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4.2.1 直線與圓的位置關系
【選題明細表】
知識點、方法
題號
直線與圓位置關系的判定
3,4
相交問題
1,5,6,11
相切問題
2,7,8,9
直線與圓位置關系的應用
9,10,12,13
1.(2018云南昆明模擬)已知直線l:y=x+m與圓C:x2+(y-3)2=6相交于A,B兩點,若|AB|=2,則實數m的值等于( C )
(A)-7或-1 (B)1或7
(C)-1或7 (D)-7或1
解析:圓心(0,3)到直線l的距離d==,
故+2=6,解得:m=-1或m=7,故選C.
2.若圓C的半徑為1,圓心在第一象限,且與直線4x-3y=0和x軸相切,則該圓的標準方程是( B )
(A)(x-3)2+(y-)2=1
(B)(x-2)2+(y-1)2=1
(C)(x-1)2+(y-3)2=1
(D)(x-)2+(y-1)2=1
解析:設圓心為(a,1),由已知得d==1,由a>0,所以a=2.
3.(2018江西新余高一期末)曲線y=1+與直線kx-y-2k+4=0有兩個交點時,實數k取值范圍是( A )
(A)(,) (B)(,)
(C)(,) (D)(0,)
解析:曲線y=1+,因為x∈[-2,2],y=1+≥1,所以x2+(y-1)2=4,表示圓心為M(0,1),半徑r=2的圓的上半部分.直線y=k(x-2)+4表示過定點P(2,4)的直線,當直線與圓相切時,由圓心到直線kx-y+4-2k=0的距離d==2,解得k=.當直線經過點B(-2,1)時,直線PB的斜率為k=.所以要使直線與曲線有兩個不同的公共點,則必有
r,
所以點M(-2,4)在圓C外,切線有兩條.
(1)當切線的斜率存在時,設過點M(-2,4)的圓C的切線方程為y-4=k(x+2),即kx-y+2k+4=0.
由圓心C(1,0)到切線的距離等于半徑3,
得=3.
解得k=-,代入切線方程得7x+24y-82=0.
(2)當切線的斜率不存在時,圓心C(1,0)到直線x=-2的距離等于半 徑3,
所以x=-2也是圓C的切線方程.
綜上(1)(2),所求圓C的切線方程為x+2=0或7x+24y-82=0.
9.若直線ax+by-3=0和圓x2+y2+4x-1=0相切于點P(-1,2),則ab的值為( C )
(A)-3 (B)-2 (C)2 (D)3
解析:圓的標準方程為(x+2)2+y2=5,直線與圓相切,則圓心到直線距離為,所以=,
整理得a2-12a+5b2-9=0且直線過P(-1,2),代入得2b-a-3=0,
兩式聯立,得a=1,b=2,所以ab=2,
故選C.
10.(2018寧夏中衛(wèi)市二模)已知從圓C:(x+1)2+(y-2)2=2外一點P(x1,y1)向該圓引一條切線,切點為M,O為坐標原點,且有|PM|=|PO|,則當|PM|取最小值時點P的坐標為 .
解析:
如圖所示,圓心C(-1,2),半徑r=.
因為|PM|=|PO|,
所以|PO|2+r2=|PC|2(C為圓心,r為圓的半徑),
所以++2=(x1+1)2+(y1-2)2,即2x1-4y1+3=0.要使|PM|最小,只要|PO|最小即可.
當直線PO垂直于直線2x-4y+3=0時,即直線PO的方程為2x+y=0時,|PM|最小,此時P點即為兩直線的交點,得P點坐標(-,).
答案:(-,)
11.已知直線ax+y-2=0與圓心為C的圓(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B兩點,且△ABC為等邊三角形,則實數a= .
解析:依題意,圓C的半徑是2,圓心C(1,a)到直線ax+y-2=0的距離等于2=,
于是有=,
即a2-8a+1=0,
解得a=4.
答案:4
12.(2018河南平頂山高一期末)設有一條光線從P(-2,4)射出,并且經x軸上一點Q(2,0)反射.
(1)求入射光線和反射光線所在的直線方程(分別記為l1,l2);
(2)設動直線l:x=my-2,當點M(0,-6)到l的距離最大時,求l,l1,l2所圍成的三角形的內切圓(即圓心在三角形內,并且與三角形的三邊相切的圓)的方程.
解:(1)因為kPQ=-,
所以l1:y=-(x-2),
因為l1,l2關于x軸對稱,
所以l2:y=(x-2).
(2)因為l恒過點N(-2,0),
當MN⊥l時,M到l的距離最大,因為kMN=-,所以m=,所以l的方程為x=y-2,
設所求方程為(x-2)2+(y-t)2=r2,所以r==,得t=2,
所以所求方程為(x-2)2+(y-2)2=1.
13.(2018蘭州二十七中高二上期末)已知半徑為5的圓的圓心在x軸上,圓心的橫坐標是整數,且與直線4x+3y-29=0相切.
(1)求圓的方程;
(2)設直線ax-y+5=0與圓相交于A,B兩點,求實數a的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,是否存在實數a,使得過點P(-2,4)的直線l垂直平分弦AB?若存在,求出實數a的值;若不存在,請說明理由.
解:(1)設圓心為M(m,0)(m∈Z),
由于圓與直線4x+3y-29=0相切且半徑為5,
所以=5,
即|4m-29|=25.
因為m為整數,故m=1.
故所求的圓的方程是(x-1)2+y2=25.
(2)直線ax-y+5=0,即y=ax+5,
代入圓的方程消去y整理,得
(a2+1)x2+2(5a-1)x+1=0.
由于直線ax-y+5=0交圓于A,B兩點,
故Δ=4(5a-1)2-4(a2+1)>0,
即12a2-5a>0,解得a<0或a>.
所以實數a的取值范圍是(-∞,0)∪(,+∞).
(3)設符合條件的實數a存在,
由(2)得a≠0,則直線l的斜率為-,l的方程為
y=-(x+2)+4,
即x+ay+2-4a=0.
由于l垂直平分弦AB,故圓心M(1,0)必在l上,
所以1+0+2-4a=0,解得a=.
由于∈(,+∞),故存在實數a=,
使得過點P(-2,4)的直線l垂直平分弦AB.
2018-2019學年高中數學 第四章 圓與方程 4.2.1 直線與圓的位置關系練習 新人教A版必修2.doc
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