2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1.4 計(jì)數(shù)應(yīng)用題學(xué)案 蘇教版選修2-3.doc

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1.4 計(jì)數(shù)應(yīng)用題 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.進(jìn)一步理解和掌握兩個(gè)計(jì)數(shù)原理.2.進(jìn)一步深化理解排列與組合的概念.3.能綜合運(yùn)用排列、組合解決計(jì)數(shù)問題． 類型一　兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 例1　電視臺(tái)在某節(jié)目中拿出兩個(gè)信箱，其中存放著先后兩次競猜中成績優(yōu)秀的觀眾來信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，現(xiàn)由主持人抽獎(jiǎng)確定幸運(yùn)觀眾，若先確定一名幸運(yùn)之星，再從兩信箱中各確定一名幸運(yùn)伙伴，有________種不同的結(jié)果． 反思與感悟　用流程圖描述計(jì)數(shù)問題，類中有步的情形如圖所示： 具體意義如下： 從A到B算作一件事的完成，完成這件事有兩類辦法，在第1類辦法中有3步，在第2類辦法中有2步，每步的方法數(shù)如圖所示． 所以，完成這件事的方法數(shù)為m1m2m3＋m4m5， “類”與“步”可進(jìn)一步地理解為： “類”用“＋”號(hào)連接，“步”用“”號(hào)連接，“類”獨(dú)立，“步”連續(xù)，“類”標(biāo)志一件事的完成，“步”缺一不可． 跟蹤訓(xùn)練1　現(xiàn)有4種不同顏色，要對如圖所示的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩部分不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有________種． 例2　有4位同學(xué)在同一天的上、下午參加“身高與體重”、“立定跳遠(yuǎn)”、“肺活量”、“握力”、“臺(tái)階”五個(gè)項(xiàng)目的測試，每位同學(xué)上、下午各測試一個(gè)項(xiàng)目，且不重復(fù)．若上午不測“握力”項(xiàng)目，下午不測“臺(tái)階”項(xiàng)目，其余項(xiàng)目上、下午都各測一人，則不同的安排方式共有________種．(用數(shù)字作答) 反思與感悟　用流程圖描述計(jì)數(shù)問題，步中有類的情形如圖所示： 從計(jì)數(shù)的角度看，由A到D算作完成一件事，可簡單地記為A→D. 完成A→D這件事，需要經(jīng)歷三步，即A→B，B→C，C→D.其中B→C這步又分為三類，這就是步中有類． 其中mi(i＝1,2,3,4,5)表示相應(yīng)步的方法數(shù)． 完成A→D這件事的方法數(shù)為m1(m2＋m3＋m4)m5. 以上給出了處理步中有類問題的一般方法． 跟蹤訓(xùn)練2　如圖所示，使電路接通，開關(guān)不同的開閉方式共有________種． 類型二　有限制條件的排列問題 例3　3個(gè)女生和5個(gè)男生排成一排． (1)如果女生必須全排在一起，有多少種不同的排法？ (2)如果女生必須全分開，有多少種不同的排法？ (3)如果兩端都不能排女生，有多少種不同的排法？ (4)如果兩端不能都排女生，有多少種不同的排法？ (5)如果甲必須排在乙的右面(可以不相鄰)，有多少種不同的排法？ 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　(1)排列問題的限制條件一般表現(xiàn)為：某些元素不能在某個(gè)位置，某個(gè)位置只能放某些元素等．要先處理特殊元素或先處理特殊位置，再去排其他元素．當(dāng)用直接法比較麻煩時(shí)，可以用間接法，先不考慮限制條件，把所有的排列數(shù)算出，再從中減去全部不符合條件的排列數(shù)，這種方法也稱為“去雜法”，但必須注意要不重復(fù)，不遺漏(去盡)． (2)對于某些特殊問題，可采取相對固定的特殊方法，如相鄰問題，可用“捆綁法”，即將相鄰元素看成一個(gè)整體與其他元素排列，再進(jìn)行內(nèi)部排列；不相鄰問題，則用“插空法”，即先排其他元素，再將不相鄰元素排入形成的空位中． 跟蹤訓(xùn)練3　用0到9這10個(gè)數(shù)字， (1)可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？在這些四位數(shù)中，奇數(shù)有多少個(gè)？ (2)可以組成多少個(gè)只含有2個(gè)相同數(shù)字的三位數(shù)？ 　 　 　 　 　 類型三　排列與組合的綜合應(yīng)用 例4　有4張分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的紅色卡片和4張分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的藍(lán)色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行．如果取出的4張卡片所標(biāo)的數(shù)字之和等于10，則不同的排法共有多少種？ 　 　 　 　 　 反思與感悟　(1)解排列、組合綜合問題的一般思路是“先選后排”，也就是先把符合題意的元素都選出來，再對元素或位置進(jìn)行排列． (2)解排列、組合綜合問題時(shí)要注意以下幾點(diǎn)： ①元素是否有序是區(qū)分排列與組合的基本方法，無序的問題是組合問題，有序的問題是排列問題． ②對于有多個(gè)限制條件的復(fù)雜問題，應(yīng)認(rèn)真分析每個(gè)限制條件，然后再考慮是分類還是分步，這是處理排列、組合綜合問題的一般方法． 跟蹤訓(xùn)練4　從1,3,5,7,9中任取3個(gè)數(shù)字，從0,2,4,6,8中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)？ 　 　 　 　 　 　 例5　將10個(gè)優(yōu)秀名額分配到一班、二班、三班3個(gè)班級(jí)中，若各班名額數(shù)不小于班級(jí)序號(hào)數(shù)，則共有________種不同的分配方案． 反思與感悟　凡“相同小球放入不同盒中”的問題，即為“n個(gè)相同元素有序分成m組(每組的任務(wù)不同)”的問題，一般可用“隔板法”求解： (1)當(dāng)每組至少含一個(gè)元素時(shí)，其不同分組方式有N＝C種，即將n個(gè)元素中間的n－1個(gè)空格中加入m－1個(gè)“隔板”． (2)任意分組，可出現(xiàn)某些組含元素為0個(gè)的情況，其不同分組方式有N＝C種，即將n個(gè)相同元素與m－1個(gè)相同“隔板”進(jìn)行排序，在n＋m－1個(gè)位置中選m－1個(gè)安排“隔板”． 跟蹤訓(xùn)練5　用2,3,4,5,6,7六個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為________．  1．李芳有4件不同顏色的襯衣，3件不同花樣的裙子，另有兩套不同樣式的連衣裙．“五一”節(jié)需選擇一套服裝參加歌舞演出，則李芳有________種不同的選擇方式． 2．包括甲、乙在內(nèi)的7個(gè)人站成一排，其中甲在乙的左側(cè)(可以不相鄰)，有________種站法． 3．從0,2,4中取一個(gè)數(shù)字，從1,3,5中取兩個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則所有不同的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是___________________________________________________． 4．某電視臺(tái)連續(xù)播放5個(gè)廣告，其中有3個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的公益宣傳廣告，要求最后播放的必須是公益宣傳廣告，且2個(gè)公益宣傳廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式有________種． 5．已知xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5,6，則滿足x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝2的數(shù)組(x1，x2，x3，x4，x5，x6)的個(gè)數(shù)為________． 1．解排列、組合綜合題一般是先選元素、后排元素，或充分利用元素的性質(zhì)進(jìn)行分類、分步，再利用兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理作最后處理． 2．對于較難直接解決的問題則可用間接法，但應(yīng)做到不重不漏． 3．對于分配問題，解題的關(guān)鍵是要搞清楚事件是否與順序有關(guān)，對于平均分組問題更要注意順序，避免計(jì)數(shù)的重復(fù)或遺漏． 答案精析 題型探究 例1　28 800 解析　在甲箱或乙箱中抽取幸運(yùn)之星，決定了后邊選幸運(yùn)伙伴是不同的，故要分兩類分別計(jì)算：(1)幸運(yùn)之星在甲箱中抽，先確定幸運(yùn)之星，再在兩箱中各確定一名幸運(yùn)伙伴，有302920＝17 400(種)結(jié)果；(2)幸運(yùn)之星在乙箱中抽，同理有201930＝11 400(種)結(jié)果．因此共有17 400＋11 400＝28 800(種)不同結(jié)果． 跟蹤訓(xùn)練1　48 解析　如圖所示，將原圖從上而下的4個(gè)區(qū)域標(biāo)為1,2,3,4.因?yàn)?,2,3之間不能同色，1與4可以同色，因此，要分類討論1,4同色與不同色這兩種情況．故不同的著色方法種數(shù)為432＋4321＝48. 例2　264 解析　上午總測試方法有4321＝24(種)．我們以A、B、C、D、E依次代表五個(gè)測試項(xiàng)目．若上午測試E的同學(xué)下午測試D，則上午測試A的同學(xué)下午只能測試B、C，確定上午測試A的同學(xué)后其余兩位同學(xué)上、下午的測試方法共有2種；若上午測試E的同學(xué)下午測試A、B、C之一，則上午測試A、B、C中任何一個(gè)的同學(xué)下午都可以測試D，安排完這位同學(xué)后其余兩位同學(xué)的測試方式就確定了，故共有33＝9(種)測試方法，即下午的測試方法共有11種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，總的測試方法共有2411＝264(種)． 跟蹤訓(xùn)練2　21 解析　根據(jù)題意，設(shè)5個(gè)開關(guān)依次為1、2、3、4、5，如圖所示，若電路接通，則開關(guān)1、2與3、4、5中至少有1個(gè)接通， 對于開關(guān)1、2，共有22＝4(種)情況，其中全部斷開的有1(種)情況，則其至少有1個(gè)接通的有4－1＝3(種)情況， 對于開關(guān)3、4、5，共有222＝8(種)情況，其中全部斷開的有1(種)情況，則其至少有1個(gè)接通的有8－1＝7(種)情況，則電路接通的情況有37＝21(種)． 例3　解　(1)(捆綁法)因?yàn)?個(gè)女生必須排在一起，所以可先把她們看成一個(gè)整體，這樣同5個(gè)男生合在一起共有6個(gè)元素，排成一排有A種不同排法．對于其中的每一種排法，3個(gè)女生之間又有A種不同的排法，因此共有AA＝4 320(種)不同的排法． (2)(插空法)要保證女生全分開，可先把5個(gè)男生排好，每兩個(gè)相鄰的男生之間留出一個(gè)空，這樣共有4個(gè)空，加上兩邊兩個(gè)男生外側(cè)的兩個(gè)位置，共有6個(gè)位置，再把3個(gè)女生插入這6個(gè)位置中，只要保證每個(gè)位置至多插入一個(gè)女生，就能保證任意兩個(gè)女生都不相鄰．由于5個(gè)男生排成一排有A種不同的排法，對于其中任意一種排法，從上述6個(gè)位置中選出3個(gè)來讓3個(gè)女生插入有A種方法，因此共有AA＝14 400(種)不同的排法． (3)方法一　(特殊位置優(yōu)先法)因?yàn)閮啥瞬荒芘排?，所以兩端只能挑選5個(gè)男生中的2個(gè)，有A種不同排法，對于其中的任意一種排法，其余六位都有A種排法，所以共有AA＝14 400(種)不同的排法． 方法二　(間接法)3個(gè)女生和5個(gè)男生排成一排共有A種不同的排法，從中扣除女生排在首位的AA種排法和女生排在末位的AA種排法，但這樣兩端都是女生的排法在扣除女生排在首位時(shí)被扣去一次，在扣除女生排在末位時(shí)又被扣去一次，所以還需加一次，由于兩端都是女生有AA種不同的排法，所以共有A－2AA＋AA＝14 400(種)不同的排法． 方法三　(特殊元素優(yōu)先法)從中間6個(gè)位置中挑選出3個(gè)讓3個(gè)女生排入，有A種不同的排法，對于其中的任意一種排法，其余5個(gè)位置又都有A種不同的排法，所以共有AA＝14 400(種)不同的排法． (4)方法一　因?yàn)橹灰髢啥瞬荒芏寂排匀绻孜慌帕四猩?，則末位就不再受條件限制了，這樣可有AA種不同的排法；如果首位排女生，有A種排法，這時(shí)末位就只能排男生，這樣可有AAA種不同的排法． 因此共有AA＋AAA ＝36 000(種)不同的排法． 方法二　3個(gè)女生和5個(gè)男生排成一排有A種排法，從中扣去兩端都是女生的排法有AA種，就能得到兩端不都是女生的排法種數(shù)．因此共有A－AA＝36 000(種)不同的排法． (5)(順序固定問題)因?yàn)?人排隊(duì)，其中兩人順序固定，共有＝20 160(種)不同的排法． 跟蹤訓(xùn)練3　解　(1)可以組成9A＝4 536個(gè)四位數(shù)．適合題意的四位奇數(shù)共有AAA＝2 240(個(gè))． (2)0到9這10個(gè)數(shù)字構(gòu)成的三位數(shù)共有900個(gè)，分為三類： 第1類：三位數(shù)字全相同，如111,222，…，999，共9個(gè)；第2類：三位數(shù)字全不同，共有998＝648(個(gè))， 第3類：由間接法可求出，只含有2個(gè)相同數(shù)字的三位數(shù)，共有900－9－648＝243(個(gè))． 例4　解　分三類： 第一類，當(dāng)取出的4張卡片分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4時(shí)，不同的排法有CCCCA種． 第二類，當(dāng)取出的4張卡片分別標(biāo)有數(shù)字1,1,4,4時(shí)，不同的排法有CCA種． 第三類，當(dāng)取出的4張卡片分別標(biāo)有數(shù)字2,2,3,3時(shí)，不同的排法有CCA種． 故滿足題意的所有不同的排法種數(shù)為CCCCA＋2CCA＝432. 跟蹤訓(xùn)練4　解　(1)五位數(shù)中不含數(shù)字0. 第1步，選出5個(gè)數(shù)字，共有CC種選法． 第2步，排成偶數(shù)——先排末位數(shù)，有A種排法，再排其他四位數(shù)字，有A種排法． 所以N1＝CCAA. (2)五位數(shù)中含有數(shù)字0. 第1步，選出5個(gè)數(shù)字，共有CC種選法． 第2步，排順序又可分為兩小類： ①末位排0，有AA種排列方法； ②末位不排0.這時(shí)末位數(shù)有C種選法，而因?yàn)榱悴荒芘旁谑孜?，所以首位有A種排法，其余3個(gè)數(shù)字則有A種排法． 所以N2＝CC(AA＋AA)． 所以符合條件的偶數(shù)個(gè)數(shù)為 N＝N1＋N2＝CCAA＋CC(AA＋AA)＝4 560. 例5　15 解析　先拿3個(gè)優(yōu)秀名額分配給二班1個(gè)，三班2個(gè)，這樣原問題就轉(zhuǎn)化為將7個(gè)優(yōu)秀名額分配到3個(gè)班級(jí)中，每個(gè)班級(jí)中至少分配到1個(gè)． 利用“隔板法”可知，共有C＝15(種)不同的分配方案． 跟蹤訓(xùn)練5　96 解析　用間接法：六個(gè)數(shù)字能構(gòu)成的三位數(shù)共666＝216(個(gè))，而無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有A＝654＝120(個(gè))． 故所求的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為216－120＝96. 當(dāng)堂訓(xùn)練 1．14　2.2 520　3.48　4.36　5.90