2018-2019學年高中數(shù)學 第三講 柯西不等式與排序不等式 三 排序不等式練習 新人教A版選修4-5.doc

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三 排序不等式 ,　　　　　　　　[學生用書P49]) [A　基礎達標] 1．設正實數(shù)a1，a2，a3的任一排列為a′1，a′2，a′3，則＋＋的最小值為(　　) A．3　 B．6 C．9 D．12 解析：選A.設a1≥a2≥a3>0，則≥≥>0， 由排序不等式可知＋＋≥＋＋＝3. 當且僅當a′1＝a1，a′2＝a2，a′3＝a3時等號成立． 2．某學校舉行投籃比賽，按規(guī)則每個班級派三人參賽，第一人投m分鐘，第二人投n分鐘，第三人投p分鐘．某班級三名運動員A，B，C每分鐘能投進的次數(shù)分別為a，b，c，已知m＞n＞p，a＞b＞c，如何派三人上場能取得最佳成績？(　　) A．A第一，B第二，C第三 B．B第一，A第二，C第三 C．C第一，B第二，A第三 D．A第一，C第二，B第三 解析：選A.因為m＞n＞p，a＞b＞c，且由排序不等式知順序和為最大值，所以最大值為ma＋nb＋pc，此時分數(shù)最高．所以，三人上場順序是A第一，B第二，C第三． 3．若A＝x＋x＋…＋x，B＝x1x2＋x2x3＋…＋xn－1xn＋xnx1，其中x1，x2，…，xn都是正數(shù)，則A與B的大小關(guān)系為(　　) A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A≤B 解析：選C.因為序列{xn}的各項都是正數(shù)，不妨設0＜x1≤x2≤…≤xn，則x2，x3，…，xn，x1為序列{xn}的一個排列．由排序原理，得x1x1＋x2x2＋…＋xnxn≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1，即x＋x＋…＋x≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1.故選C. 4．車間里有5臺機床同時出了故障，從第1臺到第5臺的修復時間依次為4 min，8 min，6 min，10 min，5 min，每臺機床停產(chǎn)1 min損失5元，經(jīng)合理安排損失最少為(　　) A．420元 B．400元 C．450元 D．570元 解析：選A.停產(chǎn)總時間是5t1＋4t2＋3t3＋2t4＋t5. 由排序不等式得，當t1＜t2＜t3＜t4＜t5時，總時間取最小值． 所以，總時間最小值為54＋45＋36＋28＋10＝84，即損失最少為845＝420(元)． 5．已知a，b，c為正實數(shù)，則a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)(　　) A．大于零 B．大于等于零 C．小于零 D．小于等于零 解析：選B.設a≥b≥c＞0，所以a3≥b3≥c3. 根據(jù)排序原理，得a3a＋b3b＋c3c≥a3b＋b3c＋c3a. 又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2， 所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab， 所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab， 即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0. 6．如圖所示，矩形OPAQ中，a1≤a2，b1≤b2，則陰影部分的矩形的面積之和________空白部分的矩形的面積之和．(填“≥”“≤”或“＝”) 解析：陰影面積為a1b1＋a2b2，而空白面積為a1b2＋a2b1.根據(jù)順序和≥反序和可知答案． 答案：≥ 7．已知在銳角三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a＜b＜c.若M＝acos C＋bcos B＋ccos A，N＝acos B＋bcos C＋ccos A，則M與N的大小關(guān)系是________． 解析：因為銳角三角形ABC中，a＜b＜c，所以A＜B＜C＜90，所以cos A＞cos B＞cos C，由排序不等式可知M＞N. 答案：M＞N 8．某班學生要開聯(lián)歡會，需要買價格不同的禮品4件，5件和2件．現(xiàn)在選擇商店中單價分別為3元，2元和1元的禮品，則至少要花________元，最多要花________元． 解析：兩組數(shù)2件、4件、5件與1元、2元、3元的反序和S1＝23＋42＋51＝19(元)． 順序和S2＝21＋42＋53＝25(元)． 根據(jù)排序原理可知至少花19元，最多花25元． 答案：19　25 9．已知a，b，c為正數(shù)，用排序不等式證明：2(a3＋b3＋c3)≥a2(b＋c)＋b2(c＋a)＋c2(a＋b)． 證明：設正數(shù)a，b，c滿足a≤b≤c， 則a2≤b2≤c2，由排序不等式得， a2b＋b2c＋c2a≤a3＋b3＋c3，a2c＋b2a＋c2b≤a3＋b3＋c3， 兩式相加，得：2(a3＋b3＋c3)≥a2(b＋c)＋b2(c＋a)＋c2(a＋b)． 10．已知x，y，z都是正數(shù)，且x＋y＋z＝1，求＋＋的最小值． 解：不妨設x≥y≥z＞0，則≥≥＞0，且x2≥y2≥z2＞0，由排序不等式，得 ＋＋≥z2＋y2＋x2＝x＋y＋z. 又x＋y＋z＝1，所以＋＋≥1，當且僅當x＝y(tǒng)＝z＝時，等號成立． 則＋＋的最小值為1. [B　能力提升] 1．在銳角三角形中，設P＝，Q＝acos C＋bcos B＋ccos A，則P，Q的關(guān)系為________． 解析：不妨設A≥B≥C，則a≥b≥c， cos A≤cos B≤cos C， 則由排序不等式有 Q＝acos C＋bcos B＋ccos A≥acos B＋bcos C＋ccos A ＝R(2sin Acos B＋2sin Bcos C＋2sin Ccos A) ≥R[sin(A＋B)＋sin(B＋C)＋sin(A＋C)] ＝R(sin C＋sin A＋sin B) ＝P＝(R為銳角三角形ABC外接圓的半徑)． 答案：P≤Q 2．一般地，對于n個正數(shù)a1，a2，…，an，幾何平均數(shù)Gn＝，算術(shù)平均數(shù)An＝，利用排序不等式可以判斷Gn，An的大小關(guān)系為________． 解析：令bi＝(i＝1，2，…，n)， 則b1b2…bn＝1， 故可取x1≥x2≥…≥xn>0， 使得b1＝，b2＝，…，bn－1＝，bn＝. 由排序不等式有：b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋≥x1＋x2＋…＋xn＝n， 當且僅當x1＝x2＝…＝xn時取等號， 所以＋＋…＋≥n，即≥Gn， 即An≥Gn. 答案：An≥Gn 3．設x＞0，求證：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn. 證明：(1)當x≥1時，1≤x≤x2≤…≤xn. 由排序原理知， 11＋xx＋x2x2＋…＋xnxn≥xn1＋xn－1x＋…＋1xn， 所以1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn.① 又因為x，x2，…，xn，1為1，x，x2，…，xn的一個排序，于是由排序原理得 1x＋xx2＋…＋xn－1xn＋xn1≥ 1xn＋xxn－1＋…＋xn－1x＋xn1. 所以x＋x3＋…＋x2n－1≥nxn.② ①＋②，得1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn. (2)當0＜x＜1時，1＞x＞x2＞…＞xn， 同理可得結(jié)論． 綜合(1)與(2)， 所以當x＞0時， 1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn. 4．設0＜a≤b≤c且abc＝1. 試求＋＋的最小值． 解：令S＝＋＋， 則S＝＋＋ ＝bc＋ac＋ab. 由已知可得：≥≥，ab≤ac≤bc. 所以S≥ac＋ab＋bc ＝＋＋.① 又S≥ab＋bc＋ac ＝＋＋，② ①、②兩式相加得：2S≥＋＋≥3＝3. 所以S≥，即＋＋的最小值為.