2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.1 離散型隨機(jī)變量及其分布列 2.1.1 離散型隨機(jī)變量學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc

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2.1.1　離散型隨機(jī)變量 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的含義.2.了解隨機(jī)變量與函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系． 知識點一　隨機(jī)變量 思考1　拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，可能出現(xiàn)正面向上、反面向上兩種結(jié)果，這種試驗結(jié)果能用數(shù)字表示嗎？ 答案　可以，可用數(shù)字1和0分別表示正面向上和反面向上． 思考2　在一塊地里種10棵樹苗，成活的棵數(shù)為x，則x可取哪些數(shù)字？ 答案　x＝0,1,2,3，…，10. 梳理　(1)定義 在隨機(jī)試驗中，可以確定一個對應(yīng)關(guān)系，使得每一個試驗結(jié)果都用一個確定的數(shù)字表示，數(shù)字隨著試驗結(jié)果的變化而變化，像這種隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量． (2)隨機(jī)變量常用字母X，Y，ξ，η，…表示． 知識點二　隨機(jī)變量與函數(shù)的關(guān)系 相同點 隨機(jī)變量和函數(shù)都是一種一一對應(yīng)關(guān)系 區(qū)別 隨機(jī)變量是隨機(jī)試驗的結(jié)果到實數(shù)的一一對應(yīng)，函數(shù)是實數(shù)到實數(shù)的一一對應(yīng) 聯(lián)系 隨機(jī)試驗結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機(jī)變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域 知識點三　離散型隨機(jī)變量 1．定義：所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量． 2．特征： (1)可用數(shù)字表示． (2)試驗之前可以判斷其出現(xiàn)的所有值． (3)在試驗之前不能確定取何值． (4)試驗結(jié)果能一一列出． 1．離散型隨機(jī)變量的取值是任意的實數(shù)．(　　) 2．隨機(jī)變量的取值可以是有限個，也可以是無限個．(　√　) 3．離散型隨機(jī)變量是指某一區(qū)間內(nèi)的任意值．(　　) 類型一　隨機(jī)變量的概念 例1　下列變量中，哪些是隨機(jī)變量，哪些不是隨機(jī)變量？并說明理由． (1)某機(jī)場一年中每天運(yùn)送乘客的數(shù)量； (2)某單位辦公室一天中接到電話的次數(shù)； (3)明年5月1日到10月1日期間所查酒駕的人數(shù)； (4)明年某天濟(jì)南—青島的某次列車到達(dá)青島站的時間． 考點　隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的概念 題點　隨機(jī)變量的概念 解　(1)某機(jī)場一年中每天運(yùn)送乘客的數(shù)量可能為0,1,2,3，…，是隨機(jī)變化的，因此是隨機(jī)變量． (2)某單位辦公室一天中接到電話的次數(shù)可能為0,1,2,3，…，是隨機(jī)變化的，因此是隨機(jī)變量． (3)明年5月1日到10月1日期間，所查酒駕的人數(shù)可能為0,1,2,3，…，是隨機(jī)變化的，因此是隨機(jī)變量． (4)濟(jì)南—青島的某次列車到達(dá)青島站的時間每次都是隨機(jī)的，可能提前，可能準(zhǔn)時，也可能晚點，故是隨機(jī)變量． 反思與感悟　隨機(jī)變量的辨析方法 (1)隨機(jī)試驗的結(jié)果具有可變性，即每次試驗對應(yīng)的結(jié)果不盡相同． (2)隨機(jī)試驗的結(jié)果的不確定性，即每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果． 如果一個隨機(jī)試驗的結(jié)果對應(yīng)的變量具有以上兩點，則該變量即為隨機(jī)變量． 跟蹤訓(xùn)練1　擲均勻硬幣一次，隨機(jī)變量為(　　) A．?dāng)S硬幣的次數(shù) B．出現(xiàn)正面向上的次數(shù) C．出現(xiàn)正面向上的次數(shù)或反面向上的次數(shù) D．出現(xiàn)正面向上的次數(shù)與反面向上的次數(shù)之和 考點　隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的概念 題點　隨機(jī)變量的概念 答案　B 解析　擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)的結(jié)果是正面向上或反面向上，以一個標(biāo)準(zhǔn)如正面向上的次數(shù)來描述這一隨機(jī)試驗，那么正面向上的次數(shù)就是隨機(jī)變量ξ，ξ的取值是0,1.A項中，擲硬幣的次數(shù)就是1，不是隨機(jī)變量；C項中的標(biāo)準(zhǔn)模糊不清；D項中，出現(xiàn)正面向上的次數(shù)和反面向上的次數(shù)的和必是1，對應(yīng)的是必然事件，試驗前便知是必然出現(xiàn)的結(jié)果，所以不是隨機(jī)變量．故選B. 類型二　離散型隨機(jī)變量的判定 例2　下面給出四個隨機(jī)變量： ①某高速公路上某收費(fèi)站在未來1小時內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)X是一個隨機(jī)變量； ②一個沿直線y＝x進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動的質(zhì)點，它在該直線上的位置Y是一個隨機(jī)變量； ③某網(wǎng)站未來1小時內(nèi)的點擊量； ④一天內(nèi)的溫度η. 其中是離散型隨機(jī)變量的為(　　) A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 考點　隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的概念 題點　離散型隨機(jī)變量的概念 答案　C 解析?、偈牵驗?小時內(nèi)經(jīng)過該收費(fèi)站的車輛可一一列出；②不是，質(zhì)點在直線y＝x上運(yùn)動時的位置無法一一列出；③是，1小時內(nèi)網(wǎng)站的訪問次數(shù)可一一列出；④不是，1天內(nèi)的溫度η是該天最低溫度和最高溫度這一范圍內(nèi)的任意實數(shù)，無法一一列出．故選C. 反思與感悟　“三步法”判定離散型隨機(jī)變量 (1)依據(jù)具體情境分析變量是否為隨機(jī)變量． (2)由條件求解隨機(jī)變量的值域． (3)判斷變量的取值能否一一列舉出來，若能，則是離散型隨機(jī)變量；否則，不是離散型隨機(jī)變量． 跟蹤訓(xùn)練2?、倌匙髽蛞惶旖?jīng)過的某品牌轎車的輛數(shù)為ξ；②某網(wǎng)站中歌曲《愛我中華》一天內(nèi)被點擊的次數(shù)為ξ；③體積為1 000 cm3的球的半徑長；④射手對目標(biāo)進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中目標(biāo)得0分，用ξ表示該射手在一次射擊中的得分．上述問題中的ξ是離散型隨機(jī)變量的是(　　) A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 考點　隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的概念 題點　離散型隨機(jī)變量的概念 答案　B 解析　由題意知③中的球的半徑是固定的，可以求出來，所以不是隨機(jī)變量，而①②④是離散型隨機(jī)變量． 類型三　用隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗的結(jié)果 例3　寫出下列隨機(jī)變量可能取的值，并說明這些值所表示的隨機(jī)試驗的結(jié)果． (1)袋中有大小相同的紅球10個，白球5個，從袋中每次任取1個球，取后不放回，直到取出的球是白球為止，所需要的取球次數(shù)； (2)一個袋中裝有8個紅球，3個白球，從中任取5個球，其中所含白球的個數(shù)為X. 考點　離散型隨機(jī)變量的可能取值 題點　離散型隨機(jī)變量的結(jié)果 解　(1)設(shè)所需的取球次數(shù)為X，則X＝1,2,3,4，…，10,11，X＝i表示前(i－1)次取到的均是紅球，第i次取到白球，這里i＝1,2,3,4，…，11. (2)X的所有可能取值為0,1,2,3. X＝0表示取5個球全是紅球； X＝1表示取1個白球，4個紅球； X＝2表示取2個白球，3個紅球； X＝3表示取3個白球，2個紅球． 反思與感悟　解答此類問題的關(guān)鍵在于明確隨機(jī)變量的所有可能的取值，以及其取每一個值時對應(yīng)的意義，即一個隨機(jī)變量的取值可能對應(yīng)一個或多個隨機(jī)試驗的結(jié)果，解答過程中不要漏掉某些試驗結(jié)果． 跟蹤訓(xùn)練3　寫出下列隨機(jī)變量可能的取值，并說明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗的結(jié)果． (1)從學(xué)校回家要經(jīng)過3個紅綠燈路口，可能遇到紅燈的次數(shù)ξ； (2)電臺在每個整點都報時，報時所需時間為0.5分鐘，某人隨機(jī)打開收音機(jī)對時間，他所等待的時間為ξ分鐘． 考點　離散型隨機(jī)變量的可能取值 題點　離散型隨機(jī)變量的取值 解　(1)ξ可取0,1,2,3， ξ＝0表示遇到紅燈的次數(shù)為0； ξ＝1表示遇到紅燈的次數(shù)為1； ξ＝2表示遇到紅燈的次數(shù)為2； ξ＝3表示遇到紅燈的次數(shù)為3. (2)ξ的可能取值為區(qū)間[0,59.5]內(nèi)任何一個值，每一個可能取值表示他所等待的時間． 1．下列變量中，不是隨機(jī)變量的是(　　) A．一射擊手射擊一次命中的環(huán)數(shù) B．標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，水沸騰時的溫度 C．拋擲兩枚骰子，所得點數(shù)之和 D．某電話總機(jī)在時間區(qū)間(0，T)內(nèi)收到的呼叫次數(shù) 考點　隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的概念 題點　隨機(jī)變量的概念 答案　B 解析　B中水沸騰時的溫度是一個確定的值． 2．10件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取2件，可作為隨機(jī)變量的是(　　) A．取到產(chǎn)品的件數(shù) B．取到正品的概率 C．取到次品的件數(shù) D．取到次品的概率 考點　隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的概念 題點　隨機(jī)變量的概念 答案　C 解析　對于A中取到產(chǎn)品的件數(shù)，是一個常量不是變量，B，D也是一個常量，而C中取到次品的件數(shù)可能是0,1,2，是隨機(jī)變量． 3．下列敘述中，是離散型隨機(jī)變量的為(　　) A．某人早晨在車站等出租車的時間 B．把一杯開水置于空氣中，讓它自然冷卻，每一時刻它的溫度 C．射擊十次，命中目標(biāo)的次數(shù) D．袋中有2個黑球，6個紅球，任取2個，取得1個紅球的可能性 考點　隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的概念 題點　離散型隨機(jī)變量的概念 答案　C 4．從標(biāo)有1～10的10支竹簽中任取2支，設(shè)所得2支竹簽上的數(shù)字之和為X，那么隨機(jī)變量X可能取得的值有________個． 考點　離散型隨機(jī)變量的可能取值 題點　離散型隨機(jī)變量的取值 答案　17 解析　X的可能取值為3,4,5，…，19，共17個． 5．甲、乙兩隊員進(jìn)行乒乓球單打比賽，規(guī)定采用“七局四勝制”．用ξ表示需要比賽的局?jǐn)?shù)，寫出“ξ＝6”時表示的試驗結(jié)果． 考點　離散型隨機(jī)變量的可能取值 題點　離散型隨機(jī)變量的結(jié)果 解　根據(jù)題意可知，ξ＝6表示甲在前5局中勝3局且在第6局中勝出或乙在前5局中勝3局且在第6局中勝出． 1．所謂的隨機(jī)變量就是試驗結(jié)果和實數(shù)之間的一個對應(yīng)關(guān)系，隨機(jī)變量是將試驗的結(jié)果數(shù)量化，變量的取值對應(yīng)于隨機(jī)試驗的某一個隨機(jī)事件． 2．寫隨機(jī)變量表示的結(jié)果，要看三個特征：(1)可用數(shù)來表示；(2)試驗之前可以判斷其可能出現(xiàn)的所有值；(3)在試驗之前不能確定取值． 一、選擇題 1．將一枚均勻骰子擲兩次，不能作為隨機(jī)變量的是(　　) A．兩次擲得的點數(shù) B．兩次擲得的點數(shù)之和 C．兩次擲得的最大點數(shù) D．第一次擲得的點數(shù)減去第二次擲得的點數(shù)的差 考點　隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的概念 題點　隨機(jī)變量的概念 答案　A 解析　兩次擲得的點數(shù)的取值是一個數(shù)對，不是一個數(shù)． 2．拋擲兩枚骰子一次，X為第一枚骰子擲出的點數(shù)與第二枚擲出的點數(shù)之差，則X的所有可能的取值為(　　) A．0≤X≤5，x∈N B．－5≤X≤0，x∈Z C．－1≤X≤6，x∈N D．－5≤X≤5，x∈Z 考點　離散型隨機(jī)變量的可能取值 題點　離散型隨機(jī)變量的取值 答案　D 解析　兩次擲出點數(shù)均可取1～6所有整數(shù)， 所以X∈[－5,5]，x∈Z. 3．下列變量中，離散型隨機(jī)變量的個數(shù)為(　　) ①在2 012張已編號(從1號到2 012號)的卡片中取一張，被取出的號碼為ξ； ②在2 012張已編號(從1號到2 012號)的卡片中任取三張，被取出的號碼和為X； ③某加工廠加工的某種銅管，外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差Y； ④投擲一枚骰子，正面向上的點數(shù)為ξ. A．1 B．2 C．3 D．4 考點　隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的概念 題點　離散型隨機(jī)變量的概念 答案　C 解析?、壑衁取值在某一區(qū)間內(nèi)，不是離散型隨機(jī)變量． 4．某人進(jìn)行射擊，共有5發(fā)子彈，擊中目標(biāo)或子彈打完就停止射擊，射擊次數(shù)為ξ，則“ξ＝5”表示的試驗結(jié)果是(　　) A．第5次擊中目標(biāo) B．第5次未擊中目標(biāo) C．前4次均未擊中目標(biāo) D．第4次擊中目標(biāo) 考點　離散型隨機(jī)變量的可能取值 題點　離散型隨機(jī)變量的結(jié)果 答案　C 解析　ξ＝5表示前4次均未擊中目標(biāo)，故選C. 5．拋擲兩枚骰子各一次，記第一枚骰子擲出的點數(shù)與第二枚骰子擲出的點數(shù)的差為X，則“X>4”表示的試驗的結(jié)果為(　　) A．第一枚為5點，第二枚為1點 B．第一枚大于4點，第二枚也大于4點 C．第一枚為6點，第二枚為1點 D．第一枚為4點，第二枚為1點 考點　離散型隨機(jī)變量的可能取值 題點　離散型隨機(jī)變量的結(jié)果 答案　C 6．設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過5盞信號燈，Y表示汽車首次停下時已通過的信號燈的盞數(shù)，則表示“遇到第5盞信號燈時首次停下”的事件是(　　) A．Y＝5 B．Y＝4 C．Y＝3 D．Y＝2 考點　離散型隨機(jī)變量的可能取值 題點　離散型隨機(jī)變量的取值 答案　B 7．一串鑰匙有6枚，只有一枚能打開鎖，依次試驗，打不開的扔掉，直到找到能開鎖的鑰匙為止，則試驗次數(shù)X的最大可能取值為(　　) A．6 B．5 C．4 D．2 考點　離散型隨機(jī)變量的可能取值 題點　離散型隨機(jī)變量的取值 答案　B 解析　由于是逐次試驗，可能前5次都打不開鎖，那么剩余的鑰匙一定能開鎖，故選B. 8．一用戶在打電話時忘了號碼的最后四位數(shù)字，只記得最后四位數(shù)字兩兩不同，且都大于5，于是他隨機(jī)撥最后四位數(shù)字(兩兩不同)，設(shè)他撥到所要號碼時已撥的次數(shù)為ξ，則隨機(jī)變量ξ的所有可能取值的種數(shù)為(　　) A．24 B．20 C．4 D．18 考點　離散型隨機(jī)變量的可能取值 題點　離散型隨機(jī)變量的取值 答案　A 解析　由于后四位數(shù)字兩兩不同，且都大于5，因此只能是6,7,8,9四位數(shù)字的不同排列，故有A＝24種． 9．對一批產(chǎn)品逐個進(jìn)行檢測，第一次檢測到次品前已檢測的產(chǎn)品個數(shù)為ξ，則ξ＝k表示的試驗結(jié)果為(　　) A．第k－1次檢測到正品，而第k次檢測到次品 B．第k次檢測到正品，而第k＋1次檢測到次品 C．前k－1次檢測到正品，而第k次檢測到次品 D．前k次檢測到正品，而第k＋1次檢測到次品 考點　離散型隨機(jī)變量的可能取值 題點　離散型隨機(jī)變量的結(jié)果 答案　D 解析　由題意，得ξ＝k表示第一次檢測到次品前已檢測的產(chǎn)品個數(shù)為k，因此前k次檢測到的都是正品，第k＋1次檢測到的是次品，故選D. 二、填空題 10．下列隨機(jī)變量中不是離散型隨機(jī)變量的是________．(填序號) ①某賓館每天入住的旅客數(shù)量X； ②廣州某水文站觀測到一天中珠江的水位X； ③深圳歡樂谷一日接待游客的數(shù)量X； ④虎門大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)X. 考點　隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的概念 題點　離散型隨機(jī)變量的概念 答案　② 11．袋中有大小相同的紅球6個，白球5個，從袋中每次任意取出1個球，直到取出的球是白球為止，所需要的取球次數(shù)為隨機(jī)變量X，則X的可能取值為________． 考點　離散型隨機(jī)變量的可能取值 題點　離散型隨機(jī)變量的取值 答案　1,2,3,4,5,6,7 解析　由于取到是白球時，取球停止，所以取球次數(shù)可以是1,2,3，…，7. 12．一木箱中裝有8個同樣大小的籃球，分別編號為1,2,3,4,5,6,7,8，現(xiàn)從中隨機(jī)取出3個籃球，以ξ表示取出的籃球的最大號碼，則ξ＝8表示的試驗結(jié)果有________種． 考點　離散型隨機(jī)變量的可能取值 題點　離散型隨機(jī)變量的結(jié)果 答案　21 解析　ξ＝8表示在3個籃球中，一個編號是8，另外兩個從剩余7個號中選2個，有C種方法，即21種． 三、解答題 13．某車間三天內(nèi)每天生產(chǎn)10件某產(chǎn)品，其中第一天、第二天分別生產(chǎn)了1件、2件次品，而質(zhì)檢部門每天要在生產(chǎn)的10件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4件進(jìn)行檢查，若發(fā)現(xiàn)有次品，則當(dāng)天的產(chǎn)品不能通過．若廠內(nèi)對車間生產(chǎn)的產(chǎn)品采用記分制，兩天全不通過檢查得0分，通過一天、兩天分別得1分、2分．設(shè)該車間在這兩天內(nèi)總得分為ξ，寫出ξ的可能取值，并說明這些值所表示的隨機(jī)試驗的結(jié)果． 考點　離散型隨機(jī)變量的可能取值 題點　離散型隨機(jī)變量的取值 解　ξ的可能取值為0,1,2. ξ＝0表示在兩天檢查中均發(fā)現(xiàn)了次品； ξ＝1表示在兩天檢查中有1天沒有檢查到次品，1天檢查到了次品； ξ＝2表示在兩天檢查中都沒有發(fā)現(xiàn)次品． 四、探究與拓展 14．在一次比賽中，需回答三個問題，比賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得－100分，則選手甲回答這三個問題的總得分ξ的所有可能取值是____________． 考點　離散型隨機(jī)變量的可能取值 題點　離散型隨機(jī)變量的取值 答案　－300，－100,100,300 解析　∵答對的個數(shù)可以取0,1,2,3，所對應(yīng)的得分為－300，－100,100,300，∴ξ可?。?00，－100,100,300. 15．一個袋中裝有5個白球和5個黑球，從中任取3個，其中所含白球的個數(shù)為ξ. (1)列表說明可能出現(xiàn)的結(jié)果與對應(yīng)的ξ的值； (2)若規(guī)定抽取3個球中，每抽到一個白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管結(jié)果都加上6分．求最終得分η的可能取值，并判定η的隨機(jī)變量類型． 考點　離散型隨機(jī)變量的可能取值 題點　離散型隨機(jī)變量的取值 解　(1) ξ 0 1 2 3 結(jié)果 取得3個黑球 取得1個白球2個黑球 取得2個白球1個黑球 取得3個白球 (2)由題意可得η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值范圍為{0,1,2,3}，所以η對應(yīng)的各值是：50＋6,51＋6,52＋6,53＋6. 故η的可能取值為{6,11,16,21}，顯然η為離散型隨機(jī)變量．