2018-2019版高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理 習題課 二項式定理學案 新人教A版選修2-3.doc
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習題課二項式定理學習目標1.能熟練地掌握二項式定理的展開式及有關概念.2.會用二項式定理解決與二項式有關的簡單問題1二項式定理及其相關概念二項式定理公式(ab)nCanCan1bCankbkCbn,稱為二項式定理二項式系數(shù)C(k0,1,n)通項Tk1Cankbk(k0,1,n)二項式定理的特例(1x)nCCxCx2CxkCxn2二項式系數(shù)的四個性質(楊輝三角的規(guī)律)(1)對稱性:CC;(2)性質:CCC;(3)二項式系數(shù)的最大值:當n是偶數(shù)時,中間的一項取得最大值,即最大;當n是奇數(shù)時,中間的兩項相等,且同時取得最大值,即最大;(4)二項式系數(shù)之和:CCCCC2n,所用方法是賦值法類型一二項式定理的靈活應用例1(1)(1)6(1)4的展開式中x的系數(shù)是()A4 B3 C3 D4(2)已知(1ax)(1x)5的展開式中x2的系數(shù)為5,則a_.考點二項展開式中的特定項問題題點求多項展開式中特定項的系數(shù)答案(1)B(2)1解析(1)方法一(1)6的展開式的通項為C()mC(1)m,(1)4的展開式的通項為C()nC,其中m0,1,2,6,n0,1,2,3,4.令1,得mn2,于是(1)6(1)4的展開式中x的系數(shù)等于C(1)0CC(1)1CC(1)2C3.方法二(1)6(1)4(1)(1)4(1)2(1x)4(12x),于是(1)6(1)4的展開式中x的系數(shù)為C1C(1)113.(2)(1ax)(1x)5(1x)5ax(1x)5.x2的系數(shù)為CaC,則105a5,解得a1.反思與感悟兩個二項式乘積的展開式中特定項問題(1)分別對每個二項展開式進行分析,發(fā)現(xiàn)它們各自項的特點(2)找到構成展開式中特定項的組成部分(3)分別求解再相乘,求和即得跟蹤訓練1(1)5的展開式中各項系數(shù)的和為2,則該展開式的常數(shù)項為()A40 B20 C20 D40(2)在(1x)6(1y)4的展開式中,記xmyn項的系數(shù)為f(m,n),則f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)_.考點二項展開式中的特定項問題題點求多項展開式中特定項的系數(shù)答案(1)D(2)120解析(1)令x1,得(1a)(21)52,a1,故5的展開式中常數(shù)項即為5的展開式中與x的系數(shù)之和5的展開式的通項為Tk1(1)kC25kx52k,令52k1,得k2,展開式中x的系數(shù)為C252(1)280,令52k1,得k3,展開式中的系數(shù)為C253(1)340,5的展開式中常數(shù)項為804040.(2)f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)CCCCCCCC120.例25的展開式中的常數(shù)項是_考點二項展開式中的特定項問題題點求多項展開式中的特定項答案解析方法一原式5,展開式的通項為(k10,1,2,5)當k15時,T6()54,當0k15時,的展開式的通項公式為(k20,1,2,5k1)令5k12k20,即k12k25.0k15且k1Z,或常數(shù)項為4CC2CC()3420.方法二原式5(x)25(x)10.求原式的展開式中的常數(shù)項,轉化為求(x)10的展開式中含x5項的系數(shù),即C()5.所求的常數(shù)項為.反思與感悟三項或三項以上的展開問題,應根據(jù)式子的特點,轉化為二項式來解決,轉化的方法通常為配方法,因式分解,項與項結合,項與項結合時,要注意合理性和簡捷性跟蹤訓練2(x2xy)5的展開式中,x5y2的系數(shù)為_考點二項展開式中的特定項問題題點求多項展開式中的特定項答案30解析方法一(x2xy)5(x2x)y5,含y2的項為T3C(x2x)3y2.其中(x2x)3中含x5的項為Cx4xCx5.所以x5y2的系數(shù)為CC30.方法二(x2xy)5為5個x2xy之積,其中有兩個取y,兩個取x2,一個取x即可,所以x5y2的系數(shù)為CCC30.例3今天是星期一,今天是第1天,那么第810天是星期()A一 B二 C三 D四考點二項式定理的綜合應用題點整除和余數(shù)問題答案A解析求第810天是星期幾,實質是求810除以7的余數(shù),應用二項式定理將數(shù)變形求余數(shù)因為810(71)10710C79C717M1(MN*),所以第810天相當于第1天,故為星期一反思與感悟(1)利用二項式定理處理整除問題,通常把底數(shù)寫成除數(shù)(或與除數(shù)密切關聯(lián)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式,再利用二項式定理展開,只考慮后面(或前面)一、二項就可以了(2)解決求余數(shù)問題,必須構造一個與題目條件有關的二項式跟蹤訓練3設aZ,且0a13,若512 017a能被13整除,則a_.考點二項式定理的綜合應用題點整除和余數(shù)問題答案1解析512 017a(521)2 017aC522 017C522 016C522 015C5211a,能被13整除,0a0,則(1x)1010的展開式中的常數(shù)項為()A1 B(C)2CC DC考點二項展開式中的特定項問題題點求多項展開式中的特定項答案D解析(1x)1010101020.設其展開式的通項為Tk1,則Tk1Cx10k,當k10時,為常數(shù)項故選D.4當n為正奇數(shù)時,7nC7n1C7n2C7被9除所得的余數(shù)是()A0 B2 C7 D8考點二項式定理的綜合應用題點整除和余數(shù)問題答案C解析原式(71)nC8n1(91)n19nC9n1C9n2C9(1)n1(1)n1.因為n為正奇數(shù),所以(1)n1297,所以余數(shù)為7.5設(21)n的展開式的各項系數(shù)之和為M,二項式系數(shù)之和為N,若M,8,N三數(shù)成等比數(shù)列,則展開式中第四項為_考點展開式中系數(shù)的和問題題點二項展開式中系數(shù)的和問題答案160x解析當x1時,可得M1,二項式系數(shù)之和N2n,由題意,得MN64,2n64,n6.第四項T4C(2)3(1)3160x.1兩個二項展開式乘積的展開式中特定項問題(1)分別對每個二項展開式進行分析,發(fā)現(xiàn)它們各自項的特點(2)找到構成展開式中特定項的組成部分(3)分別求解再相乘,求和即得2三項或三項以上的展開問題應根據(jù)式子的特點,轉化為二項式來解決(有些題目也可轉化為計數(shù)問題解決),轉化的方法通常為配方、因式分解、項與項結合,項與項結合時要注意合理性和簡捷性3用二項式定理處理整除問題,通常把底數(shù)寫成除數(shù)(或與除數(shù)密切關聯(lián)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式,再用二項式定理展開,只考慮后面(或者前面)一、二項就可以了4求二項展開式中各項系數(shù)的和差:賦值代入5確定二項展開式中的最大或最小項:利用二項式系數(shù)的性質一、選擇題1二項式12的展開式中的常數(shù)項是()A第7項 B第8項C第9項 D第10項考點二項展開式中的特定項問題題點求二項展開式的特定項答案C解析二項展開式中的通項公式為Tk1Cx12kkC2k,令12k0,得k8.常數(shù)項為第9項2(1x)8(1y)4的展開式中x2y2的系數(shù)是()A56 B84 C112 D168考點二項展開式中的特定項問題題點求多項展開式中特定項的系數(shù)答案D解析因為(1x)8的通項為Cxk,(1y)4的通項為Cyt,故(1x)8(1y)4的通項為CCxkyt.令k2,t2,得x2y2的系數(shù)為CC168.3若(x3y)n的展開式中所有項的系數(shù)的和等于(7ab)10的展開式中二項式系數(shù)的和,則n的值為()A15 B10 C8 D5考點展開式中系數(shù)的和問題題點二項展開式中系數(shù)的和問題答案D解析由于(7ab)10的展開式中二項式系數(shù)的和為CC210,令(x3y)n中xy1,則由題設知,4n210,即22n210,解得n5.4若二項式7的展開式中的系數(shù)是84,則實數(shù)a等于()A2 B. C1 D.考點二項展開式中的特定項問題題點由特定項或特定項的系數(shù)求參數(shù)答案C解析二項式7的展開式的通項公式為Tk1C(2x)7kkC27kakx72k,令72k3,得k5.故展開式中的系數(shù)是C22a5,即C22a584,解得a1.5設m為正整數(shù),(xy)2m展開式的二項式系數(shù)的最大值為a,(xy)2m1展開式的二項式系數(shù)的最大值為b,若13a7b,則m等于()A5 B6 C7 D8考點展開式中系數(shù)最大(小)的項問題題點求展開式中二項式系數(shù)最大(小)的項答案B解析(xy)2m展開式中二項式系數(shù)的最大值為C,aC.同理,bC.13a7b,13C7C,137,m6.6二項式6的展開式中不含x3項的系數(shù)之和為()A20 B24 C30 D36考點展開式中系數(shù)的和問題題點二項展開式中系數(shù)的和問題答案A解析由二項式的展開式的通項公式Tk1C(1)kx123k,令123k3,解得k3,故展開式中x3項的系數(shù)為C(1)320,而所有系數(shù)和為0,不含x3項的系數(shù)之和為20.7在(1x)n(n為正整數(shù))的二項展開式中,奇數(shù)項的和為A,偶數(shù)項的和為B,則(1x2)n的值為()A0 BABCA2B2 DA2B2考點展開式中系數(shù)的和問題題點二項展開式中系數(shù)的和問題答案C解析(1x)nAB,(1x)nAB,(1x2)n(1x)n(1x)n(AB)(AB)A2B2.89192被100除所得的余數(shù)為()A1 B81 C81 D992考點二項式定理的綜合應用題點整除和余數(shù)問題答案B解析利用9192(1009)92的展開式,或利用(901)92的展開式方法一(1009)92C10092C100919C1009092C100991C992.展開式中前92項均能被100整除,只需求最后一項除以100的余數(shù)由992(101)92C1092C102C101.前91項均能被100整除,后兩項和為919,因原式為正,可從前面的數(shù)中分離出1 000,結果為1 00091981,9192被100除可得余數(shù)為81.方法二(901)92C9092C9091C902C90C.前91項均能被100整除,剩下兩項為929018 281,顯然8 281除以100所得余數(shù)為81.二、填空題9若6的二項展開式中,常數(shù)項為,則二項式系數(shù)最大的項為_考點展開式中系數(shù)最大(小)的項問題題點求展開式中系數(shù)最大(小)的項答案x3或x3解析6二項展開式的通項為Tk1C(x2)6kkCakx123k,令123k0,得k4,Ca4,解得a2,當a2時,二項式系數(shù)最大的項為C(x2)33x3.當a2時,二項式系數(shù)最大的項為C(x2)33x3.10.3的展開式中常數(shù)項為_考點二項展開式中的特定項問題題點求多項展開式中的特定項答案20解析36展開式的通項公式為Tk1C(1)kx62k.令62k0,解得k3.故展開式中的常數(shù)項為C20.11(1.05)6的計算結果精確到0.01的近似值是_考點二項式定理的綜合應用題點整除和余數(shù)問題答案1.34解析(1.05)6(10.05)6CC0.05C0.052C0.05310.30.037 50.002 51.34.12已知n的展開式中含x的項為第6項,設(1x2x2)na0a1xa2x2a2nx2n,則a1a2a2n_.考點展開式中系數(shù)的和問題題點二項展開式中系數(shù)的和問題答案255解析因為n的展開式的通項是C(1)kx2n3k(k0,1,2,n),因為含x的項為第6項,所以當k5時,2n3k1,即n8.令x1,得a0a1a2a2n28256.又a01,所以a1a2a2n255.三、解答題13在二項式n的展開式中,前三項的系數(shù)成等差數(shù)列(1)求展開式中的常數(shù)項;(2)求展開式中系數(shù)最大的項考點展開式中系數(shù)最大(小)的項問題題點求展開式中系數(shù)最大(小)的項解(1)二項式n的展開式中,前三項的系數(shù)分別為1,.根據(jù)前三項的系數(shù)成等差數(shù)列,可得n1,求得n8或n1(舍去)故二項式n的展開式的通項為Tk1C2kx4k.令4k0,求得k4,可得展開式中的常數(shù)項為T5C4.(2)設第k1項的系數(shù)最大,則由求得2k3.因為kZ,所以k2或k3,故系數(shù)最大的項為T37x2或T47x.四、探究與拓展14若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9,且(a0a2a8)2(a1a3a9)239,則實數(shù)m_.考點展開式中系數(shù)的和問題題點多項展開式中系數(shù)的和問題答案3或1解析在(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9中,令x2,可得a0a1a2a3a8a9m9,即(a0a2a8)(a1a3a9)m9,令x0,可得(a0a2a8)(a1a3a9)(2m)9.(a0a2a8)2(a1a3a9)239,(a0a2a8)(a1a3a9)(a0a2a8)(a1a3a9)39,(2m)9m9(2mm2)939,可得2mm23,解得m1或3.15已知(1m)n(m是正實數(shù))的展開式的二項式系數(shù)之和為256,展開式中含有x項的系數(shù)為112.(1)求m,n的值;(2)求展開式中偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和;(3)求(1m)n(1x)的展開式中含x2項的系數(shù)考點二項展開式中的特定項問題題點求多項展開式中特定項的系數(shù)解(1)由題意可得2n256,解得n8,展開式的通項為Tk1Cmk,含x項的系數(shù)為Cm2112,解得m2或m2(舍去)故m,n的值分別為2,8.(2)展開式中偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為CCCC281128.(3)(12)8(1x)(12)8x(12)8,含x2項的系數(shù)為C24C221 008.- 配套講稿:
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