2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 一 數(shù)學(xué)歸納法講義（含解析）新人教A版選修4-5.doc

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一 數(shù)學(xué)歸納法 1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的概念 先證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(例如可取n0＝1)時(shí)命題成立，然后假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，k≥n0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立．這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法． 2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法適用范圍 數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍僅限于與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明． 3．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題步驟 (1)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(如取n0＝1或2等)時(shí)命題成立； (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，k≥n0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立． 由此可以斷定，對(duì)于任意不小于n0的正整數(shù)n，命題都成立． 利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 [例1]　用數(shù)學(xué)歸納法證明12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1. [思路點(diǎn)撥]　首先判斷第1步是否滿足，然后考慮由n＝k到n＝k＋1時(shí)增加了哪些項(xiàng)，進(jìn)行分析變形，從而證明等式． [證明]　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝12＝1，右邊＝(－1)0＝1，所以等式成立． (2)假設(shè)n＝k(k∈N＋，k≥1)時(shí)，等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1. 那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，則有 12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2 ＝(－1)k－1＋(－1)k(k＋1)2 ＝(－1)k[－k＋2(k＋1)] ＝(－1)k， 所以n＝k＋1時(shí)，等式也成立． 由(1)(2)得對(duì)任意n∈N＋，有12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1. 利用數(shù)學(xué)歸納法證明代數(shù)恒等式時(shí)要注意兩點(diǎn)：一是要準(zhǔn)確表述n＝n0時(shí)命題的形式，二是要準(zhǔn)確把握由n＝k到n＝k＋1時(shí)，命題結(jié)構(gòu)的變化特點(diǎn)．并且一定要記?。涸谧C明n＝k＋1成立時(shí)，必須使用歸納假設(shè)． 1．在用數(shù)學(xué)歸納法證明，對(duì)任意的正偶數(shù)n，均有 1－＋－＋…＋－＝2 成立時(shí)， (1)第一步檢驗(yàn)的初始值n0是多少？ (2)第二步歸納假設(shè)n＝2k時(shí)(k∈N＋)等式成立，需證明n為何值時(shí)，方具有遞推性； (3)若第二步歸納假設(shè)n＝k(k為正偶數(shù))時(shí)等式成立，需證明n為何值時(shí)，等式成立． 解：(1)n0為2.此時(shí)左邊為1－，右邊為2＝. (2)假設(shè)n＝2k(k∈N＋)時(shí)，等式成立，就需證明n＝2k＋2(即下一個(gè)偶數(shù))時(shí)，命題也成立． (3)若假設(shè)n＝k(k為正偶數(shù))時(shí)，等式成立，就需證明n＝k＋2(即k的下一個(gè)正偶數(shù))時(shí)，命題也成立． 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明： ＋＋…＋＝(n∈N＋)． 證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝＝， 右邊＝＝， 左邊＝右邊，等式成立． (2)假設(shè)n＝k(k∈N＋，k≥1)時(shí)，等式成立． 即＋＋…＋＝， 當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 左邊＝＋＋…＋＋ ＝＋ ＝ ＝ ＝， ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立． 由(1)(2)知對(duì)任意n∈N＋，等式成立． 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題 [例2]　求證：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除(n∈N＋)． [證明]　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a2＋(a＋1)＝a2＋a＋1，可被a2＋a＋1整除． (2)假設(shè)n＝k(k∈N＋，k≥1)時(shí)，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ak＋2＋(a＋1)2k＋1 ＝aak＋1＋(a＋1)2(a＋1)2k－1 ＝aak＋1＋a(a＋1)2k－1＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1 ＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1， 由假設(shè)可知a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]能被a2＋a＋1整除， 所以ak＋2＋(a＋1)2k＋1能被a2＋a＋1整除， 即n＝k＋1時(shí)命題也成立． 由(1)(2)可知命題對(duì)所有n∈N＋都成立． 利用數(shù)學(xué)歸納法證明整除時(shí)，關(guān)鍵是整理出除數(shù)因式與商數(shù)因式積的形式．這就往往要涉及到“添項(xiàng)”“減項(xiàng)”“因式分解”等變形技巧，湊出n＝k時(shí)的情形，從而利用歸納假設(shè)使問題得證． 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明：(3n＋1)7n－1(n∈N＋)能被9整除． 證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，47－1＝27能被9整除命題成立． (2)假設(shè)n＝k時(shí)命題成立，即(3k＋1)7k－1能被9整除，當(dāng)n＝k＋1時(shí)， [(3k＋3)＋1]7k＋1－1＝[3k＋1＋3]77k－1 ＝7(3k＋1)7k－1＋217k ＝[(3k＋1)7k－1]＋18k7k＋67k＋217k ＝[(3k＋1)7k－1]＋18k7k＋277k， 由歸納假設(shè)(3k＋1)7k－1能被9整除， 又因?yàn)?18k7k＋277k也能被9整除， 所以[3(k＋1)＋1]7k＋1－1能被9整除，即n＝k＋1時(shí)命題成立． 則由(1)(2)可知對(duì)所有正整數(shù)n命題成立． 4．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1－(3＋x)n(n∈N＋)能被x＋2整除． 證明：(1)n＝1時(shí)，1－(3＋x)＝－(x＋2)，能被x＋2整除，命題成立． (2)假設(shè)n＝k(k≥1)時(shí)，1－(3＋x)n能被x＋2整除，則可設(shè)1－(3＋x)k＝(x＋2)f(x)(f(x)為k－1次多項(xiàng)式)， 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1－(3＋x)k＋1＝1－(3＋x)(3＋x)k ＝1－(3＋x)[1－(x＋2)f(x)] ＝1－(3＋x)＋(x＋2)(3＋x)f(x) ＝－(x＋2)＋(x＋2)(3＋x)f(x) ＝(x＋2)[－1＋(3＋x)f(x)]， 能被x＋2整除，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題成立． 由(1)(2)可知，對(duì)n∈N＋，1－(3＋x)n能被x＋2整除. 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題 [例3]　平面上有n(n≥2，且n∈N＋)條直線，其中任意兩條直線不平行，任意三條不過同一點(diǎn)，求證：這n條直線共有f(n)＝個(gè)交點(diǎn)． [思路點(diǎn)撥]　本題考查數(shù)學(xué)歸納法在證明幾何命題中的應(yīng)用，解答本題應(yīng)搞清交點(diǎn)隨n的變化而變化的規(guī)律，然后采用數(shù)學(xué)歸納法證明． [證明]　(1)當(dāng)n＝2時(shí)， ∵符合條件是兩直線只有1個(gè)交點(diǎn)， 又f(2)＝2(2－1)＝1. ∴當(dāng)n＝2時(shí)，命題成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2且k∈N＋)時(shí)命題成立，就是該平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何k條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(k)＝k(k－1)， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，任取其中一條直線記為l，如圖，剩下的k條直線為l1，l2，…，lk.由歸納假設(shè)知，它們之間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(k)＝. 由于l與這k條直線均相交且任意三條不過同一點(diǎn)，所以直線l與l1，l2，l3，…，lk的交點(diǎn)共有k個(gè)． ∴f(k＋1)＝f(k)＋k ＝＋k＝ ＝＝. ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題成立． 由(1)(2)可知，命題對(duì)一切n∈N＋且n≥2成立． 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題時(shí)，一定要清楚從n＝k到n＝k＋1時(shí)，新增加的量是多少．一般地，證明第二步時(shí)，常用的方法是加1法，即在原來k的基礎(chǔ)上，再增加一個(gè)，當(dāng)然我們也可以從k＋1個(gè)中分出1個(gè)來，剩下的k個(gè)利用假設(shè)． 5．求證：凸n邊形對(duì)角線條數(shù)f(n)＝(n∈N＋，n≥3)． 證明：(1)當(dāng)n＝3時(shí)，即f(3)＝0時(shí)，三角形沒有對(duì)角線，命題成立． (2)假設(shè)n＝k(k∈N＋，k≥3)時(shí)命題成立，即凸k邊形對(duì)角線條數(shù)f(k)＝.將凸k邊形A1A2…Ak在其外面增加一個(gè)新頂點(diǎn)Ak＋1，得到凸k＋1邊形A1A2…AkAk＋1，Ak＋1依次與A2，A3，…，Ak－1相連得到對(duì)角線k－2條，原凸k邊形的邊A1Ak變成了凸k＋1邊形的一條對(duì)角線，則凸k＋1邊形的對(duì)角線條數(shù)為 f(k)＋k－2＋1＝＋k－1＝ ＝＝f(k＋1)， 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論正確． 根據(jù)(1)(2)可知，命題對(duì)任何n∈N＋，n≥3都成立． 6．求證：平面內(nèi)有n(n≥2)條直線，其中任意兩條直線不平行，任意三條直線不過同一點(diǎn)，求證它們彼此互相分割成n2條線段(或射線)． 證明：(1)當(dāng)n＝2時(shí)，兩條直線不平行，彼此互相分割成4條射線，命題成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，命題成立，即k條滿足條件的直線彼此互相分割成k2條線段(或射線)．那么n＝k＋1時(shí)，取出其中一條直線為l，其余k條直線彼此互相分割成k2條線段(或射線)， 直線l把這k條直線又一分為二，多出k條線段(或射線)；l又被這k條直線分成k＋1部分，所以這k＋1條直線彼此互相分割成k2＋k＋k＋1＝(k＋1)2條線段(或射線)，即n＝k＋1時(shí)，命題成立． 由(1)(2)知，命題成立． 1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證明中，在驗(yàn)證了n＝1時(shí)命題正確，假定n＝k時(shí)命題正確，此時(shí)k的取值范圍是(　　) A．k∈N　　　　　　　　 B．k>1，k∈N＋ C．k≥1，k∈N＋ D．k>2，k∈N＋ 解析：選C　數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法，所以k是正整數(shù)，又第一步是遞推的基礎(chǔ)，所以k大于等于1. 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，在驗(yàn)證n＝1時(shí)，左邊計(jì)算所得的式子為(　　) A．1 B．1＋2 C．1＋2＋22 D．1＋2＋22＋23. 解析：選D　當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1＋2＋22＋23. 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N＋)能被9整除”，利用歸納法假設(shè)證明n＝k＋1時(shí)，只需展開(　　) A．(k＋3)3 B．(k＋2)3 C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3 解析：選A　假設(shè)n＝k時(shí)，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3為了能用上面的歸納假設(shè)，只需將(k＋3)3展開，讓其出現(xiàn)k3即可． 4．平面內(nèi)有n條直線，最多可將平面分成f(n)個(gè)區(qū)域，則f(n)的表達(dá)式為(　　) A．n＋1 B．2n C. D．n2＋n＋1 解析：選C　1條直線將平面分成1＋1個(gè)區(qū)域；2條直線最多可將平面分成1＋(1＋2)＝4個(gè)區(qū)域；3條直線最多可將平面分成1＋(1＋2＋3)＝7個(gè)區(qū)域；…；n條直線最多可將平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝個(gè)區(qū)域． 5．觀察式子1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，…猜想第n個(gè)式子應(yīng)為________． 答案：1－4＋9－16＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n＋1 6．用數(shù)學(xué)歸納法證明：“14＋27＋310＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2.n∈N＋”時(shí)，若n＝1，則左端應(yīng)為________． 解析：n＝1時(shí)，左端應(yīng)為14＝4. 答案：4 7．記凸k邊形的內(nèi)角和為f(k)，則凸k＋1邊形的內(nèi)角和f(k＋1)＝f(k)＋________. 解析：由凸k邊形變?yōu)橥筴＋1邊形時(shí)，增加了一個(gè)三角形圖形．故f(k＋1)＝f(k)＋π. 答案：π 8．用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)于整數(shù)n≥0，An＝11n＋2＋122n＋1能被133整除． 證明：(1)當(dāng)n＝0時(shí)，A0＝112＋12＝133能被133整除． (2)假設(shè)n＝k時(shí)，Ak＝11k＋2＋122k＋1能被133整除． 當(dāng)n＝k＋1時(shí)， Ak＋1＝11k＋3＋122k＋3＝1111k＋2＋122122k＋1 ＝1111k＋2＋11122k＋1＋(122－11)122k＋1 ＝11(11k＋2＋122k＋1)＋133122k＋1. ∴n＝k＋1時(shí)，命題也成立． 根據(jù)(1)(2)可知，對(duì)于任意整數(shù)n≥0，命題都成立． 9．有n個(gè)圓，任意兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，任意三個(gè)圓不相交于同一點(diǎn)，求證這n個(gè)圓將平面分成f(n)＝n2－n＋2(n∈N＋)個(gè)部分． 證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，一個(gè)圓將平面分成兩個(gè)部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，所以n＝1時(shí)命題成立． (2)假設(shè)n＝k(k≥1)時(shí)命題成立． 即k個(gè)圓把平面分成f(k)＝k2－k＋2個(gè)部分． 則n＝k＋1時(shí)，在k＋1個(gè)圓中任取一個(gè)圓O，剩下的k個(gè)圓將平面分成f(k)個(gè)部分，而圓O與k個(gè)圓有2k個(gè)交點(diǎn)，這2k個(gè)點(diǎn)將圓O分成2k段弧，每段弧將原平面一分為二，故得f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k ＝(k＋1)2－(k＋1)＋2. ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題成立． 綜合(1)(2)可知，對(duì)一切n∈N＋，命題成立． 10．試用n(n≥2，n∈N＋)表示…的值，并用數(shù)學(xué)歸納法證明． 解：當(dāng)n＝2時(shí)，原式＝1－＝； 當(dāng)n＝3時(shí)，原式＝＝； 當(dāng)n＝4時(shí)，原式＝＝. 猜想…＝. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論． (1)當(dāng)n＝2時(shí)，易知結(jié)論成立． (2)假設(shè)n＝k(k∈N＋，k≥2)時(shí)結(jié)論成立， 即…＝， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， … ＝＝＝， 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立． 由(1)(2)可知對(duì)一切n∈N＋，結(jié)論都成立．