦定理得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C， 即a∶b∶c＝sin 30∶sin 30∶sin 120 ＝1∶1∶. 答案：1∶1∶ 8．在△ABC中，若A＝120，AB＝5，BC＝7，則sin B＝________. 解析：由正弦定理，得 sin C＝ ＝＝. 可知C為銳角，∴cos C＝＝. ∴sin B＝sin(180－120－C)＝sin(60－C) ＝sin 60cos C－cos 60sin C＝. 答案： 三、解答題 9．(xx安徽高考)在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊長，a＝，b＝，1＋2cos(B＋C)＝0，求邊BC上的高． 解：由1＋2cos(B＋C)＝0和B＋C＝π－A，得 1－2cos A＝0，所以cos A＝， sin A＝. 再由正弦定理，得sin B＝＝. 由b下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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