廣東省廉江市2018屆高考數(shù)學一輪復習 第四講 數(shù)學歸納法課件 理 新人教A版選修4-5.ppt

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第四講數(shù)學歸納法證明不等式 一數(shù)學歸納法 學習目標1 理解并掌握數(shù)學歸納法的概念 運用數(shù)學歸納法證明等式問題 2 學會運用數(shù)學歸納法證明幾何問題 證明整除性等問題 課堂互動講練 知能優(yōu)化訓練 一數(shù)學歸納法 課前自主學案 學習目標 課前自主學案 1 數(shù)學歸納法適用于證明一個與 有關的命題 2 數(shù)學歸納法的步驟是 1 歸納奠基 2 歸納遞推 假設當n k k N 且k n0 時命題成立 3 結(jié)論 由 1 2 可知 命題對一切n n0的自然數(shù)都成立 無限多個正整數(shù) 推導n k 1時命題也成立 思考感悟在數(shù)學歸納法中的n0是什么樣的數(shù) 提示 n0是適合命題的正整數(shù)中的最小值 有時是n0 1或n0 2 有時n0值也比較大 不一定是從1開始取值 課堂互動講練 名師點評 運用數(shù)學歸納法證明時 兩個步驟缺一不可 步驟 1 是證明的歸納基礎 步驟 2 是證明的主體 它反映了無限遞推關系 變式訓練1求證 n 1 n 2 n n 2n 1 3 5 2n 1 n N 證明 1 當n 1時 等式左邊 2 等式右邊 2 1 2 等式成立 2 假設n k k N 等式成立 即 k 1 k 2 k k 2k 1 3 5 2k 1 成立 那么n k 1時 k 2 k 3 k k 2k 1 2k 2 2 k 1 k 2 k 3 k k 2k 1 2k 1 1 3 5 2k 1 2 k 1 1 即n k 1時等式也成立 由 1 2 可知對任何n N 等式均成立 平面上有n個圓 其中每兩個圓都相交于兩點 并且每三個圓都不相交于同一點 求證 這n個圓把平面分成了f n n2 n 2部分 思路點撥 用數(shù)學歸納法證明幾何問題 主要是搞清楚當n k 1時比n k時分點增加了多少 區(qū)域增加了幾塊 本題中第k 1個圓被原來的k個圓分成2k條弧 而每一條弧把它所在部分分成了兩部分 此時共增加了2k個部分 問題就得到了解決 證明 1 當n 1時 一個圓把平面分成兩部分 且f 1 1 1 2 2 因此 n 1時命題成立 2 假設n k k 1 時 命題成立 即k個圓把平面分成f k k2 k 2部分 如果增加一個滿足條件的任一個圓 則這個圓必與前k個圓交于2k個點 這2k個點把這個圓分成2k段弧 每段弧把它所在的原有平面分成為兩部分 因此 這時平面被分割的總數(shù)在原來的基礎上又增加了2k部分 即有 f k 1 f k 2k k2 k 2 2k k 1 2 k 1 2 即當n k 1時 f n n2 n 2也成立 根據(jù) 1 2 可知n個圓把平面分成了f n n2 n 2部分 名師點評 有關諸如此類問題的論證 關鍵在于分析清楚n k與n k 1時二者的差異 這時常常借助于圖形的直觀性 然后用數(shù)學式子予以描述 建立起f k 與f k 1 之間的遞推關系 則當n k 1時 即增加一條直線l 因為任何兩條直線不平行 所以l與k條直線都相交 有k個交點 又因為任何三條直線不共點 所以這k個交點不同于k條直線的交點 且k個交點也互不相同 如此k個交點把直線l分成k 1段 每一段把它所在的平面區(qū)域分為兩部分 故新增加了k 1個平面部分 用數(shù)學歸納法證明 x 1 n 1 x 2 2n 1 n N 能被x2 3x 3整除 思路點撥 證明多項式的整除問題 關鍵是在 x 1 n 1 x 2 2n 1中湊出x2 3x 3 證明 1 當n 1時 x 1 1 1 x 2 2 1 1 x2 3x 3能被x2 3x 3整除 命題成立 2 假設當n k k 1 時 x 1 k 1 x 2 2k 1能被x2 3x 3整除 那么 x 1 k 1 1 x 2 2 k 1 1 x 1 x 1 k 1 x 2 2 x 2 2k 1 x 1 x 1 k 1 x 1 x 2 2k 1 x 1 x 2 2k 1 x 2 2 x 2 2k 1 x 1 x 1 k 1 x 2 2k 1 x2 3x 3 x 2 2k 1 因為 x 1 k 1 x 2 2k 1和x2 3x 3都能被x2 3x 3整除 所以上面的式子也能被x2 3x 3整除 這就是說 當n k 1時 x 1 k 1 1 x 2 2 k 1 1也能被x2 3x 3整除 根據(jù) 1 2 可知 命題對任何n N 都成立 名師點評 用數(shù)學歸納法證明數(shù)或式的整除性問題時 常采取加項 減項的配湊法 而配湊的方法很多 關鍵是湊成n k時假設的形式 變式訓練3求證 an 1 a 1 2n 1能被a2 a 1整除 n N 證明 1 當n 1時 a1 1 a 1 2 1 1 a2 a 1 命題顯然成立 2 假設當n k k 1 時 ak 1 a 1 2k 1能被a2 a 1整除 則當n k 1時 ak 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a 1 2 a 1 2k 1 a a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a2 a 1 a 1 2k 1 由歸納假設 以上兩項均能被a2 a 1整除 故當n k 1時 命題也成立 由 1 2 可知 對n N 命題都成立 1 數(shù)學歸納法的兩個步驟缺一不可 第一步中驗證n的初始值至關重要 它是遞推的基礎 但n的初始值不一定是1 而是n的取值范圍內(nèi)的最小值 2 第二步證明的關鍵是運用歸納假設 在使用歸納假設時 應分析p k 與p k 1 的差異與聯(lián)系 利用拆 添 并 放 縮等手段 或從歸納假設出發(fā) 從p k 1 中分離出p k 再進行局部調(diào)整 3 在研究探索性問題時 由特例歸納猜想的結(jié)論不一定是真命題 這時需要使用數(shù)學歸納法證明 其一般解題步驟是 歸納 猜想 證明