2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理 1.1 第1課時 分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理學(xué)案 蘇教版選修2-3.doc

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第1課時　分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理 學(xué)習(xí)目標　1.理解分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理.2.會用這兩個原理分析和解決一些簡單的實際計數(shù)問題． 知識點一　分類計數(shù)原理 第十三屆全運會在中國天津盛大召開，一名志愿者從上海趕赴天津為游客提供導(dǎo)游服務(wù)，每天有7個航班，6列火車． 思考1　該志愿者從上海到天津的方案可分幾類？ 　 思考2　這幾類方案中各有幾種方法？ 　 　 思考3　該志愿者從上海到天津共有多少種不同的方法？ 　 梳理　(1)完成一件事有兩類不同的方式，在第1類方式中有m種不同的方法，在第2類方式中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝________種不同的方法． (2)完成一件事有n類不同的方式，在第1類方式中有m1種不同的方法，在第2類方式中有m2種不同的方法，…，在第n類方式中有mn種不同的方法，則完成這件事共有N＝__________________種不同的方法． 知識點二　分步計數(shù)原理 若這名志愿者從上海趕赴天津為游客提供導(dǎo)游服務(wù)，但需在青島停留，已知從上海到青島每天有7個航班，從青島到天津每天有6列火車． 思考1　該志愿者從上海到天津需要經(jīng)歷幾個步驟？ 　 思考2　完成每一個步驟各有幾種方法？ 　 思考3　該志愿者從上海到天津共有多少種不同的方法？ 　 梳理　(1)完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝________種不同的方法． (2)完成一件事需要n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，則完成這件事共有N＝______________________________ 種不同的方法． 類型一　分類計數(shù)原理 例1　某單位職工義務(wù)獻血，在體檢合格的人中，O型血的共有29人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人，從中任選1人去獻血，共有多少種不同的選法？ 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　(1)應(yīng)用分類計數(shù)原理時，完成這件事的n類方法是相互獨立的，無論哪種方案中的哪種方法，都可以獨立完成這件事． (2)利用分類計數(shù)原理解題的一般思路 跟蹤訓(xùn)練1　若x，y∈N*，且x＋y≤5，則有序自然數(shù)對(x，y)共有________個． 類型二　分步計數(shù)原理 引申探究 若各位上的數(shù)字不允許重復(fù)，那么這個撥號盤可以組成多少個四位數(shù)的號碼？例2　一種號碼鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從0到9共十個數(shù)字，這4個撥號盤可以組成多少個四位數(shù)的號碼？(各位上的數(shù)字允許重復(fù)) 　 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　(1)應(yīng)用分步計數(shù)原理時，完成這件事情要分幾個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事情，每個步驟缺一不可． (2)利用分步計數(shù)原理解題的一般思路 ①分步：將完成這件事的過程分成若干步． ②計數(shù)：求出每一步中的方法數(shù)． ③結(jié)論：將每一步中的方法數(shù)相乘得最終結(jié)果． 跟蹤訓(xùn)練2　從－2，－1,0,1,2,3這六個數(shù)字中任選3個不重復(fù)的數(shù)字作為二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的系數(shù)a，b，c，則可以組成拋物線的條數(shù)為________． 類型三　兩個原理的綜合應(yīng)用 例3　現(xiàn)有5幅不同的國畫，2幅不同的油畫，7幅不同的水彩畫． (1)從中任選一幅畫布置房間，有幾種不同的選法？ (2)從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間，有幾種不同的選法？ (3)從這些畫中選出兩幅不同種類的畫布置房間，有幾種不同的選法？ 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　分類討論解決問題，必須思維清晰，保證分類標準的唯一性，這樣才能保證分類不重復(fù)，不遺漏，運用兩個原理解答時是先分類后分步還是先分步后分類，應(yīng)視具體問題而定． 跟蹤訓(xùn)練3　某外語組有9人，每人至少會英語和日語中的一門，其中7人會英語，3人會日語，從中選出會英語和日語的各一人到邊遠地區(qū)支教，有多少種不同的選法？ 　 　 　 　 　 1．某學(xué)生在書店發(fā)現(xiàn)3本好書，決定至少買其中的1本，則購買方法有________種． 2．現(xiàn)有4件不同款式的上衣和3條不同顏色的長褲，如果一條長褲與一件上衣配成一套，則不同的配法種數(shù)為________． 3．把5本書全部借給3名學(xué)生，有________種不同的借法． 4．5名乒乓球隊員中，有2名老隊員和3名新隊員．現(xiàn)從中選出3名隊員參加團體比賽，則入選的3名隊員中至少有1名老隊員的選法有________種．(用數(shù)字作答) 5．某校高中三年級一班有優(yōu)秀團員8人，二班有優(yōu)秀團員10人，三班有優(yōu)秀團員6人，學(xué)校組織他們?nèi)⒂^某愛國主義教育基地． (1)推選1人為總負責人，有多少種不同的選法？ (2)每班選1人為小組長，有多少種不同的選法？ (3)從他們中選出2個人管理生活，要求這2個人不同班，有多少種不同的選法？ 　 　 　 　 　 　 1．使用兩個原理解題的本質(zhì) ―→―→ ―→―→ 2．利用兩個計數(shù)原理解決實際問題的常用方法 答案精析 問題導(dǎo)學(xué) 知識點一 思考1　兩類，即乘飛機、坐火車． 思考2　第1類方案(乘飛機)有7種方法，第2類方案(坐火車)有6種方法． 思考3　共有7＋6＝13(種)不同的方法． 梳理　(1)m＋n　(2)m1＋m2＋…＋mn 知識點二 思考1　兩個，即先乘飛機到青島，再坐火車到天津． 思考2　第1個步驟有7種方法，第2個步驟有6種方法． 思考3　共有76＝42(種)不同的方法． 梳理　(1)mn　(2)m1m2…mn 題型探究 例1　解　從中選1人去獻血的方法共有4類． 第一類：從O型血的人中選1人去獻血，共有29種不同的方法； 第二類：從A型血的人中選1人去獻血，共有7種不同的方法； 第三類：從B型血的人中選1人去獻血，共有9種不同的方法； 第四類：從AB型血的人中選1人去獻血，共有3種不同的方法． 利用分類計數(shù)原理，可得選1人去獻血共有29＋7＋9＋3＝48(種)不同的選法． 跟蹤訓(xùn)練1　10 解析　當x＝1時，y＝1,2,3,4，共構(gòu)成4個有序自然數(shù)對； 當x＝2時，y＝1,2,3，共構(gòu)成3個有序自然數(shù)對； 當x＝3時，y＝1,2，共構(gòu)成2個有序自然數(shù)對； 當x＝4時，y＝1，共構(gòu)成1個有序自然數(shù)對． 根據(jù)分類計數(shù)原理，共有N＝4＋3＋2＋1＝10(個)有序自然數(shù)對． 例2　解　按從左到右的順序撥號可以分四步完成： 第一步，有10種撥號方式，所以m1＝10； 第二步，有10種撥號方式，所以m2＝10； 第三步，有10種撥號方式，所以m3＝10； 第四步，有10種撥號方式，所以m4＝10. 根據(jù)分步計數(shù)原理，共可以組成N＝10101010＝10 000(個)四位數(shù)的號碼． 引申探究 解　按從左到右的順序撥號可以分四步完成： 第一步，有10種撥號方式，即m1＝10； 第二步，去掉第一步撥的數(shù)字，有9種撥號方式，即m2＝9； 第三步，去掉前兩步撥的數(shù)字，有8種撥號方式，即m3＝8； 第四步，去掉前三步撥的數(shù)字，有7種撥號方式，即m4＝7. 根據(jù)分步計數(shù)原理，共可以組成N＝10987＝5 040(個)四位數(shù)的號碼． 跟蹤訓(xùn)練2　100 解析　由題意知，a不能為0， 故a的值有5種選法； b的值也有5種選法； c的值有4種選法． 由分步計數(shù)原理，得拋物線的條數(shù)為554＝100. 例3　解　(1)分為三類：從國畫中選，有5種不同的選法；從油畫中選，有2種不同的選法；從水彩畫中選，有7種不同的選法．根據(jù)分類計數(shù)原理，共有5＋2＋7＝14(種)不同的選法． (2)分為三步：國畫、油畫、水彩畫各有5種、2種、7種不同的選法，根據(jù)分步計數(shù)原理，共有527＝70(種)不同的選法． (3)分為三類：第一類是一幅選自國畫，一幅選自油畫，由分步計數(shù)原理知，有52＝10(種)不同的選法； 第二類是一幅選自國畫，一幅選自水彩畫，有57＝35(種)不同的選法； 第三類是一幅選自油畫，一幅選自水彩畫，有27＝14(種)不同的選法． 所以共有10＋35＋14＝59(種)不同的選法． 跟蹤訓(xùn)練3　解　由題意知，有1人既會英語又會日語，6人只會英語，2人只會日語． 方法一　分兩類． 第一類：從只會英語的6人中選1人說英語，有6種選法，則說日語的有2＋1＝3(種)選法，此時共有63＝18(種)選法； 第二類：從不只會英語的1人中選1人說英語，有1種選法，則選會日語的有2種選法，此時有12＝2(種)選法． 所以由分類計數(shù)原理知，共有18＋2＝20(種)選法． 方法二　設(shè)既會英語又會日語的人為甲，則甲有入選、不入選兩類情形，入選后又要分兩種：(1)教英語；(2)教日語． 第一類：甲入選． (1)甲教英語，再從只會日語的2人中選1人，由分步計數(shù)原理，有12＝2(種)選法； (2)甲教日語，再從只會英語的6人中選1人，由分步計數(shù)原理，有16＝6(種)選法， 故甲入選的不同選法共有2＋6＝8(種)． 第二類：甲不入選，可分兩步． 第一步，從只會英語的6人中選1人有6種選法； 第二步，從只會日語的2人中選1人有2種選法． 由分步計數(shù)原理，有62＝12(種)不同的選法． 綜上，共有8＋12＝20(種)不同的選法． 當堂訓(xùn)練 1．7　2.12　3.243　4.9 5．解　(1)分三類，第一類是從一班的8名優(yōu)秀團員中產(chǎn)生，有8種不同的選法；第二類是從二班的10名優(yōu)秀團員中產(chǎn)生，有10種不同的選法；第三類是從三班的6名優(yōu)秀團員中產(chǎn)生，有6種不同的選法．由分類計數(shù)原理可得，共有N＝8＋10＋6＝24(種)不同的選法． (2)分三步，第一步從一班的8名優(yōu)秀團員中選1名小組長，有8種不同的選法，第二步從二班的10名優(yōu)秀團員中選1名小組長，有10種不同的選法．第三步是從三班的6名優(yōu)秀團員中選1名小組長，有6種不同的選法．由分步計數(shù)原理可得，共有N＝8106＝480(種)不同的選法． (3)分三類：每一類又分兩步，第一類是從一班、二班的優(yōu)秀團員中各選1人，有810種不同的選法；第二類是從二班、三班的優(yōu)秀團員中各選1人，有106種不同的選法；第三類是從一班、三班的優(yōu)秀團員中各選1人，有86種不同的選法．因此，共有N＝810＋106＋86＝188(種)不同的選法．