高考數學一輪復習 第十章 計數原理 10.3 二項式定理課件 理.ppt

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第十章計數原理 10 3二項式定理 內容索引 基礎知識自主學習 題型分類深度剖析 易錯警示系列 思想方法感悟提高 練出高分 基礎知識自主學習 1 二項式定理 r 1 知識梳理 1 答案 2 二項式系數的性質 2 二項式系數先增后減中間項最大 和 奇數時 第項和項的二項式系數最大 最大值為 2n 2n 1 答案 二項展開式形式上的特點 1 項數為 2 各項的次數都等于二項式的冪指數n 即a與b的指數的和為n 3 字母a按排列 從第一項開始 次數由n逐項減1直到零 字母b按排列 從第一項起 次數由零逐項增1直到n r 1 降冪 升冪 知識拓展 答案 判斷下面結論是否正確 請在括號中打 或 2 二項展開式中 系數最大的項為中間一項或中間兩項 3 a b n的展開式中某一項的二項式系數與a b無關 4 在 1 x 9的展開式中系數最大的項是第五 第六兩項 5 若 3x 1 7 a7x7 a6x6 a1x a0 則a7 a6 a1的值為128 思考辨析 答案 1 教材改編 x y n的二項展開式中 第m項的系數是 考點自測 2 解析答案 1 2 3 4 5 故含x4的項的系數為1 令x 1 得展開式的系數的和S 1 故展開式中不含x4的項的系數的和為1 1 0 0 解析答案 1 2 3 4 5 63 解析答案 1 2 3 4 5 令10 5r 0 則r 2 40 解析答案 1 2 3 4 5 5 1 x 8 1 y 4的展開式中x2y2的系數是 168 1 2 3 4 5 解析答案 返回 題型分類深度剖析 命題點1求二項展開式中的特定項或指定項的系數 6 題型一二項展開式 解析答案 2 2015 課標全國 改編 x2 x y 5的展開式中 x5y2的系數為 解析答案 解析方法一利用二項展開式的通項公式求解 x2 x y 5 x2 x y 5 方法二利用組合知識求解 x2 x y 5為5個x2 x y之積 其中有兩個取y 兩個取x2 一個取x即可 答案30 命題點2已知二項展開式某項的系數求參數 例2 2015 課標全國 a x 1 x 4的展開式中x的奇數次冪項的系數之和為32 則a 解析設 a x 1 x 4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5 令x 1 得16 a 1 a0 a1 a2 a3 a4 a5 令x 1 得0 a0 a1 a2 a3 a4 a5 得16 a 1 2 a1 a3 a5 即展開式中x的奇數次冪的系數之和為a1 a3 a5 8 a 1 所以8 a 1 32 解得a 3 3 解析答案 思維升華 求二項展開式中的特定項 一般是利用通項公式進行 化簡通項公式后 令字母的指數符合要求 求常數項時 指數為零 求有理項時 指數為整數等 解出項數r 1 代回通項公式即可 思維升華 1 2014 課標全國 x y x y 8的展開式中x2y7的系數為 用數字填寫答案 20 跟蹤訓練1 解析答案 2 2014 課標全國 x a 10的展開式中 x7的系數為15 則a 令10 r 7 r 3 解析答案 例3在 2x 3y 10的展開式中 求 1 二項式系數的和 2 各項系數的和 3 奇數項的二項式系數和與偶數項的二項式系數和 4 奇數項系數和與偶數項系數和 5 x的奇次項系數和與x的偶次項系數和 題型二二項式系數的和或各項系數的和的問題 解析答案 思維升華 解設 2x 3y 10 a0 x10 a1x9y a2x8y2 a10y10 各項系數的和為a0 a1 a10 奇數項系數和為a0 a2 a10 偶數項系數和為a1 a3 a5 a9 x的奇次項系數和為a1 a3 a5 a9 x的偶次項系數和為a0 a2 a4 a10 由于 是恒等式 故可用 賦值法 求出相關的系數和 2 令x y 1 各項系數和為 2 3 10 1 10 1 解析答案 思維升華 4 令x y 1 得到a0 a1 a2 a10 1 令x 1 y 1 或x 1 y 1 得a0 a1 a2 a3 a10 510 得2 a0 a2 a10 1 510 得2 a1 a3 a9 1 510 解析答案 思維升華 思維升華 1 賦值法 普遍適用于恒等式 是一種重要的方法 對形如 ax b n ax2 bx c m a b R 的式子求其展開式的各項系數之和 常用賦值法 只需令x 1即可 對形如 ax by n a b R 的式子求其展開式各項系數之和 只需令x y 1即可 思維升華 已知f x 1 x m 1 2x n m n N 的展開式中x的系數為11 1 求x2的系數取最小值時n的值 m N m 5時 x2的系數取得最小值22 此時n 3 跟蹤訓練2 解析答案 2 當x2的系數取得最小值時 求f x 展開式中x的奇次冪項的系數之和 解由 1 知 當x2的系數取得最小值時 m 5 n 3 f x 1 x 5 1 2x 3 設這時f x 的展開式為f x a0 a1x a2x2 a5x5 令x 1 a0 a1 a2 a3 a4 a5 25 33 59 令x 1 a0 a1 a2 a3 a4 a5 1 兩式相減得2 a1 a3 a5 60 故展開式中x的奇次冪項的系數之和為30 解析答案 例4 1 已知2n 2 3n 5n a能被25整除 求正整數a的最小值 解原式 4 6n 5n a 4 5 1 n 5n a 顯然正整數a的最小值為4 題型三二項式定理的應用 解析答案 思維升華 2 求1 028的近似值 精確到小數點后三位 解析答案 思維升華 1 整除問題和求近似值是二項式定理中兩類常見的應用問題 整除問題中要關注展開式的最后幾項 而求近似值則應關注展開式的前幾項 2 二項式定理的應用基本思路是正用或逆用二項式定理 注意選擇合適的形式 思維升華 1 90 10 8910 88 1 10 前10項均能被88整除 余數是1 1 跟蹤訓練3 解析答案 返回 易錯警示系列 典例 14分 1 已知 x 1 6 ax 1 2的展開式中含x3的項的系數是20 求a的值 易錯分析解答此題時易將二項式系數之和與各項系數和混淆 從而導致計算錯誤 另外 也要注意項與項的系數 項的系數與項的系數絕對值的區(qū)別與聯系 易錯警示系列 15 混淆二項展開式的系數與二項式系數致誤 溫馨提醒 解析答案 返回 易錯分析 規(guī)范解答 x3的系數為20 6a2 30a 20 20 2 依題意得 M 4n 2n 2 N 2n 于是有 2n 2 2n 240 2n 15 2n 16 0 2n 16 24 解得n 4 10分 溫馨提醒 解析答案 故展開式中二項式系數最大的項為 溫馨提醒 返回 溫馨提醒 思想方法感悟提高 方法與技巧 3 因為二項式定理中的字母可取任意數或式 所以在解題時根據題意 給字母賦值 是求解二項展開式各項系數和的一種重要方法 4 運用通項求展開式的一些特殊項 通常都是由題意列方程求出r 再求所需的某項 有時需先求n 計算時要注意n和r的取值范圍及它們之間的大小關系 方法與技巧 1 項的系數與a b有關 二項式系數只與n有關 大于0 2 求二項式所有系數的和 可采用 賦值法 3 關于組合式的證明 常采用 構造法 構造函數或構造同一問題的兩種算法 4 展開式中第r 1項的二項式系數與第r 1項的系數一般是不相同的 在具體求各項的系數時 一般先處理符號 對根式和指數的運算要細心 以防出錯 失誤與防范 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2014 四川改編 在x 1 x 6的展開式中 含x3項的系數為 所以系數為15 15 解析答案 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 3 4x 2 x 6 x R 展開式中的常數項是 解析設展開式中的常數項是第r 1項 12x 3rx 0恒成立 r 4 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 4 若在 x 1 4 ax 1 的展開式中 x4的系數為15 則a的值為 解析 x 1 4 ax 1 x4 4x3 6x2 4x 1 ax 1 x4的系數為4a 1 15 a 4 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 5 若 1 x 1 x 2 1 x n a0 a1 1 x a2 1 x 2 an 1 x n 則a0 a1 a2 1 nan 解析在展開式中 令x 2得3 32 33 3n a0 a1 a2 a3 1 nan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 35 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 8 若將函數f x x5表示為f x a0 a1 1 x a2 1 x 2 a5 1 x 5 其中a0 a1 a2 a5為實數 則a3 解析f x x5 1 x 1 5 a3 10 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 9 設m為正整數 x y 2m展開式的二項式系數的最大值為a x y 2m 1展開式的二項式系數的最大值為b 若13a 7b 則m 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 10 已知 1 2x 7 a0 a1x a2x2 a7x7 求 1 a1 a2 a7 2 a1 a3 a5 a7 3 a0 a2 a4 a6 4 a0 a1 a2 a7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解令x 1 則a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 1 令x 1 則a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 37 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 2 3 2 解析答案 4 方法一 1 2x 7展開式中 a0 a2 a4 a6大于零 而a1 a3 a5 a7小于零 a0 a1 a2 a7 a0 a2 a4 a6 a1 a3 a5 a7 1093 1094 2187 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 方法二 a0 a1 a2 a7 即 1 2x 7展開式中各項的系數和 令x 1 a0 a1 a2 a7 37 2187 11 2015 湖北改編 已知 1 x n的展開式中第4項與第8項的二項式系數相等 則奇數項的二項式系數和為 則奇數項的二項式系數和為2n 1 29 29 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析由于 x a 2 x2 2ax a2 其中r 0 1 2 5 解析答案 依題意 a2 10a 10 1 解得a2 10a 9 0 即a 1或a 9 答案1或9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 2014 浙江改編 在 1 x 6 1 y 4的展開式中 記xmyn項的系數為f m n 則f 3 0 f 2 1 f 1 2 f 0 3 所以f 3 0 f 2 1 f 1 2 f 0 3 120 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 14 求證 1 2 22 25n 1 n N 能被31整除 25n 1 32n 1 31 1 n 1 原式能被31整除 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 展開式中所有x的有理項 2 展開式中系數最大的項 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 設展開式中的有理項為Tr 1 由 r為4的倍數 又0 r 8 r 0 4 8 故有理項為 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 設展開式中Tr 1項的系數最大 故展開式中系數最大的項為 返回