高考數(shù)學 10.1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理課件.ppt

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第十章計數(shù)原理 概率 隨機變量及其分布第一節(jié)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理 知識梳理 1 必會知識教材回扣填一填 1 分類加法計數(shù)原理 完成一件事有 在第1類方案中有m種不同的方法 在第2類方案中有n種不同的方法 完成這件事共有N 種方法 2 分步乘法計數(shù)原理 完成一件事需要 做第1步有m種不同的方法 做第2步有n種不同的方法 完成這件事共有N 種方法 兩類不同的方案 m n 兩個步驟 mn 2 必備結論教材提煉記一記分步用乘法 分類用加法 3 必用技法核心總結看一看 1 常用方法 直接法 間接法 2 數(shù)學思想 分類討論 數(shù)形結合 3 記憶口訣 排組分清 加乘分明 有序排列 無序組合 分類相加 分步相乘 小題快練 1 思考辨析靜心思考判一判 1 在分類加法計數(shù)原理中 兩類不同方案中的方法可以相同 2 在分類加法計數(shù)原理中 兩類不同方案中的方法都能直接完成這件事 3 在分步乘法計數(shù)原理中 各種方法中完成某個步驟的方法是各不相同的 4 在分步乘法計數(shù)原理中 事件是分兩步完成的 其中任何一個單獨的步驟都能完成這件事 解析 1 錯誤 在分類加法計數(shù)原理中 兩類不同的方案中 方法是不相同的 2 正確 在分類加法計數(shù)原理中 每類中的各種方法必須能完成這件事 3 錯誤 在分步乘法計數(shù)原理中 各種方法中完成某個步驟的方法可以相同 4 錯誤 如果單獨的步驟能完成這件事 這就不是某一步了 而是一類 答案 1 2 3 4 2 教材改編鏈接教材練一練 1 選修2 3P10T1改編 乘積 a b c d e f h i j k l m 展開后共有項 解析 由 a b c d e f h i j k l m 展開式各項都是從每個因式中選一個字母的乘積 由分步乘法計數(shù)原理可得 其展開式共有3 4 5 60項 答案 60 2 選修2 3P12T5改編 已知集合M 1 2 3 N 4 5 6 7 從M N這兩個集合中各選一個元素分別作為點的橫坐標 縱坐標 則這樣的坐標在直角坐標系中可表示第一 第二象限內不同的點的個數(shù)是 解析 分兩類 第一類 第一象限內的點 有2 2 4 個 第二類 第二象限內的點 有1 2 2 個 由分類加法計數(shù)原理可得 共有4 2 6個 答案 6 3 真題小試感悟考題試一試 1 2015 濱州模擬 甲 乙兩人從4門課程中選修2門 則甲 乙所選課程中恰有1門相同的選法有 A 6種B 12種C 24種D 30種 解析 選C 分步完成 首先甲 乙兩人從4門課程中同選1門 有4種方法 其次是甲從剩下的3門課程中任選1門 有3種方法 最后乙從剩下的2門課程中任選1門 有2種方法 于是 甲 乙所選課程中恰有1門相同的選法共有4 3 2 24 種 2 2015 成都模擬 某城市有3個演習點同時進行消防演習 現(xiàn)將4個消防隊分配到這3個演習點 若每個演習點至少安排1個消防隊 則不同的分配方案種數(shù)為 A 12B 36C 72D 108 解析 選B 先從4個消防隊中選出2個作為一個整體 有種選法 再將三個整體進行全排列 有種方法 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得不同的分配方案種數(shù)為 36 3 2015 長春模擬 直線Ax By 0 若從集合E 0 1 3 5 7 8 中每次取出兩個不同的數(shù)作為A B的值 則可表示條不同的直線 解析 若A或B中有一個為零時 有2條 若AB 0時 有5 4 20條 由分類加法計數(shù)原理可知 共有2 20 22條不同的直線 答案 22 考點1分類加法計數(shù)原理 典例1 1 滿足a b 1 0 1 2 且關于x的方程ax2 2x b 0有實數(shù)解的有序數(shù)對 a b 的個數(shù)為 A 14B 13C 12D 9 2 三邊長均為正整數(shù) 且最大邊長為11的三角形的個數(shù)是 解題提示 1 方程ax2 2x b 0可能是一次方程 也可能是二次方程 2 構成三角形的條件為兩邊之和大于第三邊 規(guī)范解答 1 選B 由于a b 1 0 1 2 當a 0時 有x 為實根 則b可取 1 0 1 2 有4種可能 當a 0時 方程有實根 所以 4 4ab 0 所以ab 1 當a 1時 滿足 式的b可取 1 0 1 2 有4種可能 當a 1時 b可取 1 0 1 有3種可能 當a 2時 b可取 1 0 有2種可能 所以由分類加法計數(shù)原理 有序數(shù)對 a b 共有4 4 3 2 13 個 2 另兩邊長用x y x y N 表示 且不妨設1 x y 11 要構成三角形 必須x y 12 當y取11時 x可取1 2 3 11 有11個三角形 當y取10時 x可取2 3 10 有9個三角形 當y取6時 x只能取6 只有1個三角形 所以所求三角形的個數(shù)為11 9 7 5 3 1 36 答案 36 易錯警示 解答本例題 1 有三點容易出錯 1 將方程ax2 2x b 0誤認為二次方程 沒有討論當a 0時的情況 2 容易漏掉a與b相等的情況 3 不能分清是分步還是分類 造成結論錯誤 互動探究 本題 2 條件不變 則構成鈍角三角形的個數(shù)是多少 解析 另兩邊長用x y x y N 表示 且不妨設1 x y 11 要構成三角形 必須x y 12 由余弦定理可知 x2 y2 112 0 滿足以上條件的x y有 當y 10時 x可取2 3 4 當y 9時 x可取3 4 5 6 當y 8時 x可取4 5 6 7 當y 7時 x可取5 6 7 當y 6時 x可取6 由分類加法計數(shù)原理可知 共有3 4 4 3 1 15個 規(guī)律方法 1 分類加法計數(shù)原理的實質分類加法計數(shù)原理針對的是 分類 問題 完成一件事要分為若干類 各類的方法相互獨立 每類中的各種方法也相對獨立 用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成這件事 2 使用分類加法計數(shù)原理遵循的原則有時分類的劃分標準有多個 但不論是以哪一個為標準 都應遵循 標準要明確 不重不漏 的原則 提醒 對于分類問題所含類型較多時也可以考慮使用間接法 變式訓練 在連接正八邊形的三個頂點而成的三角形中 與正八邊形有公共邊的三角形有個 解析 分兩類 有一條公共邊的三角形共有8 4 32 個 有兩條公共邊的三角形共有8個 故共有32 8 40 個 答案 40 加固訓練 1 某學生去書店 發(fā)現(xiàn)3本好書 決定至少買其中1本 則購買方式共有 A 3種B 6種C 7種D 9種 解析 選C 分3類 買1本書 買2本書和買3本書 各類的購買方式依次有3種 3種和1種 故購買方式共有3 3 1 7 種 2 若x y N 且x y 6 則有序數(shù)對 x y 共有個 解析 當x 1時 y可取的值為5 4 3 2 1 共5個 當x 2時 y可取的值為4 3 2 1 共4個 當x 3時 y可取的值為3 2 1 共3個 當x 4時 y可取的值為2 1 共2個 當x 5時 y可取的值為1 共1個 由分類加法計數(shù)原理 不同的數(shù)對 x y 共有5 4 3 2 1 15 個 答案 15 考點2分步乘法計數(shù)原理 典例2 1 教學大樓共有五層 每層均有兩個樓梯 由一層到五層的走法有 A 10種B 25種C 52種D 24種 2 用0 1 9十個數(shù)字 可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為 解題提示 1 從一層到五層可分步來完成 每一步有2種走法 2 可用間接法來完成此事 規(guī)范解答 1 選D 共分4步 一層到二層2種 二層到三層2種 三層到四層2種 四層到五層2種 一共有24種 2 能夠組成三位數(shù)的個數(shù)是9 10 10 900 能夠組成無重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)是9 9 8 648 故能夠組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)是900 648 252 答案 252 規(guī)律方法 1 分步乘法計數(shù)原理的實質分步乘法計數(shù)原理針對的是 分步 問題 完成一件事要分為若干步 各個步驟相互依存 完成其中的任何一步都不能單獨完成該件事 只有當各個步驟都完成后 才算完成這件事 2 使用分步乘法計數(shù)原理的關注點 1 明確題目中的 完成這件事 是什么 確定完成這件事需要幾個步驟 且每步都是獨立的 2 將完成這件事劃分成幾個步驟來完成 各步驟之間有一定的連續(xù)性 只有當所有步驟都完成了 整個事件才算完成 這是分步的基礎 也是關鍵 從計數(shù)上來看 各步的方法數(shù)的積就是完成事件的方法總數(shù) 變式訓練 1 2015 臨沂模擬 如圖所示的陰影部分由方格紙上3個小方格組成 我們稱這樣的圖案為L型 每次旋轉90 仍為L型圖案 那么在由4 5個小方格組成的方格紙上可以畫出不同位置的L型圖案的個數(shù)是 A 16B 32C 48D 64 解析 選C 每四個小方格 2 2型 中有L型圖案4個 共有2 2型小方格12個 所以共有L型圖案4 12 48 個 故選C 2 從6個人中選4個人分別到巴黎 倫敦 悉尼 莫斯科四個城市游覽 要求每個城市至少有一人游覽 每人只游覽一個城市 且這6個人中 甲 乙兩人不去巴黎游覽 則不同的選擇方案共有種 解析 分步完成此事 第一步選1人去巴黎有4種方法 第二步選1人去倫敦有5種方法 第三步選1人去悉尼有4種方法 第四步選1人去莫斯科有3種方法 由分步乘法計數(shù)原理可知 共有4 5 4 3 240 種 答案 240 加固訓練 1 設集合A 1 0 1 集合B 0 1 2 3 定義A B x y x A B y A B 則A B中元素的個數(shù)是 A 7B 10C 25D 52 解析 選B 由題意知本題是一個分步乘法計數(shù)原理 因為集合A 1 0 1 集合B 0 1 2 3 所以A B 0 1 A B 1 0 1 2 3 所以x有2種取法 y有5種取法 所以根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得2 5 10 2 如圖 要給地圖A B C D四個區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種 允許同一種顏色使用多次 但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色 不同的涂色方案有多少種 解析 按地圖A B C D四個區(qū)域依次分四步完成 第一步 m1 3種 第二步 m2 2種 第三步 m3 1種 第四步 m4 1種 所以根據(jù)分步乘法計數(shù)原理 得到不同的涂色方案共有N 3 2 1 1 6 種 考點3兩個計數(shù)原理的綜合應用知 考情利用兩個計數(shù)原理 求解有關實際問題 是高考考查兩個計數(shù)原理的一個重要考向 常與涂色問題 組數(shù)問題 排隊問題 種植問題等交匯考查 一般以選擇題 填空題的形式出現(xiàn) 明 角度命題角度1 涂色問題 典例3 2015 汕頭模擬 如圖 用6種不同的顏色把圖中A B C D四塊區(qū)域分開 若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色 則不同的涂法共有 A 400種B 460種C 480種D 496種 解題提示 可按使用顏色的種數(shù)分類來完成此事 規(guī)范解答 選C 完成此事可能使用4種顏色 也可能使用3種顏色 當使用4種顏色時 從A開始 有6種方法 B有5種 C有4種 D有3種 完成此事共有6 5 4 3 360 種 方法 當使用3種顏色時 A D使用同一種顏色 從A D開始 有6種方法 B有5種 C有4種 完成此事共有6 5 4 120 種 方法 由加法計數(shù)原理可知 不同涂法有360 120 480 種 命題角度2 重復元素的計數(shù)問題 典例4 2014 福建高考 用a代表紅球 b代表藍球 c代表黑球 由加法原理及乘法原理 從1個紅球和1個藍球中取出若干個球的所有取法可由 1 a 1 b 的展開式1 a b ab表示出來 如 1 表示一個球都不取 a 表示取出一個紅球 而 ab 則表示把紅球和藍球都取出來 依此類推 下列各式中 其展開式可用來表示從5個無區(qū)別的紅球 5個無區(qū)別的藍球 5個有區(qū)別的黑球中取出若干個球 且所有的藍球都取出或都不取出的所有取法的是 A 1 a a2 a3 a4 a5 1 b5 1 c 5B 1 a5 1 b b2 b3 b4 b5 1 c 5C 1 a 5 1 b b2 b3 b4 b5 1 c5 D 1 a5 1 b 5 1 c c2 c3 c4 c5 解題提示 對于信息題 要善于運用邏輯思維去推導 同時明確材料給我們傳達的信息 規(guī)范解答 選A 因為無區(qū)別 所以取紅球的方法數(shù)為1 a a2 a3 a4 a5 因為藍球要都取出 或都不取出 所以方法為1 b5 因為黑球有區(qū)別 因此 取黑球的方法數(shù)為 1 c 5 所以所有取法數(shù)為 1 a a2 a3 a4 a5 1 b5 1 c 5 悟 技法利用兩個計數(shù)原理解決應用問題的一般思路 1 弄清完成一件事是做什么 2 確定是先分類后分步 還是先分步后分類 3 弄清分步 分類的標準是什么 4 利用兩個計數(shù)原理求解 通 一類1 2015 銀川模擬 集合P x 1 Q y 1 2 其中x y 1 2 3 9 且P Q 把滿足上述條件的一個有序整數(shù)對 x y 作為一個點的坐標 則這樣的點的個數(shù)是 A 9B 14C 15D 21 解析 選B 當x 2時 x y 點的個數(shù)為1 7 7 個 當x 2時 x y 點的個數(shù)為7 1 7 個 則共有14個點 2 2015 張掖模擬 用6種不同顏色為如圖所示的廣告牌著色 要求有公共邊界的區(qū)域不能用同一種顏色 則共有種不同的方法著色 解析 由分步乘法計數(shù)原理知 第一步 涂 區(qū)有6種方法 第二步 涂 區(qū)有5種方法 第三步 涂 區(qū)有4種方法 第四步 涂 區(qū)有4種方法 由分步乘法計數(shù)原理知 共有6 5 4 4 480種方法 答案 480 3 2015 鄭州模擬 用數(shù)字2 3組成四位數(shù) 且數(shù)字2 3至少都出現(xiàn)一次 這樣的四位數(shù)共有個 用數(shù)字作答 解析 數(shù)字2 3至少都出現(xiàn)一次 包括以下情況 2 出現(xiàn)1次 共有4種方法 3 出現(xiàn)3次 共有1種方法 共可組成4 1 4 個 四位數(shù) 2 出現(xiàn)2次 共有 6種方法 3 出現(xiàn)2次 共有1種方法 共可組成6 1 6 個 四位數(shù) 2 出現(xiàn)3次 共有 4種方法 3 出現(xiàn)1次 共有1種方法 共可組成4 1 4 個 四位數(shù) 綜上所述 共可組成4 6 4 14個四位數(shù) 答案 14 巧思妙解10巧用間接法求解計數(shù)問題 典例 2014 安徽高考 從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對 其中所成的角為60 的共有 A 24對B 30對C 48對D 60對 常規(guī)解法 選C 與正方體的一個面上的一條對角線成60 角的對角線有8條 故共有8對 正方體的12條面對角線共有96對 且每對均重復計算一次 故共有 48對 巧妙解法 選C 正方體的面對角線共有12條 兩條為一對 共有12 11 2 66對 同一面上的對角線不滿足題意 對面的面對角線也不滿足題意 一組平行平面共有6對不滿足題意的對角線對數(shù) 不滿足題意的共有 3 6 18 從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對 其中所成的角為60 的共有 66 18 48 方法指導 1 間接法的解題思路 1 將問題所包含的所有情景一一列舉出來并得出其數(shù)值 2 找出不合題設要求的情況 3 刪除不合題意的部分 得出結論 2 間接法的應用條件 間接法 求解計數(shù)問題其應用條件是該問題包含兩種或兩種以上的情況 而要求計數(shù)的情況較復雜不易得出結論 而問題的反面 對立面 計數(shù)比較容易 此時可采用間接法求解 類題試解 高三年級的三個班去甲 乙 丙 丁四個工廠參加社會實踐 但去何工廠可自由選擇 甲工廠必須有班級要去 則不同的分配方案有 A 16種B 18種C 37種D 48種 常規(guī)解法 選C 有一個班去甲工廠 其余兩個班去其他工廠 共有 32 27種方法 有兩個班去甲工廠 另一個班去其他工廠 共有3 3 9種方法 若三個班都去甲工廠 共有1種方法 由分類加法計數(shù)原理知 共有27 9 1 37種方法 巧妙解法 選C 三個班去四個工廠不同的分配方案共43種 甲工廠沒有班級去的分配方案共33種 因此滿足條件的不同的分配方案共有43 33 37 種