高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 6.3 等比數(shù)列及其前n項和課件 文 北師大版.ppt

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6 3等比數(shù)列及其前n項和 考綱要求 1 理解等比數(shù)列的概念 2 掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式 3 能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系 并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題 4 了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系 1 等比數(shù)列 1 定義 如果一個數(shù)列從第2項起 每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù) 那么這個數(shù)列叫作等比數(shù)列 這個常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比 公比通常用字母q表示 q 0 3 等比中項 如果在a與b中插入一個數(shù)G 使得a G b成等比數(shù)列 我們稱G為a b的等比中項 即 G是a與b的等比中項 a G b成等比數(shù)列 G2 ab G 2 等比數(shù)列的通項公式 1 通項公式 若等比數(shù)列 an 的首項為a1 公比是q 則其通項公式為an a1qn 1 a1 0 q 0 2 通項公式的推廣 an amqn m 3 等比數(shù)列的前n項和公式 1 當(dāng)q 1時 Sn na1 4 等比數(shù)列及前n項和的性質(zhì) 1 若 an 為等比數(shù)列 且k l m n k l m n N 則ak al am an 2 若 an 為等比數(shù)列 則ak ak m ak 2m 仍是等比數(shù)列 公比為qm 1 2 3 4 5 1 下列結(jié)論正確的打 錯誤的打 1 滿足an 1 qan n N q為常數(shù) 的數(shù)列 an 為等比數(shù)列 2 G為a b的等比中項 G2 ab 3 等比數(shù)列中不存在數(shù)值為0的項 4 在等比數(shù)列 an 中 若am an ap aq 則m n p q 5 若數(shù)列 an 的通項公式是an an 則其前n項和為 1 2 3 4 5 答案 解析 2 2015課標(biāo)全國 文9 已知等比數(shù)列 an 滿足a1 a3a5 4 a4 1 則a2 1 2 3 4 5 3 設(shè) an 是公比為q的等比數(shù)列 則 q 1 是 an 為遞增數(shù)列 的 A 充分而不必要條件B 必要而不充分條件C 充分必要條件D 既不充分也不必要條件 答案 解析 1 2 3 4 5 4 2015課標(biāo)全國 文13 在數(shù)列 an 中 a1 2 an 1 2an Sn為 an 的前n項和 若Sn 126 則n 答案 解析 1 2 3 4 5 5 在等比數(shù)列 an 中 已知a5 a1 15 a4 a2 6 若公比q 1 則a3 答案 解析 1 2 3 4 5 自測點評1 等差數(shù)列的首項和公差可以為零 且等差中項唯一 而等比數(shù)列的首項和公比均不為零 等比中項可以有兩個值 2 在等比數(shù)列中 由an 1 qan q 0 并不能立即判斷 an 為等比數(shù)列 還要驗證a1 0 若am an ap aq 則m n p q不一定成立 因為常數(shù)列也是等比數(shù)列 但若m n p q 則有3 在運用等比數(shù)列的前n項和公式時 如果不能確定q與1的關(guān)系 必須分q 1和q 1兩種情況討論 考點1 考點2 考點3 考點4 知識方法 易錯易混 考點1等比數(shù)列的基本運算例1 1 2015福建 文16 若a b是函數(shù)f x x2 px q p 0 q 0 的兩個不同的零點 且a b 2這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列 也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列 則p q的值等于 答案 解析 考點1 考點2 考點3 考點4 知識方法 易錯易混 2 已知數(shù)列 an 是遞增的等比數(shù)列 a1 a4 9 a2a3 8 則數(shù)列 an 的前n項和等于 答案 解析 考點1 考點2 考點3 考點4 知識方法 易錯易混 思考 解決等比數(shù)列基本運算問題的常見思想方法有哪些 解題心得 解決等比數(shù)列有關(guān)問題的常見思想方法 1 方程的思想 等比數(shù)列中有五個量a1 n q an Sn 一般可以 知三求二 通過列方程 組 求關(guān)鍵量a1和q 問題可迎刃而解 2 分類討論的思想 因為等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論 所以當(dāng)某一參數(shù)為公比進行求和時 就要對參數(shù)是否為1進行分類求和 3 整體思想 應(yīng)用等比數(shù)列前n項和公式時 常把qn或當(dāng)成整體進行求解 考點1 考點2 考點3 考點4 知識方法 易錯易混 對點訓(xùn)練1 1 設(shè)數(shù)列 an 是由正數(shù)組成的等比數(shù)列 Sn為其前n項和 已知a2a4 1 S3 7 則S5等于 答案 解析 考點1 考點2 考點3 考點4 知識方法 易錯易混 答案 解析 2 2015浙江 文10 已知 an 是等差數(shù)列 公差d不為零 若a2 a3 a7成等比數(shù)列 且2a1 a2 1 則a1 d 考點1 考點2 考點3 考點4 知識方法 易錯易混 考點2等比數(shù)列的判定與證明例2已知數(shù)列 an 的前n項和為Sn 且an Sn n 1 設(shè)cn an 1 求證 cn 是等比數(shù)列 2 求數(shù)列 an 的通項公式 答案 考點1 考點2 考點3 考點4 知識方法 易錯易混 思考 判斷或證明一個數(shù)列是等比數(shù)列有哪些方法 解題心得 1 證明數(shù)列 an 是等比數(shù)列常用的方法 1 定義法 證明 n 2 q為常數(shù) 2 等比中項法 證明 3 通項公式法 若數(shù)列通項公式可寫成an c qn 1 c q均是不為0的常數(shù) n N 則 an 是等比數(shù)列 2 若判斷一個數(shù)列不是等比數(shù)列 則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可 考點1 考點2 考點3 考點4 知識方法 易錯易混 對點訓(xùn)練2成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于15 并且這三個數(shù)分別加上2 5 13后成為等比數(shù)列 bn 中的b3 b4 b5 1 求數(shù)列 bn 的通項公式 2 數(shù)列 bn 的前n項和為Sn 求證 數(shù)列是等比數(shù)列 1 解 設(shè)成等差數(shù)列的三個正數(shù)分別為a d a a d 依題意得a d a a d 15 解得a 5 bn 中的b3 b4 b5依次為7 d 10 18 d 依題意 有 7 d 18 d 100 解得d 2 d 13舍去 故 bn 的第3項為5 公比為2 由b3 b1 22 即5 b1 22 解得b1 考點1 考點2 考點3 考點4 知識方法 易錯易混 考點1 考點2 考點3 考點4 知識方法 易錯易混 考點3等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 多維探究 類型一等比數(shù)列項的性質(zhì)的應(yīng)用例3 1 在等比數(shù)列 an 中 a4 2 a5 5 則數(shù)列 lgan 的前8項和等于 A 6B 5C 4D 3 答案 解析 考點1 考點2 考點3 考點4 知識方法 易錯易混 2 2015長春調(diào)研 在正項等比數(shù)列 an 中 已知a1a2a3 4 a4a5a6 12 an 1anan 1 324 則n 思考 經(jīng)常用等比數(shù)列的哪些性質(zhì)化簡解題過程 答案 解析 考點1 考點2 考點3 考點4 知識方法 易錯易混 類型二等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)的應(yīng)用例4設(shè)等比數(shù)列 an 的前n項和為Sn 若S2 3 S4 15 則S6 A 31B 32C 63D 64 答案 解析 考點1 考點2 考點3 考點4 知識方法 易錯易混 思考 本題應(yīng)用什么性質(zhì)求解比較簡單 解題心得 1 在解答等比數(shù)列的有關(guān)問題時 為簡化解題過程常常利用等比數(shù)列項的如下性質(zhì) 1 通項公式的推廣 an amqn m 2 等比中項的推廣與變形 am an m n 2p m n p N 及ak al am an k l m n m n k l N 2 對已知條件為等比數(shù)列前幾項和 求其前多少項和的問題 應(yīng)用公比不為 1的等比數(shù)列前n項和的性質(zhì) Sn S2n Sn S3n S2n仍成等比數(shù)列比較簡便 考點1 考點2 考點3 考點4 知識方法 易錯易混 答案 解析 對點訓(xùn)練3 1 若等比數(shù)列 an 的各項均為正數(shù) 且a10a11 a9a12 2e5 則lna1 lna2 lna20 考點1 考點2 考點3 考點4 知識方法 易錯易混 2 等比數(shù)列 an 的首項a1 1 前n項和為Sn 若 則公比q 答案 解析 考點1 考點2 考點3 考點4 知識方法 易錯易混 考點4等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題例5 2015四川 理16 設(shè)數(shù)列 an n 1 2 3 的前n項和Sn滿足Sn 2an a1 且a1 a2 1 a3成等差數(shù)列 1 求數(shù)列 an 的通項公式 2 設(shè)數(shù)列的前n項和為Tn 求Tn 答案 考點1 考點2 考點3 考點4 知識方法 易錯易混 思考 解決等差數(shù)列 等比數(shù)列的綜合問題的基本思路是怎樣的 解題心得 等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合問題 涉及的知識面很寬 題目的變化也很多 但是萬變不離其宗 只要抓住基本量a1 d q 充分運用方程 函數(shù) 轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法 合理調(diào)用相關(guān)知識 就不難解決這類問題 考點1 考點2 考點3 考點4 知識方法 易錯易混 對點訓(xùn)練4 2015北京 文16 已知等差數(shù)列 an 滿足a1 a2 10 a4 a3 2 1 求 an 的通項公式 2 設(shè)等比數(shù)列 bn 滿足b2 a3 b3 a7 問 b6與數(shù)列 an 的第幾項相等 答案 考點1 考點2 考點3 考點4 知識方法 易錯易混 考點1 考點2 考點3 考點4 知識方法 易錯易混 3 求解等比數(shù)列問題常用的數(shù)學(xué)思想 1 方程思想 如求等比數(shù)列中的基本量 2 分類討論思想 如求和時要分q 1和q 1兩種情況討論 判斷單調(diào)性時對a1與q分類討論 考點1 考點2 考點3 考點4 知識方法 易錯易混 1 在等比數(shù)列中 易忽視每一項與公比都不為0 2 求等比數(shù)列的前n項和時 易忽略q 1這一特殊情形 審題答題指導(dǎo) 如何理解條件和轉(zhuǎn)化條件典例在等差數(shù)列 an 中 a3 a4 a5 84 a9 73 1 求數(shù)列 an 的通項公式 2 對任意m N 將數(shù)列 an 中落入?yún)^(qū)間 9m 92m 內(nèi)的個數(shù)記為bm 求數(shù)列 bm 的前m項和Sm 審題要點 1 題干中已知條件有三個 數(shù)列 an 是等差數(shù)列 和兩個等式 2 第 2 問中所含條件可理解為 數(shù)列 an 的各項在所給區(qū)間的項數(shù)為bm 3 第 2 問中條件的轉(zhuǎn)化方法 文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言 即求滿足9m an 92m的n的范圍 解 1 設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d 由a3 a4 a5 84 可得3a4 84 即a4 28 而a9 73 則5d a9 a4 45 即d 9 又a1 a4 3d 28 27 1 an 1 n 1 9 9n 8 即an 9n 8 2 對任意m N 9m 9n 8 92m 則9m 8 9n 92m 8 而n N 由題意 可知 于是Sm b1 b2 bm