2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 概率 2.5.1 離散型隨機(jī)變量的均值學(xué)案 蘇教版選修2-3.doc

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2．5.1　離散型隨機(jī)變量的均值 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.通過(guò)實(shí)例理解離散型隨機(jī)變量均值的概念，能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值.2.理解離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì).3.掌握兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的均值.4.會(huì)利用離散型隨機(jī)變量的均值，反映離散型隨機(jī)變量的取值水平，解決一些相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題． 知識(shí)點(diǎn)一　離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望 設(shè)有12個(gè)西瓜，其中4個(gè)重5 kg,3個(gè)重6 kg,5個(gè)重7 kg. 思考1　任取1個(gè)西瓜，用X表示這個(gè)西瓜的重量，試問(wèn)X可以取哪些值？ 　 　 思考2　當(dāng)X取上述值時(shí)，對(duì)應(yīng)的概率分別是多少？ 　 　 思考3　如何求每個(gè)西瓜的平均重量？ 　 　 梳理　離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望 一般地，若離散型隨機(jī)變量X的概率分布如下表： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (1)數(shù)學(xué)期望：E(X)＝μ＝________________________________________________________________________. (2)性質(zhì) ①pi≥0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝1. (3)數(shù)學(xué)期望的含義：它反映了離散型隨機(jī)變量取值的____________． 知識(shí)點(diǎn)二　兩點(diǎn)分布、超幾何分布、二項(xiàng)分布的均值 1．兩點(diǎn)分布：若X～0－1分布，則E(X)＝________. 2．超幾何分布：若X～H(n，M，N)，則E(X)＝________. 3．二項(xiàng)分布：若X～B(n，p)，則E(X)＝________. 類型一　離散型隨機(jī)變量的均值 例1　某同學(xué)參加科普知識(shí)競(jìng)賽，需回答三個(gè)問(wèn)題，競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得－100分，假設(shè)這名同學(xué)回答正確的概率均為0.8，且各題回答正確與否相互之間沒(méi)有影響． (1)求這名同學(xué)回答這三個(gè)問(wèn)題的總得分X的概率分布和均值； (2)求這名同學(xué)總得分不為負(fù)分(即X≥0)的概率． 　 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　求隨機(jī)變量X的均值的方法和步驟 (1)理解隨機(jī)變量X的意義，寫出X所有可能的取值． (2)求出X取每個(gè)值的概率P(X＝k)． (3)寫出X的分布列． (4)利用均值的定義求E(X)． 跟蹤訓(xùn)練1　在有獎(jiǎng)摸彩中，一期(發(fā)行10 000張彩票為一期)有200個(gè)獎(jiǎng)品是5元，20個(gè)獎(jiǎng)品是25元，5個(gè)獎(jiǎng)品是100元．在不考慮獲利的前提下，一張彩票的合理價(jià)格是多少元？ 　 　 　 　 　 　 　 引申探究 在重復(fù)5次投籃時(shí)，命中次數(shù)為Y，隨機(jī)變量η＝5Y＋2.求E(η)．例2　某運(yùn)動(dòng)員投籃命中率為p＝0.6. (1)求投籃1次命中次數(shù)X的均值； (2)求重復(fù)5次投籃，命中次數(shù)Y的均值． 　 　 　 　 反思與感悟　(1)常見(jiàn)的兩種分布的均值 設(shè)p為一次試驗(yàn)中成功的概率，則 ①兩點(diǎn)分布E(X)＝p； ②二項(xiàng)分布E(X)＝np. 熟練應(yīng)用上述兩公式可大大減少運(yùn)算量，提高解題速度． (2)兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布辨析 ①相同點(diǎn)：一次試驗(yàn)中要么發(fā)生要么不發(fā)生． ②不同點(diǎn)： a．隨機(jī)變量的取值不同，兩點(diǎn)分布隨機(jī)變量的取值為0,1，二項(xiàng)分布中隨機(jī)變量的取值X＝0,1,2，…，n. b．試驗(yàn)次數(shù)不同，兩點(diǎn)分布一般只有一次試驗(yàn)；二項(xiàng)分布則進(jìn)行n次試驗(yàn)． 跟蹤訓(xùn)練2　根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，某地車主購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為0.5，購(gòu)買乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為0.3，設(shè)各車主購(gòu)買保險(xiǎn)相互獨(dú)立． (1)求該地1位車主至少購(gòu)買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種的概率； (2)X表示該地的100位車主中，甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買的車主數(shù)，求X的均值． 　 　 　 　 　 　 　 　 例3　一個(gè)口袋內(nèi)有n(n>3)個(gè)大小相同的球，其中有3個(gè)紅球和(n－3)個(gè)白球．已知從口袋中隨機(jī)取出一個(gè)球是紅球的概率是.不放回地從口袋中隨機(jī)取出3個(gè)球，求取到白球的個(gè)數(shù)ξ的均值E(ξ)． 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　(1)超幾何分布模型 一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中含有X件次品，則P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*. (2)超幾何分布均值的計(jì)算公式 若一個(gè)隨機(jī)變量X的分布列服從超幾何分布，則E(X)＝. 跟蹤訓(xùn)練3　設(shè)在15個(gè)同類型的零件中有2個(gè)次品，每次任取1個(gè)，共取3次，并且每次取出后不再放回，若以X表示取出次品的個(gè)數(shù)，求均值E(X)． 　 　 　 　 　 　 類型二　均值的應(yīng)用 例4　甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽，其中兩人比賽，另一人當(dāng)裁判，每局比賽結(jié)束時(shí)，負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判．設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，第1局甲當(dāng)裁判． (1)求第4局甲當(dāng)裁判的概率； (2)X表示前4局中乙當(dāng)裁判的次數(shù)，求X的均值． 　 　 　 　 　 反思與感悟　解答此類題目，應(yīng)首先把實(shí)際問(wèn)題概率模型化，然后利用有關(guān)概率的知識(shí)去分析相應(yīng)各事件可能性的大小，并列出概率分布表，最后利用有關(guān)的公式求出相應(yīng)的概率及均值． 跟蹤訓(xùn)練4　某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購(gòu)買一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)都是從裝有4個(gè)紅球、6個(gè)白球的甲箱和裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球，在摸出的2個(gè)球中，若都是紅球，則獲一等獎(jiǎng)；若只有1個(gè)紅球，則獲二等獎(jiǎng)；若沒(méi)有紅球，則不獲獎(jiǎng)． (1)求顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率； (2)若某顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，記該顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為X，求X的概率分布和均值． 　 　 　 　 　 1．現(xiàn)有一個(gè)項(xiàng)目，對(duì)該項(xiàng)目每投資10萬(wàn)元，一年后利潤(rùn)是1.2萬(wàn)元，1.18萬(wàn)元，1.17萬(wàn)元的概率分別為，，.隨機(jī)變量X表示對(duì)此項(xiàng)目投資10萬(wàn)元一年后的利潤(rùn)，則X的均值為_(kāi)_______． 2．若p為非負(fù)實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量ξ的概率分布如下表： ξ 0 1 2 P －p p 則E(ξ)的最大值為_(kāi)_______． 3．設(shè)隨機(jī)變量X～B(40，p)，且E(X)＝16，則p＝________. 4．袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上n號(hào)的有n個(gè)(n＝1,2,3,4)．現(xiàn)從袋中任取一球，ξ表示所取球的標(biāo)號(hào)． (1)求ξ的概率分布、均值； (2)若η＝aξ＋4，E(η)＝1，求a的值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 1．求離散型隨機(jī)變量的均值的步驟 (1)確定離散型隨機(jī)變量X的取值． (2)寫出分布列，并檢查分布列的正確與否． (3)根據(jù)公式寫出均值． 2．若X、Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，且Y＝aX＋b，則E(Y)＝aE(X)＋b；如果一個(gè)隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布或二項(xiàng)分布，可直接利用公式計(jì)算均值． 答案精析 問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)一 思考1　X＝5,6,7. 思考2　P(X＝5)＝＝， P(X＝6)＝＝，P(X＝7)＝. 思考3?。?＋6＋7＝. 梳理　(1)x1p1＋x2p2＋…＋xnpn (3)平均水平 知識(shí)點(diǎn)二 1．p　2.　3.np 題型探究 例1　解　(1)X的可能取值為－300， －100,100,300. P(X＝－300)＝0.23＝0.008， P(X＝－100)＝C0.80.22＝0.096， P(X＝100)＝C0.820.21＝0.384， P(X＝300)＝0.83＝0.512， 所以X的概率分布如下表： X －300 －100 100 300 P 0.008 0.096 0.384 0.512 所以E(X)＝(－300)0.008＋(－100)0.096＋1000.384＋3000.512＝180(分)． (2)這名同學(xué)總得分不為負(fù)分的概率為P(X≥0)＝P(X＝100)＋P(X＝300) ＝0.384＋0.512＝0.896. 跟蹤訓(xùn)練1　解　設(shè)一張彩票的中獎(jiǎng)?lì)~為隨機(jī)變量X，顯然X的所有可能取值為0,5,25,100.依題意X的概率分布如下表： X 0 5 25 100 P 所以E(X)＝0＋5＋25＋100 ＝0.2，所以一張彩票的合理價(jià)格是0.2元． 例2　解　(1)投籃1次，命中次數(shù)X的概率分布如下表： X 0 1 P 0.4 0.6 則E(X)＝0.6. (2)由題意知，重復(fù)5次投籃，命中次數(shù)Y服從二項(xiàng)分布，即Y～B(5,0.6)， E(Y)＝np＝50.6＝3. 引申探究 解　E(η)＝E(5Y＋2)＝5E(Y)＋2 ＝53＋2＝17. 跟蹤訓(xùn)練2　解　設(shè)該車主購(gòu)買乙種保險(xiǎn)的概率為p，由題意知p(1－0.5)＝0.3，解得p＝0.6. (1)設(shè)所求概率為P1，則 P1＝1－(1－0.5)(1－0.6)＝0.8. 故該地1位車主至少購(gòu)買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種的概率為0.8. (2)每位車主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買的概率為 (1－0.5)(1－0.6)＝0.2. ∴X～B(100,0.2)， ∴E(X)＝1000.2＝20. ∴X的均值是20. 例3　解　∵p＝，∴＝，∴n＝5， ∴5個(gè)球中有2個(gè)白球． 方法一　白球的個(gè)數(shù)ξ可取0,1,2. 則P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝. ∴E(ξ)＝0＋1＋2＝. 方法二　取到白球的個(gè)數(shù)ξ服從參數(shù)為N＝5，M＝2，n＝3的超幾何分布， 則E(ξ)＝＝＝. 跟蹤訓(xùn)練3　解　方法一　 P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， 則E(X)＝0＋1＋2 ＝. 方法二　由題意可知，X服從N＝15，M＝2，n＝3的超幾何分布， ∴E(X)＝＝＝. 例4　解　(1)記A1表示事件“第2局結(jié)果為甲勝”，A2表示事件“第3局甲參加比賽，結(jié)果為甲負(fù)”， A表示事件“第4局甲當(dāng)裁判”． 則A＝A1A2. P(A)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝. (2)X的可能取值為0,1,2. 記A3表示事件“第3局乙和丙比賽時(shí)，結(jié)果為乙勝丙”，B1表示事件“第1局結(jié)果為乙勝丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比賽時(shí)，結(jié)果為乙勝甲”，B3表示事件“第3局乙參加比賽時(shí)，結(jié)果為乙負(fù)”． 則P(X＝0)＝P(B1B2A3) ＝P(B1)P(B2)P(A3)＝， P(X＝2)＝P(1B3)＝P(1)P(B3) ＝， P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2) ＝1－－＝， E(X)＝0P(X＝0)＋1P(X＝1)＋2P(X＝2)＝. 跟蹤訓(xùn)練4　解　(1)記事件A1＝{從甲箱中摸出的1個(gè)球是紅球}， A2＝{從乙箱中摸出的1個(gè)球是紅球}， B1＝{顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)}，B2＝{顧客抽獎(jiǎng)1次獲二等獎(jiǎng)}，C＝{顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)}． 由題意，A1與A2相互獨(dú)立，A12與1A2互斥，B1與B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A12＋1A2，C＝B1＋B2. 因?yàn)镻(A1)＝＝，P(A2)＝＝， 所以P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝＝， P(B2)＝P(A12＋1A2)＝P(A12)＋P(1A2) ＝P(A1)P(2)＋P(1)P(A2) ＝P(A1)[1－P(A2)]＋[1－P(A1)]P(A2) ＝＋ ＝. 故所求概率為 P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2) ＝＋＝. (2)顧客抽獎(jiǎng)3次可視為3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，由(1)知，顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)的概率為，所以X～B. 于是P(X＝0)＝C03 ＝， P(X＝1)＝C12＝， P(X＝2)＝C21＝， P(X＝3)＝C30＝. 故X的概率分布如下表： X 0 1 2 3 P 故X的均值為E(X)＝3＝. 當(dāng)堂訓(xùn)練 1．1.18　2.　3.0.4 4．解　(1)ξ的概率分布如下表： ξ 0 1 2 3 4 P ξ的均值為E(ξ)＝0＋1＋2＋3＋4＝. (2)E(η)＝aE(ξ)＋4＝1，又E(ξ)＝， 則a＋4＝1，∴a＝－2.