2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第8講 數(shù)列求和課件 理.ppt

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第8講數(shù)列求和 總綱目錄 考點(diǎn)一利用Sn an的關(guān)系式求an 在數(shù)列 an 中 an與Sn的關(guān)系 an 1 已知數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和Sn 2n 1 則 A 2n 1 2B 2n 1 C 4n 1D 4n 1 答案Dan Sn Sn 1 2n 1 2n 1 1 2n 1 n 2 n 1時 a1 S1 1 滿足上式 1 22 24 22n 2 4n 1 故選D 2 設(shè)數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 且2Sn 3an 1 則Sn 答案 3n 1 解析由2Sn 3an 1 得2Sn 1 3an 1 1 n 2 由 得2an 3an 3an 1 3 n 2 又2S1 3a1 1 2S2 3a2 1 a1 1 a2 3 3 an 是首項(xiàng)為1 公比為3的等比數(shù)列 Sn 3n 1 3 已知數(shù)列 an 滿足a1 2a2 3a3 nan n 1 n N 則數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式是 答案an 解析當(dāng)n 1時 a1 2 當(dāng)n 2時 a1 2a2 3a3 nan n 1 所以a1 2a2 3a3 n 1 an 1 n 兩式相減 得nan n 1 n 1 an an 方法歸納 給出Sn與an的遞推關(guān)系求an的一般思路一是利用Sn Sn 1 an n 2 轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系 再求其通項(xiàng)公式 二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系 先求出Sn與n之間的關(guān)系 再求an 考點(diǎn)二數(shù)列求和 數(shù)列求和最常用的四種方法 1 公式法 適合求等差數(shù)列或等比數(shù)列的前n項(xiàng)和 對于等比數(shù)列 利用公式法求和時 一定要注意q是否取1 2 錯位相減法 這是推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時所用的方法 主要用于求數(shù)列 an bn 的前n項(xiàng)和 其中 an bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列 3 裂項(xiàng)相消法 把數(shù)列和式中的各項(xiàng)分別裂開后 消去一部分從而計算和的方法 適用于求數(shù)列的前n項(xiàng)和 若 an 為等差數(shù)列 d為公差 則 4 分組求和法 一個數(shù)列既不是等差數(shù)列 也不是等比數(shù)列 若將這個數(shù)列適當(dāng)拆開 重新組合 就會變成幾個可以求和的部分 即能分別求和 然后再合并 命題角度一分組法求和 例1設(shè)等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 且a2 8 S4 40 數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)和為Tn 且Tn 2bn 3 0 n N 1 求數(shù)列 an bn 的通項(xiàng)公式 2 設(shè)cn 求數(shù)列 cn 的前n項(xiàng)和Pn 解析 1 設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d 由題意 得解得所以an 4n 因?yàn)門n 2bn 3 0 所以當(dāng)n 1時 b1 3 當(dāng)n 2時 Tn 1 2bn 1 3 0 由 得bn 2bn 1 n 2 所以數(shù)列 bn 為等比數(shù)列 所以bn 3 2n 1 2 cn 當(dāng)n為偶數(shù)時 Pn a1 a3 an 1 b2 b4 bn 2n 1 n2 2 當(dāng)n為奇數(shù)時 解法一 n 1為偶數(shù) Pn Pn 1 cn 2 n 1 1 n 1 2 2 4n 2n n2 2n 1 解法二 Pn a1 a3 an 2 an b2 b4 bn 1 2n n2 2n 1 所以Pn 方法歸納在處理一般數(shù)列求和時 一般要注意使用轉(zhuǎn)化思想 把一般的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)行求和 在求和時 要分析清楚哪些項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列 哪些項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列 清晰正確地求解 在利用分組求和法求和時 有時數(shù)列的各項(xiàng)是正負(fù)交替的 所以一般需要對項(xiàng)數(shù)n進(jìn)行討論 最后驗(yàn)證是否可以合并為一個公式 例2 2018陜西質(zhì)量檢測一 已知在遞增的等差數(shù)列 an 中 a1 2 a3是a1和a9的等比中項(xiàng) 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 2 若bn Sn為數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)和 求S100的值 命題角度二裂項(xiàng)相消法求和 解析 1 設(shè)公差為d d 0 則an a1 n 1 d a3是a1和a9的等比中項(xiàng) a1a9 即 2 2d 2 2 2 8d 解得d 0 舍去 或d 2 an 2 2 n 1 2n 2 由 1 得bn S100 b1 b2 b100 方法歸納 1 裂項(xiàng)相消法求和就是將數(shù)列中的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或多項(xiàng) 使這些分開的項(xiàng)出現(xiàn)有規(guī)律的相互抵消 要注意消去了哪些項(xiàng) 保留了哪些項(xiàng) 2 消項(xiàng)規(guī)律 消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng) 后邊就剩幾項(xiàng) 前邊剩第幾項(xiàng) 后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng) 例3 2017天津 18 13分 已知 an 為等差數(shù)列 前n項(xiàng)和為Sn n N bn 是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列 且公比大于0 b2 b3 12 b3 a4 2a1 S11 11b4 1 求 an 和 bn 的通項(xiàng)公式 2 求數(shù)列 a2nb2n 1 的前n項(xiàng)和 n N 命題角度三錯位相減法求和 解析 1 設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d 等比數(shù)列 bn 的公比為q 由已知b2 b3 12 得b1 q q2 12 而b1 2 所以q2 q 6 0 解得q 2或q 3 又因?yàn)閝 0 所以q 2 所以bn 2n 由b3 a4 2a1 可得3d a1 8 由S11 11b4 可得a1 5d 16 聯(lián)立 解得a1 1 d 3 由此可得an 3n 2 所以數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為an 3n 2 數(shù)列 bn 的通項(xiàng)公式為bn 2n 2 設(shè)數(shù)列 a2nb2n 1 的前n項(xiàng)和為Tn 由a2n 6n 2 b2n 1 2 4n 1 有a2nb2n 1 3n 1 4n 故Tn 2 4 5 42 8 43 3n 1 4n 4Tn 2 42 5 43 8 44 3n 4 4n 3n 1 4n 1 上述兩式相減 得 3Tn 2 4 3 42 3 43 3 4n 3n 1 4n 1 4 3n 1 4n 1 3n 2 4n 1 8 所以Tn 4n 1 所以數(shù)列 a2nb2n 1 的前n項(xiàng)和為 4n 1 方法歸納 應(yīng)用錯位相減法求和需注意的問題 1 錯位相減法適用于求數(shù)列 an bn 的前n項(xiàng)和 其中 an 為等差數(shù)列 bn 為等比數(shù)列 2 在寫 Sn 與 qSn 的表達(dá)式時 應(yīng)特別注意將兩式 錯項(xiàng)對齊 以便下一步準(zhǔn)確地寫出 Sn qSn 的表達(dá)式 1 已知等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 且a1 1 S3 a5 令bn 1 n 1an 則數(shù)列 bn 的前2n項(xiàng)和T2n A nB 2nC nD 2n 答案B設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d 由S3 a5 得3a2 a5 3 1 d 1 4d 解得d 2 an 2n 1 bn 1 n 1 2n 1 T2n 1 3 5 7 4n 3 4n 1 2n 故選B 2 2018鄭州第二次質(zhì)檢 在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 an 中 a1 8 且2a1 a3 3a2成等差數(shù)列 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 2 若數(shù)列 bn 滿足bn 求 bn 的前n項(xiàng)和Sn 解析 1 設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為q q 0 2a1 a3 3a2成等差數(shù)列 2a3 2a1 3a2 即2a1q2 2a1 3a1q 2q2 3q 2 0 解得q 2或q 舍去 an 8 2n 1 2n 2 2 由 1 可得bn Sn 考點(diǎn)三數(shù)列中的不等式問題 例設(shè)Sn為數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 已知a1 2 對任意n N 都有2Sn n 1 an 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 2 若數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn 求證 Tn 1 解析 1 因?yàn)?Sn n 1 an 所以2Sn 1 nan 1 n 2 兩式相減 得2an n 1 an nan 1 n 2 即 n 1 an nan 1 n 2 所以當(dāng)n 2時 所以 因?yàn)閍1 2 所以an 2n 2 證明 an 2n 令bn n N 則bn 所以Tn b1 b2 bn 1 因?yàn)?0 所以1 1 因?yàn)閥 在N 上是遞減函數(shù) 所以y 1 在N 上是遞增函數(shù) 所以當(dāng)n 1時 Tn取得最小值 所以 Tn 1 方法歸納 解決數(shù)列與函數(shù) 不等式的綜合問題的注意點(diǎn) 1 數(shù)列是一類特殊的函數(shù) 其定義域是正整數(shù) 在求數(shù)列最值或不等關(guān)系時要特別注意 2 解題時應(yīng)準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù) 利用函數(shù)性質(zhì)時應(yīng)注意限制條件 3 證明不等關(guān)系時進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s 2018洛陽第一次統(tǒng)考 已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列 an 的前四項(xiàng)和S4 14 且a1 a3 a7成等比數(shù)列 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 2 設(shè)Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和 若 Tn an 1對一切n N 恒成立 求實(shí)數(shù) 的最大值 解析 1 設(shè)數(shù)列 an 的公差為d d 0 由已知 得解得或 舍去 所以an n 1 2 由 1 知 所以Tn 又 Tn an 1恒成立 所以 2 8 而2 8 16 當(dāng)且僅當(dāng)n 2時 等號成立 所以 16 即實(shí)數(shù) 的最大值為16