2017-2018學年高中數(shù)學 第三講 柯西不等式與排序不等式 二 一般形式的柯西不等式優(yōu)化練習 新人教A版選修4-5.doc

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二 一般形式的柯西不等式 [課時作業(yè)] [A組　基礎鞏固] 1．已知x2＋y2＋z2＝1，則x＋2y＋2z的最大值為(　　) A．1　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：由柯西不等式得 (x＋2y＋2z)2≤(12＋22＋22)(x2＋y2＋z2)＝9， 所以－3≤x＋2y＋2z≤3. 當且僅當x＝＝時，等號成立． 所以x＋2y＋2z的最大值為3. 答案：C 2．n個正數(shù)的和與這n個正數(shù)的倒數(shù)和的乘積的最小值是(　　) A．1 B．n C．n2 D． 解析：設n個正數(shù)為x1，x2，…，xn， 由柯西不等式，得 (x1＋x2＋…＋xn) ≥2＝(1＋1＋…＋1)2＝n2. 當且僅當x1＝x2＝…＝xn時取等號． 答案：C 3．設a、b、c為正數(shù)，則(a＋b＋c)(＋＋)的最小值為(　　) A．11 B．121 C．49 D．7 解析：(a＋b＋c)≥2＝121. 答案：B 4．設a，b，c均為正數(shù)且a＋b＋c＝9，則＋＋的最小值為(　　) A．81 B．9 C．7 D．49 解析：考慮以下兩組向量： u＝，v＝(，，)． 由(uv)2≤|u|2|v|2得 2 ≤(a＋b＋c)， 當且僅當＝＝，即a＝2，b＝3，c＝4時取等號， 可得9≥(2＋3＋4)2＝81， 所以＋＋≥＝9. 答案：B 5．設非負實數(shù)α1，α2，…，αn滿足α1＋α2＋…＋αn＝1， 則y＝＋＋…＋－n的最小值為(　　) A. B． C. D． 解析：為了利用柯西不等式，注意到 (2－α1)＋(2－α2)＋…＋(2－αn)＝2n－(α1＋α2＋…＋αn)＝2n－1， 所以(2n－1) ＝[(2－α1)＋(2－α2)＋…＋(2－αn)] ≥2＝n2， 所以y＋n≥，y≥－n＝. 等號當且僅當α1＝α2＝…＝αn＝時成立，從而y有最小值. 答案：A 6．同時滿足2x＋3y＋z＝13,4x2＋9y2＋z2－2x＋15y＋3z＝82的實數(shù)x、y、z的值分別為______，______，________. 解析：可令x1＝2x，x2＝3y＋3，x3＝z＋2， 則x1＋x2＋x3＝18且x＋x＋x＝108， 由此及柯西不等式得182＝(x1＋x2＋x3)2≤(x＋x＋x)(12＋12＋12)＝1083， 上式等號成立的充要條件是＝＝?x1＝x2＝x3＝6?x＝3，y＝1，z＝4. 所以3,1,4是所求實數(shù)x，y，z的值． 答案：3　1　4 7．已知實數(shù)a，b，c，d，e滿足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16，則e的取值范圍為________． 解析：4(a2＋b2＋c2＋d2)＝(1＋1＋1＋1)(a2＋b2＋c2＋d2)≥(a＋b＋c＋d)2， 即4(16－e2)≥(8－e)2，即64－4e2≥64－16e＋e2. ∴5e2－16e≥0，故0≤e≤. 答案： 8．設a，b，c，x，y，z都是正數(shù)，且a2＋b2＋c2＝25，x2＋y2＋z2＝36， ax＋by＋cz＝30，則＝________. 解析：由柯西不等式知：2536＝(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝302＝2536， 當且僅當＝＝＝k時取等號． 由k2(x2＋y2＋z2)2＝2536，解得k＝. 所以＝k＝. 答案： 9．已知x，y，z∈R，且x－2y－3z＝4，求x2＋y2＋z2的最小值． 解析：由柯西不等式，得 [x＋(－2)y＋(－3)z]2≤[12＋(－2)2＋(－3)2](x2＋y2＋z2)， 即(x－2y－3z)2≤14(x2＋y2＋z2)， 即16≤14(x2＋y2＋z2)． 所以x2＋y2＋z2≥，當且僅當x＝＝，即當x＝，y＝－，z＝－時， x2＋y2＋z2的最小值為. 10．在△ABC中，設其各邊長分別為a，b，c，外接圓半徑為R， 求證：(a2＋b2＋c2)≥36R2. 證明：由正弦定理知＝＝＝2R， ∴(a2＋b2＋c2) ≥2＝36R2. [B組　能力提升] 1．已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1，則x2＋y2＋z2的最小值是(　　) A．1 B． C. D．2 解析：根據(jù)柯西不等式，x2＋y2＋z2＝(12＋12＋12)(x2＋y2＋z2)≥ (1x＋1y＋1z)2＝(x＋y＋z)2＝. 答案：B 2．若2a>b>0，則a＋的最小值為(　　) A．1 B．3 C．8 D．12 解析：∵2a>b>0，∴2a－b>0. ∴a＋＝[(2a－b)＋b＋] ≥3 ＝3. 當且僅當2a－b＝b＝，即a＝b＝2時等號成立． ∴當a＝b＝2時，a＋有最小值3. 答案：B 3．若a，b，c為正數(shù)，則的最小值為________． 解析：由柯西不等式可知， (＋＋)(＋＋) ≥( ＋＋)2 ＝32＝9. 答案：9 4．已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1，則＋＋的最小值為________． 解析：利用柯西不等式． 由于(x＋y＋z) ≥2＝36， 所以＋＋≥36. 當且僅當x2＝y(tǒng)2＝z2， 即x＝，y＝，z＝時， 等號成立．∴＋＋的最小值為36. 答案：36 5．已知正數(shù)x，y，z滿足x＋y＋z＝xyz，且不等式＋＋≤λ恒成立，求λ的取值范圍． 解析：＋＋≤＋＋ ＝(1 ＋1 ＋1 ) ≤[(12＋12＋12)(＋＋)]＝， 故λ的取值范圍是[，＋∞)． 6．已知函數(shù)f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集為[－1,1]． (1)求m的值； (2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求證：a＋2b＋3c≥9. 解析：(1)因為f(x＋2)＝m－|x|， 所以f(x＋2)≥0等價于|x|≤m， 由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集為{x|－m≤x≤m}． 又f(x＋2)≥0的解集為[－1,1]，故m＝1. (2)由(1)知＋＋＝1，又a，b，c∈R＋， 由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)(＋＋)≥(＋＋)2＝9.