2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的應(yīng)用 3.1 函數(shù)與方程 3.1.1 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)優(yōu)化練習(xí) 新人教A版必修1.doc

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3.1.1 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn) [課時(shí)作業(yè)] [A組　基礎(chǔ)鞏固] 1．若y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象為連續(xù)不斷的一條曲線，則下列說法正確的是(　　) A．若f(a)f(b)<0，不存在實(shí)數(shù)c∈(a，b)，使得f(c)＝0 B．若f(a)f(b)<0，存在且只存在一個(gè)實(shí)數(shù)c∈(a，b)，使得f(c)＝0 C．若f(a)f(b)>0，不存在實(shí)數(shù)c∈(a，b)，使得f(c)＝0 D．若f(a)f(b)>0，有可能存在實(shí)數(shù)c∈(a，b)，使得f(c)＝0 解析：由零點(diǎn)存在性定理可知選項(xiàng)A不正確； 對(duì)于選項(xiàng)B，可通過反例“f(x)＝x(x－1)(x＋1)在區(qū)間[－2,2]上滿足f(－2)f(2)<0，但其存在三個(gè)零點(diǎn)：－1,0,1”推翻；選項(xiàng)C可通過反例“f(x)＝(x－1)(x＋1)在區(qū)間[－2,2]上滿足 f(－2)f(2)>0，但其存在兩個(gè)零點(diǎn)：－1,1”推翻． 答案：D 2．函數(shù)f(x)＝ex＋x－2的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是(　　) A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) 解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，又f(－2)＝e－2－4<0，f(－1)＝e－1－3<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，所以f(0)f(1)<0.故函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在(0,1)． 答案：C 3．若函數(shù)y＝f(x)在R上遞增，則函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)(　　) A．至少有一個(gè) B．至多有一個(gè) C．有且只有一個(gè) D．可能有無數(shù)個(gè) 解析：在R上單調(diào)的函數(shù)最多有一個(gè)零點(diǎn)． 答案：B 4．若關(guān)于x的方程x2＋mx＋1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(－1,1) B．(－2,2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析：一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，所以Δ＝m2－4>0， 解得m>2或m<－2. 答案：C 5．若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)有零點(diǎn)，則(　　) A．f(0)＞0，f(2)＜0 B．f(0)f(2)＜0 C．在區(qū)間(0,2)內(nèi)，存在x1，x2使f(x1)f(x2)＜0 D．以上說法都不正確 解析：函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在零點(diǎn)，我們并不一定能找到x1， x2∈(a，b)，滿足f(x1)f(x2)＜0，故A、B、C都是錯(cuò)誤的，故選D. 答案：D 6．函數(shù)f(x)＝2－(x∈[－1,1])的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________． 解析：令2－＝0解得x＝0，所以函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)． 答案：1 7．函數(shù)y＝x2＋2px＋1的零點(diǎn)一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，則p的取值范圍為________． 解析：解法一：由題設(shè)，令f(x)＝y(tǒng)＝x2＋2px＋1，則有f(1)<0， 即12＋2p＋1<0，∴p<－1， ∴p的范圍為(－∞，－1) 解法二：設(shè)y＝x2＋2px＋1的零點(diǎn)為x1，x2 則∴ ∴　得p<－1. ∴p的范圍為(－∞，－1)． 答案：(－∞，－1) 8．函數(shù)f(x)＝ex＋x－2的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是________(填序號(hào))． ① (－2，－1)；②(－1,0)；③(0,1)；④(1,2) 解析：∵f(x)＝ex＋x－2，∴f(0)＝－1＜0，f(1)＝e－1＞0. ∴函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是(0,1)． 答案：③ 9．求函數(shù)f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)． 解析：解法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(2)＝4＋lg 3－2>0，由零點(diǎn)存在性定理，f(x)在(0,2)上存在實(shí)根 又f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(0，＋∞)為增函數(shù)，故f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)． 解法二：(數(shù)形結(jié)合)在同一坐標(biāo)系中作出g(x)＝2－2x和h(x)＝lg(x＋1)的圖象(如圖所示)，由圖象可知有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)． 10．關(guān)于x的方程2x2－3x＋2m＝0有兩實(shí)根均在[－1,1]內(nèi)，求m的取值范圍． 解析：方程有兩實(shí)根，所以Δ≥0， 即9－22m4≥0， 所以m≤. 因?yàn)閮筛赱－1,1]內(nèi)， 所以? 即m≥， 綜上：≤m≤. [B組　能力提升] 1．已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且該函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則三個(gè)零點(diǎn)之和等于(　　) A．0 B．1 C．－1 D．不能確定 解析：∵奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴若f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，則其和必為0. 答案：A 2．函數(shù)f(x)＝x－x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：因?yàn)閥＝x在x∈[0，＋∞)上單調(diào)遞增，y＝x在x∈R上單調(diào)遞減，所以f(x)＝x－x在x∈[0，＋∞)上單調(diào)遞增，又f(0)＝－1<0，f(1)＝>0，所以f(x)＝x－x在定義域內(nèi)有唯一零點(diǎn)． 答案：B 3．若函數(shù)f(x)＝，則g(x)＝f(4x)－x的零點(diǎn)是________． 解析：∵f(x)＝，∴g(x)＝－x，令g(x)＝0， 則有：－x＝0，解得x＝. 答案： 4．下列說法正確的有________： ①對(duì)于函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)＞0，f(b)＞0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)一定沒有零點(diǎn)． ②函數(shù)f(x)＝2x－x2有兩個(gè)零點(diǎn)． ③若奇函數(shù)、偶函數(shù)有零點(diǎn)，其和為0. ④當(dāng)a＝1時(shí)，函數(shù)f(x)＝|x2－2x|－a有三個(gè)零點(diǎn)． 解析：①錯(cuò)，如圖． ②錯(cuò)，應(yīng)有三個(gè)零點(diǎn)． ③對(duì)，奇、偶函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其和為0. ④設(shè)u(x)＝|x2－2x|＝|(x－1)2－1|，如圖向下平移1個(gè)單位，頂點(diǎn)與x軸相切，圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn)．∴a＝1. 答案：③④ 5．已知函數(shù)f(x)＝4x＋m2x＋1僅有一個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍，并求出零點(diǎn)． 解析：令2x＝t(t>0)，則在方程t2＋mt＋1＝0中， (1)Δ＝0，即m2－4＝0，m＝2時(shí)， t＝1或t＝－1(舍去)． 由2x＝1，得x＝0，滿足題意，即m＝－2時(shí)，有唯一的零點(diǎn)0. (2)Δ>0，即m>2或m<－2時(shí)，要使函數(shù)有一零點(diǎn)，即須滿足方程t2＋mt＋1＝0有一正一負(fù)兩根． 而t1t2＝1>0，故這一情況不會(huì)存在． 綜上所述，m＝－2時(shí)，f(x)有唯一的零點(diǎn)0. 6．已知關(guān)于x的函數(shù)y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零點(diǎn)． (1)求m的范圍； (2)若函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且其倒數(shù)之和為－4，求m的值． 解析：(1)當(dāng)m＋6＝0時(shí)，函數(shù)為y＝－14x－5顯然有零點(diǎn)， 當(dāng)m＋6≠0時(shí)，由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)＝－9m－5≥0，得m≤－. ∴當(dāng)m≤－且m≠－6時(shí)，二次函數(shù)有零點(diǎn)． 綜上，m≤－. (2)設(shè)x1、x2是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則有 x1＋x2＝－，x1x2＝. ∵＋＝－4，即＝－4， ∴－＝－4，解得m＝－3. 且當(dāng)m＝－3時(shí)，m＋6≠0，Δ>0符合題意， ∴m的值為－3.