2019高考數學二輪復習 專題二 第三講 導數的簡單應用課件 文.ppt

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第三講導數的簡單應用 總綱目錄 考點一導數的幾何意義及運算 1 導數的幾何意義函數f x 在x0處的導數是曲線f x 在點P x0 f x0 處的切線的斜率 曲線f x 在點P處的切線的斜率k f x0 相應的切線方程為y f x0 f x0 x x0 2 四個易錯導數公式 1 sinx cosx 2 cosx sinx 3 ax axlna a 0且a 1 4 logax a 0且a 1 1 2018課標全國 6 5分 設函數f x x3 a 1 x2 ax 若f x 為奇函數 則曲線y f x 在點 0 0 處的切線方程為 A y 2xB y xC y 2xD y x 2 2018課標全國 14 5分 曲線y ax 1 ex在點 0 1 處的切線的斜率為 2 則a 3 已知曲線C1 y2 tx y 0 t 0 在點M處的切線與曲線C2 y ex 1 1也相切 則t的值為 答案 1 D 2 3 3 4e2 解析 1 f x x3 a 1 x2 ax為奇函數 a 1 0 得a 1 f x x3 x f x 3x2 1 f 0 1 則曲線y f x 在點 0 0 處的切線方程為y x 故選D 2 設f x ax 1 ex 則f x ax a 1 ex 所以曲線y f x 在點 0 1 處的切線的斜率k f 0 a 1 2 解得a 3 3 由y 得y 則切線斜率為k 所以切線方程為y 2 即y x 1 設切線與曲線y ex 1 1的切點為 x0 y0 由y ex 1 1 得y ex 1 則由 得切點坐標為 故切線方程又可表示為y 1 即y x ln 1 所以由題意 得 ln 1 1 即ln 2 解得t 4e2 方法歸納求曲線y f x 的切線方程的三種類型及方法 1 已知切點P x0 y0 求切線方程求出切線的斜率f x0 由點斜式寫出方程 2 已知切線的斜率k 求切線方程設切點為P x0 y0 通過方程k f x0 解得x0 再由點斜式寫出方程 3 已知切線上一點 非切點 求切線方程設切點為P x0 y0 利用導數求得切線斜率f x0 再由斜率公式求得切線斜率 列方程 組 解得x0 再由點斜式或兩點式寫出方程 提醒 求曲線的切線要注意 過點P的切線 與 在點P處的切線 的差異 過點P的切線中 點P不一定是切點 點P也不一定在已知曲線上 而在點P處的切線 必以點P為切點 1 2018河北唐山五校聯考 曲線y 在點 0 1 處的切線與兩坐標軸圍成的封閉圖形的面積為 A B C D 1 答案B因為y 所以y x 0 2 所以曲線在點 0 1 處的切線方程為y 1 2x 即y 2x 1 與兩坐標軸的交點坐標分別為 0 1 所以與兩坐標軸圍成的三角形的面積S 1 故選B 2 曲線f x x3 x 3在點P處的切線平行于直線y 2x 1 則P點的坐標為 A 1 3 B 1 3 C 1 3 或 1 3 D 1 3 答案Cf x 3x2 1 令f x 2 則3x2 1 2 解得x 1或x 1 P 1 3 或 1 3 經檢驗 點 1 3 1 3 均不在直線y 2x 1上 故選C 3 已知直線y kx 1與曲線y x3 mx n相切于點A 1 3 則n A 1B 1C 3D 4 答案C對y x3 mx n求導得y 3x2 m A 1 3 在直線y kx 1上 k 2 由解得n 3 考點二利用導數研究函數的單調性導數與函數單調性的關系 1 f x 0是f x 為增函數的充分不必要條件 如函數f x x3在 上單調遞增 但f x 0 2 f x 0是f x 為增函數的必要不充分條件 當函數在某個區(qū)間內恒有f x 0時 f x 為常數函數 不具有單調性 已知函數f x ax3 x2 a R 在x 處取得極值 1 確定a的值 2 若g x f x ex 討論g x 的單調性 命題角度一 確定函數的單調性 區(qū)間 解析 1 對f x 求導得f x 3ax2 2x 因為f x 在x 處取得極值 所以f 0 即3a 2 0 解得a 2 由 1 得g x ex 故g x ex ex ex x x 1 x 4 ex 令g x 0 解得x 0或x 1或x 4 當x 4時 g x 0 故g x 為減函數 當 40 故g x 為增函數 當 10時 g x 0 故g x 為增函數 綜上可知 g x 在 4 和 1 0 上為減函數 在 4 1 和 0 上為增函數 方法歸納求解或討論函數單調性有關問題的策略討論函數的單調性其實就是討論不等式的解集的情況 大多數情況下 這類問題可以歸結為對一個含有參數的一元二次不等式的解集的討論 1 在能夠通過因式分解求出不等式對應方程的根時 依據根的大小進行分類討論 2 在不能通過因式分解求出根的情況時 根據不等式對應方程的判別式進行分類討論 提醒 討論函數的單調性是在函數的定義域內進行的 千萬不要忽視了定義域的限制 命題角度二 利用函數的單調性比較大小 已知函數y f x 對于任意的x 滿足f x cosx f x sinx 1 lnx 其中f x 是函數f x 的導函數 則下列不等式成立的是 A ffC f fD f f 答案B 方法歸納此類問題 首先利用導數研究函數的單調性 然后將要比較大小的兩個量轉化為求變量的兩個函數值 直接利用單調性比較即可 對于復雜的比較大小問題 要先根據比較大小的結構特征 構造恰當的函數 再利用單調性比較大小 提醒 本題的易錯點有兩處 一是構造函數出錯 看到 f x cosx f x sinx 因忽視 cosx sinx 就會想到利用導數乘法法則構造新函數g x f x cosx 因此掉進了命題者所設置的陷阱 導致結果求錯 二是特殊角的三角函數值求錯 應記清特殊角的三角函數值 避免此類錯誤 命題角度三 根據函數的單調性求參數 1 若函數f x x2 x 1在區(qū)間上單調遞減 則實數a的取值范圍是 A B C D 2 若函數f x x3 k 1 x2 k 5 x 1在區(qū)間 0 2 上不是單調函數 則實數k的取值范圍是 答案 1 B 2 5 2 解析 1 f x x2 ax 1 函數f x 在區(qū)間上單調遞減 f x 0在區(qū)間上恒成立 即解得a 實數a的取值范圍為 2 因為函數f x x3 k 1 x2 k 5 x 1在區(qū)間 0 2 上不是單調函數 等價于f x 3x2 2 k 1 x k 5在區(qū)間 0 2 上不會恒大于零或恒小于零 所以f 0 f 2 0或即 k 5 3 22 4 k 1 k 5 0或解得 5 k 或 k 2 即k 5 2 所以實數k的取值范圍是 5 2 1 若函數f x x3 x2 2ax在上存在單調遞增區(qū)間 則實數a的取值范圍是 答案 解析對f x 求導 得f x x2 x 2a 2a 當x 時 f x 的最大值為f 2a 令 2a 0 解得a 所以實數a的取值范圍是 2 已知函數f x x2 2alnx a 2 x 1 當a 1時 求函數f x 的單調區(qū)間 2 是否存在實數a 使函數g x f x ax在 0 上單調遞增 若存在 求出a的取值范圍 若不存在 說明理由 解析 1 當a 1時 f x x2 2lnx 3x 則f x x 3 當02時 f x 0 f x 單調遞增 當10時恒成立 a x2 2x x 1 2 恒成立 令 x x 1 2 則 x 在 0 上的最小值為 當a 時 g x 0恒成立 又當a g x 當且僅當x 1時 g x 0 故當a 時 g x f x ax在 0 上單調遞增 考點三利用導數研究函數的極值 最值 問題導數與函數的極值 最值的關系 1 若在x0附近左側f x 0 右側f x 0 則f x0 為函數f x 的極小值 2 設函數y f x 在 a b 上連續(xù) 在 a b 內可導 則f x 在 a b 上必有最大值和最小值且在極值點或端點處取得 2018福建福州模擬 已知函數f x alnx x2 ax a R 1 若x 3是f x 的極值點 求f x 的單調區(qū)間 2 求g x f x 2x在區(qū)間 1 e 上的最小值h a 命題角度一 求函數的極值或最值 解析 1 由已知得f x 的定義域為 0 f x 2x a 因為x 3是f x 的極值點 所以f 3 0 解得a 9 所以f x 所以當03時 f x 0 當 x 3時 f x 0 所以x 3是f x 的極小值點 所以f x 的單調遞增區(qū)間為 3 單調遞減區(qū)間為 2 g x 2 令g x 0 得x1 x2 1 當 1 即a 2時 g x 在 1 e 上為增函數 h a g 1 a 1 當1 e 即2 a 2e時 g x 在上為減函數 在上為增函數 h a g aln a2 a 當 e 即a 2e時 g x 在 1 e 上為減函數 h a g e 1 e a e2 2e 綜上 h a 命題角度二 與函數極值點個數有關問題 2018廣西南寧模擬 已知函數f x lnx x 1 g x xf x x2 2x 1 求f x 的單調區(qū)間 2 若函數g x 在區(qū)間 m m 1 m Z 內存在唯一的極值點 求m的值 解析 1 由已知得x 0 f x 1 由f x 0 得01 所以函數f x 的單調遞增區(qū)間為 0 1 單調遞減區(qū)間為 1 2 因為g x xf x x2 2x x lnx x 1 x2 2x xlnx x2 x 則g x lnx 1 x 1 lnx x 2 f x 3 由 1 可知 函數g x 在 0 1 上單調遞增 在 1 上單調遞減 又g 2 2 0 所以g x 在 0 1 上有且只有一個零點 記為x1 又在 0 x1 上g x 0 g x 在 x1 1 上單調遞增 所以x1為極小值點 此時m 0 又g 3 ln3 1 0 g 4 2ln2 20 g x 在 3 x2 上單調遞增 在 x2 4 上g x 0 g x 在 x2 4 上單調遞減 所以x2為極大值點 此時m 3 綜上所述 m 0或m 3 方法歸納若已知極值大小或存在情況 則轉化為已知方程f x 0的根的大小或存在情況來求解 提醒 導數為0的點不一定是極值點 例如函數f x x3 有f x 3x2 則f 0 0 但x 0不是極值點 2018山西太原模擬 已知函數f x lnx ax2 bx 其中a b為常數且a 0 在x 1處取得極值 1 當a 1時 求f x 的單調區(qū)間 2 若f x 在 0 e 上的最大值為1 求a的值 解析 1 因為f x lnx ax2 bx 所以f x 的定義域為 0 f x 2ax b 因為函數f x lnx ax2 bx在x 1處取得極值 所以f 1 1 2a b 0 又a 1 所以b 3 則f x 令f x 0 得x1 x2 1 f x f x 隨x的變化情況如下表 所以f x 的單調遞增區(qū)間為 1 單調遞減區(qū)間為 2 由 1 知f x 令f x 0 得x1 1 x2 因為f x 在x 1處取得極值 所以x2 x1 1 當 0時 f x 在 0 1 上單調遞增 在 1 e 上單調遞減 所以f x 在區(qū)間 0 e 上的最大值為f 1 令f 1 1 解得a 2 當a 0時 x2 0 當 1時 f x 在上單調遞增 在上單調遞減 在 1 e 上單調遞增 所以最大值在x 或x e處取得 而f ln a 2a 1 ln 1 0 所以f e lne ae2 2a 1 e 1 解得a 當1 e時 f x 在區(qū)間 0 1 上單調遞增 在上單調遞減 在上單調遞增 所以最大值可能在x 1或x e處取得 而f 1 ln1 a 2a 1 0 所以f e lne ae2 2a 1 e 1 解得a 與1 x2 e矛盾 當x2 e時 f x 在區(qū)間 0 1 上單調遞增 在 1 e 上單調遞減 所以最大值在x 1處取得 而f 1 ln1 a 2a 1 0 矛盾 綜上所述 a 或a 2