高考數學一輪復習 第二章 函數、導數及其應用 第八節(jié) 函數與方程課件 理.ppt

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第八節(jié)函數與方程 1 函數的零點的概念對于函數y f x 我們把使f x 0的實數x叫做函數y f x 的零點 2 函數零點與方程根的關系方程f x 0有實數根 函數y f x 的圖象與x軸有交點 函數y f x 有零點 3 函數零點的判斷 1 如果函數y f x 在區(qū)間 a b 上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線 并且有f a f b 0 的圖象與零點的關系 a 3 有關函數零點常見的結論 若連續(xù)不斷的函數f x 在定義域上是單調函數 則f x 至多有一個零點 連續(xù)不斷的函數 其相鄰兩個零點之間的所有函數值保持同號 連續(xù)不斷的函數圖象通過零點時 函數值可能變號也可能不變號 4 二分法的概念對于在區(qū)間 a b 上連續(xù)不斷且f a f b 0的函數f x 通過不斷地把函數f x 的零點所在的區(qū)間一分為二 使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點 進而得到零點近似值的方法叫做二分法 5 用二分法求函數f x 零點近似值的步聚 1 確定區(qū)間 a b 驗證f a f b 0 給定精確度 2 求區(qū)間 a b 的中點c 3 計算f c 若f c 0 則c就是函數的零點 若f a f c 0 則令b c 此時零點x0 a c 若f c f b 0 則令a c 此時零點x0 c b 4 判斷是否達到精確度 即若 a b 則得到零點近似值a 或b 否則重復 2 4 6 常用的數學方法與思想函數零點個數的判斷方法 函數與方程 轉化與化歸 數形結合思想 1 判斷下列說法是否正確 打 或 1 函數的零點就是函數的圖象與x軸的交點 1 2 若函數y f x x D在區(qū)間 a b D內有零點 函數圖象連續(xù)不斷 則f a f b 0 2 3 函數y f x 在區(qū)間 a b 內單調 且f a f b 0 則在區(qū)間 a b 內有且僅有一個零點 3 2 2015 安徽高考 下列函數中 既是偶函數又存在零點的是 A y cosxB y sinxC y lnxD y x2 12 A 解析 y cosx是偶函數且有無數多個零點 y sinx為奇函數 y lnx既不是奇函數也不是偶函數 y x2 1是偶函數 但沒有零點 3 方程2 x x2 3的實數解的個數為 A 2B 3C 1D 43 A 解析 構造函數y 2 x與y 3 x2 在同一坐標系中作出它們的圖象 可知有兩個交點 故方程2 x x2 3的實數解的個數為2 4 若函數f x 2x m存在零點 則m的取值范圍是 4 0 解析 由于y 2x在x軸上方 當x越小時 圖象越接近y軸 所以m 0 時圖象與x軸有且僅有一個交點 故m的取值范圍是 0 解題思路 函數y x2和y x3的交點為 0 0 1 1 函數g x f x b有兩個零點 則f x b 0有兩個根 即直線y b與y f x 有兩個交點 作出y x2與y x3的圖象 如圖 1 觀察圖象 可知當a1時 存在實數b使f x b 0有兩個根 如圖 3 當0 a 1時 f x b 0只有一個根或無根 如圖 4 綜上 當a1時 g x f x b有兩個零點 參考答案 0 1 若存在實數b 使函數g x f x b有兩個零點 則a的取值范圍是 變式訓練 2015 福州八中質檢 對于函數f x x2 mx n 若f a 0 f b 0 則函數f x 在區(qū)間 a b 內 A 一定有零點B 一定沒有零點C 可能有兩個零點D 至多有一個零點C 解析 由于函數f x x2 mx n 圖象開口向上 當 m2 4n 0時 圖象與x軸有兩個交點 結合題干條件知選項C正確 命題角度2 利用函數的零點研究函數的根的大小或方程 不等式 的解典例4已知函數f x x a x b 2 a b 若 是方程f x 0的兩個根 則實數a b 之間的大小關系是 A a b B a bC a b D a b 解題思路 利用g x x a x b 的零點為a b 作出圖象 利用平移變換 數形結合思想考查 令g x x a x b 顯然函數g x x a x b 的兩個零點是a b 而函數f x x a x b 2的兩個零點是 又函數f x 的圖象是將函數g x x a x b 圖象向上平移2個單位得到 因此數形結合易知a b 參考答案 B 變式訓練 1 設函數f x ex x 2 g x lnx x2 3 若實數a b滿足f a 0 g b 0 則 A 00 f a 0 由零點的存在性定理知 a 0 1 同理可知 b 1 2 由于函數f x 和g x 都在定義域上單調遞增 則g a f 1 e 1 0 于是有g a 0 f b 分類討論思想在函數零點問題中的應用分類討論思想在解決函數的零點與定區(qū)間的關系中起關鍵作用 這也是學生最易出錯的地方 典例 2014 天津高考 已知函數f x x2 3x x R 若方程f x a x 1 0恰有4個互異的實數根 則實數a的取值范圍為 解題思路 方程f x a x 1 0恰有4個互異的實數根 即函數y f x y a x 1 恰有4個互異的交點 當a0 當y a x 1 與y x2 3x的圖象相切時 方程x2 3x a x 1 即x2 3 a x a 0有兩個相等的根 所以 3 a 2 4a 0 解得a 1 舍去 或9 所以當a 9時滿足題意 當y a x 1 與y x2 3x的圖象相切時 方程x2 3x a x 1 即x2 3 a x a 0有兩個相等的根 所以 3 a 2 4a 0 解得a 1或9 舍去 所以當0 a 1時滿足題意 故實數a的取值范圍是 0 1 9 參考答案 0 1 9 針對訓練