2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 概率疑難規(guī)律方法學(xué)案 蘇教版選修2-3.doc

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第二章 概率 1　求離散型隨機(jī)變量的概率分布的方法 對(duì)離散型隨機(jī)變量概率分布的考查是概率考查的主要形式，那么準(zhǔn)確寫(xiě)出概率分布顯得至關(guān)重要．下面就談一下如何準(zhǔn)確求解離散型隨機(jī)變量的概率分布． 1．弄清“隨機(jī)變量的取值” 弄清“隨機(jī)變量的取值”是第一步．確定隨機(jī)變量的取值時(shí)，要做到準(zhǔn)確無(wú)誤，特別要注意隨機(jī)變量能否取0的情形．另外，還需注意隨機(jī)變量是從幾開(kāi)始取值，每種取值對(duì)應(yīng)幾種情況． 例1　從4張標(biāo)有1,2,3,4的卡片中任意取出兩張，若ξ表示這兩張卡片之和，請(qǐng)寫(xiě)出ξ的可能取值及指出此時(shí)ξ表示的意義． 分析　從標(biāo)有1,2,3,4的四張卡片中取兩張，ξ表示兩張卡片之和，則首先弄清共有幾種情況，再分別求和． 解　ξ的可能取值為3,4,5,6,7，其中ξ＝3表示取出分別標(biāo)有1,2的兩張卡片；ξ＝4表示取出分別標(biāo)有1,3的兩張卡片；ξ＝5表示取出分別標(biāo)有1,4或2,3的兩張卡片；ξ＝6表示取出分別標(biāo)有2,4的兩張卡片；ξ＝7表示取出分別標(biāo)有3,4的兩張卡片． 2．弄清事件類(lèi)型 計(jì)算概率前要確定事件的類(lèi)型，同時(shí)正確運(yùn)用排列與組合知識(shí)求出相應(yīng)事件的概率． 例2　以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹(shù)棵數(shù)． 甲組　　　　　　乙組 9 9 0 9 8 9 1 1 1 0 分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹(shù)總棵數(shù)Y的概率分布． 分析　由莖葉圖可知兩組同學(xué)的植樹(shù)棵數(shù)，則可得分別從甲、乙兩組同學(xué)中隨機(jī)選取一名同學(xué)，兩同學(xué)的植樹(shù)總棵數(shù)的所有可能取值，由古典概型可求概率． 解　由莖葉圖可知，甲組同學(xué)的植樹(shù)棵數(shù)是9,9,11,11；乙組同學(xué)的植樹(shù)棵數(shù)是9,8,9,10.分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，共有44＝16(種)可能的結(jié)果，這兩名同學(xué)植樹(shù)總棵數(shù)Y的可能取值為17,18,19,20,21.事件“Y＝17”等價(jià)于“甲組選出的同學(xué)植樹(shù)9棵，乙組選出的同學(xué)植樹(shù)8棵”，所以該事件有2種可能的結(jié)果，因此P(Y＝17)＝ ＝.同理可得P(Y＝18)＝，P(Y＝19)＝， P(Y＝20)＝，P(Y＝21)＝. 所以隨機(jī)變量Y的概率分布為 Y 17 18 19 20 21 P 3.注意驗(yàn)證隨機(jī)變量的概率之和是否為1 通過(guò)驗(yàn)證概率之和是否為1，可以檢驗(yàn)所求概率是否正確，還可以檢驗(yàn)隨機(jī)變量的取值是否出現(xiàn)重復(fù)或遺漏． 例3　盒中裝有大小相同的10個(gè)小球，編號(hào)分別為0,1,2，…，9，從中任取1個(gè)小球，規(guī)定一個(gè)隨機(jī)變量X，用“X＝x1”表示小球的編號(hào)小于5；“X＝x2”表示小球的編號(hào)等于5；“X＝x3”表示小球的編號(hào)大于5，求X的概率分布． 解　隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，x3，且 P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，P(X＝x3)＝. 故X的概率分布如下. X x1 x2 x3 P 點(diǎn)評(píng)　隨機(jī)變量的概率分布是我們進(jìn)一步解決隨機(jī)變量有關(guān)問(wèn)題的基礎(chǔ)，因此準(zhǔn)確寫(xiě)出隨機(jī)變量的概率分布是很重要的，為了保證它的準(zhǔn)確性，我們可以利用i＝1進(jìn)行檢驗(yàn). 2　獨(dú)立事件與互斥事件辨析 相互獨(dú)立事件與互斥事件是兩個(gè)完全不同的概念，但同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中容易混淆這兩個(gè)概念，而導(dǎo)致錯(cuò)誤．下面結(jié)合例題加以分析幫助同學(xué)們正確區(qū)分這兩個(gè)概念． 1．把握互斥事件中的“有一個(gè)發(fā)生” 求互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率，即互斥事件中的每一個(gè)事件發(fā)生都會(huì)使所求事件發(fā)生，應(yīng)用的是互斥事件概率加法公式P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 例1　李老師正在寫(xiě)文章的時(shí)候，身邊的電話突然響了起來(lái)．若電話響第1聲時(shí)被接聽(tīng)的概率為0.1，響第2聲時(shí)被接聽(tīng)的概率為0.15，響第3聲時(shí)被接聽(tīng)的概率為0.5，響第4聲時(shí)被接聽(tīng)的概率為0.22，那么在電話響前4聲內(nèi)被接聽(tīng)的概率是多少？ 分析　在電話響前4聲內(nèi)李老師接電話的事件包括：打進(jìn)的電話“響第1聲時(shí)被接聽(tīng)”，“響第2聲時(shí)被接聽(tīng)”，“響第3聲時(shí)被接聽(tīng)”，“響第4聲時(shí)被接聽(tīng)”這4個(gè)事件，而且只要有一個(gè)事件發(fā)生，其余的事件就不可能發(fā)生，從而求電話在響前4聲內(nèi)李老師接聽(tīng)的概率問(wèn)題即為互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率問(wèn)題． 解　李老師在電話響前4聲內(nèi)接聽(tīng)的概率P＝0.1＋0.15＋0.5＋0.22＝0.97. 2．把握相互獨(dú)立事件中的“同時(shí)發(fā)生” 相互獨(dú)立事件即是否發(fā)生相互之間沒(méi)有影響的事件．求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，應(yīng)用的是相互獨(dú)立事件的概率乘法公式P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)． 例2　甲、乙兩名跳高運(yùn)動(dòng)員在一次2米跳高中成功的概率分別為0.7、0.6，且每次試跳成功與否相互之間沒(méi)有影響．求： (1)甲試跳三次，第三次才成功的概率； (2)甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率． 解　記“甲第i次試跳成功”為事件Ai，“乙第i次試跳成功”為事件Bi，i＝1,2,3. 依題意得P(Ai)＝0.7，P(Bi)＝0.6，且Ai與Bi相互獨(dú)立． (1)“甲第三次試跳才成功”為事件12A3， 所以P(12A3)＝P(1)P(2)P(A3)＝0.30.30.7＝0.063. 所以甲第三次試跳才成功的概率為0.063. (2)記“甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功”為事件C. P(C)＝1－P(11)＝1－P(1)P(1)＝1－0.30.4＝0.88. 所以甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率為0.88. 點(diǎn)評(píng)　本題考查事件的獨(dú)立性，以及互斥事件和對(duì)立事件等知識(shí)，關(guān)鍵在于理解事件的性質(zhì)，然后正確運(yùn)用相應(yīng)的概率公式加以求解． 歸納總結(jié) 1．對(duì)于事件A、B，如果事件A(或B)是否發(fā)生對(duì)事件B(或A)發(fā)生的概率沒(méi)有影響，則稱(chēng)這兩個(gè)事件為相互獨(dú)立事件．如甲袋中裝有3個(gè)白球，2個(gè)黑球，乙袋中裝有2個(gè)白球，2個(gè)黑球，從這兩個(gè)袋中分別摸出一個(gè)球，把“從甲袋中摸出1個(gè)球，得到白球”記為事件A，把“從乙袋中摸出1個(gè)球，得到白球”記為事件B，顯然A與B互相獨(dú)立． 2．弄清事件間的“互斥”與“相互獨(dú)立”的區(qū)別．兩個(gè)事件互斥是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，兩個(gè)事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響． 3．理解并運(yùn)用相互獨(dú)立事件的性質(zhì)．如果事件A與B相互獨(dú)立，那么下列各對(duì)事件：A與，與B，與也都相互獨(dú)立． 4．牢記公式的應(yīng)用條件，準(zhǔn)確、靈活地運(yùn)用公式． 5．認(rèn)真審題，找準(zhǔn)關(guān)鍵字句，提高解題能力．如“至少有一個(gè)發(fā)生”“至多有一個(gè)發(fā)生”“恰有一個(gè)發(fā)生”等. 3　概率題易錯(cuò)點(diǎn)剖析 概率內(nèi)容的新概念較多，相近概念容易混淆，本文就學(xué)生易犯錯(cuò)誤作如下總結(jié)： 1．“非等可能”與“等可能”混同 例1　擲兩枚骰子，求所得的點(diǎn)數(shù)之和為6的概率． 錯(cuò)解　擲兩枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和有2,3,4，…，12共11種基本事件，所以概率為P＝. 錯(cuò)因剖析　以上11種基本事件不是等可能的，如點(diǎn)數(shù)之和為2只有(1,1)，而點(diǎn)數(shù)之和為6有(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)共5種．事實(shí)上，擲兩枚骰子共有36種基本事件，且是等可能的，所以“所得點(diǎn)數(shù)之和為6”的概率為P＝. 2．“互斥”與“對(duì)立”混同 例2　把紅、黑、白、藍(lán)4張紙牌隨機(jī)地分給甲、乙、丙、丁4個(gè)人，每個(gè)人分得1張，事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是________．(填序號(hào)) ①對(duì)立事件； ②不可能事件； ③互斥但不對(duì)立事件； ④以上均不對(duì)． 錯(cuò)解　① 錯(cuò)因剖析　本題錯(cuò)誤的原因在于把“互斥”與“對(duì)立”混同，要準(zhǔn)確解答這類(lèi)問(wèn)題，必須搞清對(duì)立事件與互斥事件的聯(lián)系與區(qū)別，這二者的聯(lián)系與區(qū)別主要體現(xiàn)在以下三個(gè)方面： (1)兩事件對(duì)立，必定互斥，但互斥未必對(duì)立； (2)互斥的概念適用于多個(gè)事件，但對(duì)立的概念只適用于兩個(gè)事件； (3)兩個(gè)事件互斥只表明這兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，即至多只能發(fā)生其中一個(gè)，但可以都不發(fā)生；而兩事件對(duì)立則表明它們有且僅有一個(gè)發(fā)生． 事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，這兩個(gè)事件可能恰有一個(gè)發(fā)生，一個(gè)也不發(fā)生，可能兩個(gè)都不發(fā)生，所以應(yīng)填③. 正解?、? 3．“互斥”與“獨(dú)立”混同 例3　甲投籃命中率為0.8，乙投籃命中率為0.7，每人投3次，兩人恰好都命中2次的概率是多少？ 錯(cuò)解　設(shè)“甲恰好投中兩次”為事件A，“乙恰好投中兩次”為事件B，則兩人都恰好投中兩次為事件A＋B，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝C0.820.2＋C0.720.3＝0.825. 錯(cuò)因剖析　本題錯(cuò)誤的原因是把相互獨(dú)立同時(shí)發(fā)生的事件當(dāng)成互斥事件來(lái)考慮，將“兩人都恰好投中2次”理解為“甲恰好投中兩次”與“乙恰好投中兩次”的和． 正解　設(shè)“甲恰好投中兩次”為事件A，“乙恰好投中兩次”為事件B，且A，B相互獨(dú)立，則兩人都恰好投中兩次為事件AB，于是P(AB)＝P(A)P(B)＝C0.820.2C0.720.3≈0.169. 點(diǎn)評(píng)　例3錯(cuò)誤的原因在于把兩事件互斥與兩事件相互獨(dú)立混同．互斥事件是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生；兩事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件的發(fā)生與否沒(méi)有影響．它們雖然都描繪了兩個(gè)事件間的關(guān)系，但所描繪的關(guān)系是根本不同的． 4．“條件概率P(B|A)”與“積事件的概率P(AB)”混同 例4　袋中有6個(gè)黃色、4個(gè)白色的乒乓球，作不放回抽樣，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黃球的概率． 錯(cuò)解　記“第一次取到白球”為事件A，“第二次取到黃球”為事件B，“第二次才取到黃球”為事件C， 所以P(C)＝P(B|A)＝＝. 錯(cuò)因剖析　本題錯(cuò)誤在于P(AB)與P(B|A)的含義沒(méi)有弄清，P(AB)表示在樣本空間S中，A與B同時(shí)發(fā)生的概率；而P(B|A)表示在縮減的樣本空間SA中，作為條件的A已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率． 正解　P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B|A) ＝＝. 5．混淆有放回與不放回致錯(cuò) 例5　某產(chǎn)品有3只次品，7只正品，每次取1只測(cè)試，取后不放回，求： (1)恰好到第5次3只次品全部被測(cè)出的概率； (2)恰好到第k次3只次品全部被測(cè)出的概率f(k)的最大值和最小值． 錯(cuò)解　(1)P＝＝. (2)P5(3)＝C32＝0.132 3. 錯(cuò)因剖析　錯(cuò)解(1)的錯(cuò)誤的原因在于忽視了“不放回摸球”問(wèn)題的每一次摸球是不獨(dú)立的；而錯(cuò)解(2)的錯(cuò)誤的原因則在于忽視了“不放回摸球”問(wèn)題的每一次摸球袋內(nèi)球的總數(shù)是變的(比前一次少一個(gè))． 正解　(1)P＝＝. (2)P＝ ＝(k－1)(k－2)(3≤k≤10，k∈Z)， 當(dāng)k＝3時(shí)，[f(k)]min＝f(3)＝； 當(dāng)k＝10時(shí)，[f(k)]max＝f(10)＝. 4　概率問(wèn)題與其他知識(shí)的交匯 概率和其他知識(shí)整合的題目近年來(lái)頻頻出現(xiàn)在各類(lèi)考試中，這類(lèi)題目覆蓋面廣，交匯性強(qiáng)，用到的數(shù)學(xué)思想和方法比較多，對(duì)能力要求較高，我們要給予充分關(guān)注，并注意總結(jié)解題方法． 1．概率與函數(shù) 例1　在多項(xiàng)飛碟運(yùn)動(dòng)中，允許運(yùn)動(dòng)員射擊兩次．運(yùn)動(dòng)員每一次射擊命中碟靶的概率p與運(yùn)動(dòng)員離碟靶的距離s(米)成反比，且距離s(米)與碟靶飛行時(shí)間t(秒)滿(mǎn)足s＝15(t＋1)(0≤t≤4)．現(xiàn)有一碟靶拋出后，某運(yùn)動(dòng)員在碟靶飛出0.5秒時(shí)進(jìn)行第一次射擊命中的概率為0.8；如果他發(fā)現(xiàn)沒(méi)有命中，則迅速調(diào)整，在第一次射擊后再經(jīng)過(guò)0.5秒進(jìn)行第二次射擊，求此運(yùn)動(dòng)員命中碟靶的概率． 解　設(shè)p＝ (k為常數(shù))，則p＝ (0≤t≤4)， 依題意當(dāng)t＝0.5時(shí)，p1＝0.8，則k＝18， 所以p＝， 當(dāng)t＝1時(shí)，p2＝0.6.故此人命中碟靶的概率為 p＝p1＋(1－p1)p2＝0.8＋(1－0.8)0.6＝0.92. 點(diǎn)評(píng)　此題為條件概率問(wèn)題(要注意第二次射擊的前提)，兩次射擊可以理解為(有條件的)互斥事件． 2．概率與不等式 例2　某商店采用“購(gòu)物摸球中獎(jiǎng)”的促銷(xiāo)活動(dòng)，球袋中裝有10個(gè)球，號(hào)碼為n(1≤n≤10，n∈N*)的球的重量為f(n) ＝n2－9n＋21，現(xiàn)有兩種摸球方案：①摸球1個(gè)，若球的重量小于該球的號(hào)碼數(shù)，則中獎(jiǎng)；②一次摸出兩個(gè)球，若兩球的重量相等，則中獎(jiǎng)．試比較兩種摸獎(jiǎng)方案的中獎(jiǎng)概率的大?。? 解　方案①，球的重量小于號(hào)碼數(shù)， 即n2－9n＋21p2，即方案①的中獎(jiǎng)概率大． 點(diǎn)評(píng)　解決此類(lèi)問(wèn)題需要先求不等式的整數(shù)解(實(shí)際問(wèn)題的要求)，再計(jì)算中獎(jiǎng)概率． 3．概率與遞推數(shù)列 例3　A、B兩人拿兩個(gè)骰子做拋擲游戲，規(guī)定：若擲出的點(diǎn)數(shù)之和是3的倍數(shù)，則由原拋擲者繼續(xù)擲；若擲出的點(diǎn)數(shù)之和不是3的倍數(shù)就由對(duì)方接著擲，第一次由A開(kāi)始擲，設(shè)第n次由A擲的概率為pn，求pn的表達(dá)式． 解　第n次由A擲有兩種情況： ①第n－1次由A擲，第n次繼續(xù)由A擲，此時(shí)概率為pn－1；②第n－1次由B擲，第n次由A擲，此時(shí)概率為(1－pn－1)． 故有pn＝pn－1＋(1－pn－1)(n≥2)， 即pn＝－pn－1＋(n≥2)． 令pn＋x＝－(pn－1＋x)， 整理可得x＝－， 故pn－＝－(n≥2)， 又p1＝1，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)， －為公比的等比數(shù)列， 于是pn－＝n－1， 即pn＝＋n－1. 點(diǎn)評(píng)　弄清pn與pn－1的關(guān)系并建立遞推關(guān)系式是問(wèn)題獲得解決的關(guān)鍵. 5　深析超幾何分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系 超幾何分布與二項(xiàng)分布都是隨機(jī)變量取非負(fù)整數(shù)值的離散分布，表面上看，兩種分布的概率求取有截然不同的表達(dá)式，但看它們的概率分布表，會(huì)發(fā)現(xiàn)構(gòu)造上的相似點(diǎn)．課本中對(duì)超幾何分布的模型建立是這樣的：若有N件產(chǎn)品，其中M件是廢品，無(wú)放回地任意抽取n件，則其中恰有的廢品件數(shù)X是服從超幾何分布的．而對(duì)二項(xiàng)分布則使用比較容易理解的射擊問(wèn)題來(lái)建立模型．若將超幾何分布的概率模型改成：若有N件產(chǎn)品，其中M件是廢品，有放回地任意抽取n件，則其中恰有的廢品件數(shù)X是服從二項(xiàng)分布的．在這里，兩種分布的差別就在于“有”與“無(wú)”的差別，只要將概率模型中的“無(wú)”改為“有”，或?qū)ⅰ坝小备臑椤盁o(wú)”，就可以實(shí)現(xiàn)兩種分布之間的轉(zhuǎn)化． 超幾何分布與二項(xiàng)分布是兩個(gè)非常重要的概率模型，許多實(shí)際問(wèn)題都可以利用這兩個(gè)概率模型來(lái)求解．在實(shí)際應(yīng)用中，理解并辨別這兩個(gè)概率模型是至關(guān)重要的．下面通過(guò)幾個(gè)例子說(shuō)明一下兩者的區(qū)別． 例1　從6名男生和4名女生中，隨機(jī)選出3名學(xué)生參加一項(xiàng)競(jìng)技測(cè)試，試求選出的3名學(xué)生中女生人數(shù)ξ的概率分布． 解　由題意得ξ＝0,1,2,3.ξ服從參數(shù)為N＝10，M＝4， n＝3的超幾何分布． P(ξ＝0)＝＝＝， P(ξ＝1)＝＝＝， P(ξ＝2)＝＝＝， P(ξ＝3)＝＝＝，故ξ的概率分布為 ξ 0 1 2 3 P 點(diǎn)評(píng)　這是一道超幾何分布的題目，學(xué)生在做的時(shí)候容易把它看成是二項(xiàng)分布問(wèn)題，把事件發(fā)生的概率看作是0.4. 例2　甲、乙兩人玩秒表游戲，按開(kāi)始鍵，然后隨機(jī)按暫停鍵，觀察秒表最后一位數(shù)，若出現(xiàn)0,1,2,3，則甲贏，若出現(xiàn)6,7,8,9，則乙贏，若出現(xiàn)4,5是平局．玩三次，記甲贏的次數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的概率分布． 解　由題意得X＝0,1,2,3， P(X＝0)＝C0.63＝0.216， P(X＝1)＝C0.620.4＝0.432， P(X＝2)＝C0.60.42＝0.288， P(X＝3)＝C0.43＝0.064. 故X的概率分布為 X 0 1 2 3 P 0.216 0.432 0.288 0.064 點(diǎn)評(píng)　這是一道二項(xiàng)分布的題目，學(xué)生容易看成超幾何分布，認(rèn)為X服從N＝10，M＝4，n＝3的超幾何分布． 二項(xiàng)分布應(yīng)滿(mǎn)足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)： ①每一次試驗(yàn)中只有兩種結(jié)果(要么發(fā)生，要么不發(fā)生)． ②任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都一樣． ③每次試驗(yàn)間是相互獨(dú)立的、互不影響的. 6　三法求均值 數(shù)學(xué)期望也稱(chēng)均值，是離散型隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，期望的求解策略也有多種，下面通過(guò)實(shí)例來(lái)闡述． 1．利用定義求均值 根據(jù)定義求離散型隨機(jī)變量的均值，首先要求概率分布，然后利用公式E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求解． 例1　一接待中心有A，B，C，D四部熱線電話．已知某一時(shí)刻電話A，B占線的概率為0.5，電話C，D占線的概率為0.4，各部電話是否占線相互之間沒(méi)有影響．假設(shè)該時(shí)刻有ξ部電話占線，試求隨機(jī)變量ξ的概率分布和它的均值． 分析　先判斷ξ的所有可能取值，再根據(jù)相應(yīng)知識(shí)求概率． 解　由題意知ξ的所有可能取值為0,1,2,3,4. P(ξ＝0)＝0.520.62＝0.09， P(ξ＝1)＝C0.520.62＋C0.40.60.52＝0.3， P(ξ＝2)＝C0.520.62＋C0.52C0.40.6＋C0.420.52＝0.37， P(ξ＝3)＝C0.52C0.40.6＋C0.52C0.42＝0.2， P(ξ＝4)＝0.520.42＝0.04. 于是得到隨機(jī)變量ξ的概率分布為 ξ 0 1 2 3 4 P 0.09 0.3 0.37 0.2 0.04 所以E(ξ)＝00.09＋10.3＋20.37＋30.2＋40.04＝1.8. 點(diǎn)評(píng)　均值與概率分布聯(lián)系密切，正確地求出隨機(jī)變量的概率分布，是求均值的關(guān)鍵．解題時(shí)，確定隨機(jī)變量ξ取哪些值及相應(yīng)的概率，是利用定義求均值的重點(diǎn)． 2．利用公式求均值 有些離散型隨機(jī)變量如果歸結(jié)為兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等常見(jiàn)分布類(lèi)型時(shí)就常使用公式法求均值． 其中：(1)若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p(p為X的成功概率)． (2)若X服從二項(xiàng)分布，即X～B(n，p)，則E(X)＝np. (3)若X服從超幾何分布，則E(X)＝. 例2　一個(gè)袋子里裝有大小相同的5個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中任取4個(gè)，求其中所含白球個(gè)數(shù)的均值． 解　根據(jù)題目所含白球數(shù)X服從參數(shù)N＝10，M＝5，n＝4的超幾何分布，則E(X)＝＝＝2. 所以從中任取4個(gè)球所含白球個(gè)數(shù)的均值為2. 點(diǎn)評(píng)　此題判斷隨機(jī)變量服從哪種分布是關(guān)鍵，再者要弄清公式中參數(shù)的含義． 3．利用性質(zhì)求均值 對(duì)于aX＋b型的隨機(jī)變量一般用性質(zhì)E(aX＋b)＝aE(X)＋b來(lái)求解． 例3　交5元錢(qián)，可以參加一次摸獎(jiǎng)，一袋中有大小相同的球10個(gè)，其中有8個(gè)標(biāo)有1元錢(qián)，2個(gè)標(biāo)有5元錢(qián)，摸獎(jiǎng)?wù)咧荒軓闹腥稳?個(gè)球，他所得獎(jiǎng)勵(lì)是所摸2球的錢(qián)數(shù)之和．求摸獎(jiǎng)人獲利的均值． 解　設(shè)X為摸到的2球錢(qián)數(shù)之和，則X的可能取值為 X＝2(摸到2個(gè)1元)；X＝6(摸到1個(gè)1元，1個(gè)5元)； X＝10(摸到2個(gè)5元)． 故由題意可得 P(X＝2)＝＝， P(X＝6)＝＝， P(X＝10)＝＝. 所以E(X)＝2＋6＋10＝. 又設(shè)Y為摸獎(jiǎng)?wù)攉@利的可能值，則Y＝X－5， 所以摸獎(jiǎng)?wù)攉@利的均值E(Y)＝E(X)－5＝－1.4. 點(diǎn)評(píng)　解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是找出變量Y與X的內(nèi)在聯(lián)系，并正確套用性質(zhì). 7　用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率講“道理” 概率本身就來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活．在日常生活中，我們經(jīng)常會(huì)遇到有理說(shuō)不清的情況，如果我們有時(shí)能準(zhǔn)確合理的運(yùn)用概率知識(shí)進(jìn)行分析，通過(guò)嚴(yán)密的分析和詳實(shí)準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)，往往不僅能把道理講清，而且能把道理講透，講得讓人“心服口服”．如果不信，下面我們就不妨用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率來(lái)講兩個(gè)道理． 道理1：我國(guó)的大教育家孔子曰：“三人行，必有我?guī)熝伞保苡酶怕手R(shí)詮釋孔子的這句名言嗎？ 詮釋?zhuān)核自捳f(shuō)：“三百六十行，行行出狀元．”我們不妨把一個(gè)人的才能分成360個(gè)方面．因?yàn)榭鬃邮谴髮W(xué)問(wèn)家，我們假設(shè)他在每一行的排名都處在前的可能性為99%，即任意一個(gè)人在任一方面的才能低于他的可能性為99%.另外兩個(gè)人在任何一方面的才能不如孔子分別看作兩個(gè)獨(dú)立事件，則在任一行中，這兩個(gè)人的才能均不超過(guò)孔子就成了概率中兩個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的模型，所以可能性是99%99%＝98.01%.而在360行中，另外兩人的才能均不超過(guò)孔子的可能性即為獨(dú)立事件重復(fù)發(fā)生的概率，所以為(98.01%)360≈0.07%.反過(guò)來(lái)說(shuō)，另外兩人中有人的才能在某一方面超過(guò)孔子的可能性為1－(98.01%)360≈99.93%.也就是說(shuō)，兩人中有人可以在某一方面做孔子的老師的可能性約為99.93%. 從上面的分析可知，“三人行，必有我?guī)煛彪m然是孔子自謙的話，但從實(shí)際情況來(lái)看，這句話是很有道理的． 道理2：小強(qiáng)和小明的家都在同一棟10層的小高層里，小強(qiáng)家在頂層，小強(qiáng)堅(jiān)持認(rèn)為由于小高層有從底層到頂層的電梯，所以自己從電梯上樓到家的速度應(yīng)該是相當(dāng)快的．可是小明并不這樣認(rèn)為，但是又無(wú)法說(shuō)服小強(qiáng)，只是一味地強(qiáng)調(diào)如果考慮每層都有人要上電梯，那么也要耽誤很多時(shí)間，所以乘電梯也不一定很快．我們?nèi)绾蝸?lái)幫助小明通過(guò)準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)服小強(qiáng)呢？ 我們不妨設(shè)計(jì)這樣一個(gè)問(wèn)題：十層電梯從底層到頂層停不少于3次的概率是多少？停幾次概率最大？ 解　依題意，從底層到頂層停不少于3次，應(yīng)包括停3次，停4次，停5次，…，停9次．這些情況都是互斥關(guān)系，電梯每一層停的概率為，每種具體的情況實(shí)際上是獨(dú)立事件重復(fù)發(fā)生的概率問(wèn)題． ∴從底層到頂層停不少于3次的概率 P＝C36＋C45＋C54＋…＋C9＝(C＋C＋C＋…＋C)9 ＝[29－(C＋C＋C)] 9 ＝(29－46)9＝. 設(shè)從底層到頂層停k次，則其概率為 Ck9－k＝C9， ∴當(dāng)k＝4或k＝5時(shí)，C最大，即C9最大， ∴從底層到頂層停不少于3次的概率為， 停4次或5次的概率最大． 通過(guò)上面的詳實(shí)分析和準(zhǔn)確數(shù)據(jù)，我們發(fā)現(xiàn)由于電梯至少停三次的概率較大，而且停4次或5次的可能性最大，因?yàn)槊看坞娞萃Ｏ聛?lái)開(kāi)門(mén)、關(guān)門(mén)等都要耽誤一定的時(shí)間，累計(jì)起來(lái)耽誤的時(shí)間卻是不少，所以小明的觀念還是有一定的道理的． 生活中像這樣的現(xiàn)象很多，表面上看起來(lái)都與概率無(wú)關(guān)，但是對(duì)于“數(shù)學(xué)人”來(lái)說(shuō)，生活中的概率無(wú)處不在，關(guān)鍵就在于要善于將這些現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為概率模型，通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)進(jìn)行定性和定量分析，達(dá)到“以理服人”的效果. 8　生活中的概率問(wèn)題 在日益發(fā)展的信息社會(huì)中，即使一般的勞動(dòng)者，也必須具備基本的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力以及應(yīng)用數(shù)學(xué)思想去觀察和分析工作、生活乃至從事經(jīng)濟(jì)、政治活動(dòng)的能力．在存款、利息、投資、保險(xiǎn)、成本、利潤(rùn)、彩票等中，我們常遇見(jiàn)一些概率問(wèn)題．下面就我們現(xiàn)實(shí)生活中常見(jiàn)的一些概率問(wèn)題進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的分析： 1．誰(shuí)先誰(shuí)后的問(wèn)題 單位有六臺(tái)舊麻將機(jī)將處理給單位員工，定價(jià)300元一臺(tái)．結(jié)果有12位希望買(mǎi)一臺(tái)．于是單位領(lǐng)導(dǎo)就寫(xiě)了十二張小紙條，其中有六張寫(xiě)著“恭喜購(gòu)買(mǎi)成功”，另六張寫(xiě)著“謝謝你的配合，你購(gòu)買(mǎi)不成功！”．再把紙條折好．然后叫十二位員工按先后順序來(lái)抓．請(qǐng)問(wèn)：這十二位員工抽中的概率是一樣的嗎？也就是說(shuō)這種方法公平嗎？最后一位員工是不是最劃不來(lái)？ 顯然，對(duì)于第一個(gè)抓紙條的人來(lái)說(shuō)，他從12張紙條中選一張，抽到“恭喜購(gòu)買(mǎi)成功”的概率為.對(duì)于第二個(gè)抓紙條的人來(lái)說(shuō)，可以分兩種情況考慮：①第一個(gè)人抽中，他抽中的概率，②第一個(gè)人沒(méi)有抽中，他抽中的概率，這兩種情況是等概率事件，所以不管第一個(gè)人抽中還是沒(méi)抽中，不影響第二個(gè)人抽中的概率．同樣對(duì)于第三個(gè)人來(lái)說(shuō)，他抽中的概率可以分成四種情況考慮：①一中，二中，他抽中的概率，②一中，二不中，他抽中的概率，③一不中，二中，他抽中的概率，④一不中，二不中，他抽中的概率，這四種情況是等概率事件，所以也不影響第三個(gè)人抽中的概率．由此可以類(lèi)推，第四個(gè)人，第五個(gè)人等，抽中的概率都不受影響，所以這種方法是公平的，哪個(gè)人先抽，哪個(gè)人后抽，對(duì)個(gè)人來(lái)說(shuō)，沒(méi)有影響． 2．性別問(wèn)題 你隔壁剛剛搬來(lái)了新的鄰居，透過(guò)墻壁，你可以清楚的聽(tīng)到有3個(gè)小孩的聲音，但是，因?yàn)檫@3個(gè)小孩，年齡都很小，所以你不確定他們是男是女． 1．基于好奇心，你決定到隔壁敲門(mén)，看看他們是男是女，這個(gè)時(shí)候，一個(gè)男孩出來(lái)開(kāi)門(mén)，請(qǐng)問(wèn)，這3個(gè)小孩都是男孩的概率是多少？ 2．當(dāng)然，你還是沒(méi)有足夠的訊息，確定所有3個(gè)小孩的性別．所以，你決定再找個(gè)理由，到隔壁敲了第二次門(mén)，很幸運(yùn)的是，這次來(lái)開(kāi)門(mén)的是另外的一個(gè)男孩，請(qǐng)問(wèn)，這3個(gè)小孩都是男孩的概率是多少？ 3．如果，你第三次去敲了隔壁鄰居的門(mén)，請(qǐng)問(wèn)，你可以百分之百確定這3個(gè)性別的概率是多少？ 對(duì)于這種問(wèn)題，我們?cè)谄綍r(shí)的言談中經(jīng)常會(huì)遇到，一下子接觸，感覺(jué)有點(diǎn)懵．其實(shí)這種問(wèn)題認(rèn)真分析的話也會(huì)感覺(jué)到其中的樂(lè)趣.1.一個(gè)男孩開(kāi)門(mén)，那么就會(huì)有兩個(gè)小孩不知道性別，有四種可能，所以全是男孩的概率為.2.第二次敲門(mén)，又有一個(gè)男孩開(kāi)門(mén)，就只有一個(gè)小孩不知道性別，有兩種可能，所以全是男孩的概率為.3.第三次敲門(mén)，三個(gè)小孩都有可能開(kāi)門(mén)，所以全是男孩的概率為.這種問(wèn)題其實(shí)和拋硬幣，擲骰子的問(wèn)題大致相同，只是情境不同． 3．玩撲克牌中的出牌問(wèn)題 在玩撲克牌中，我們經(jīng)常會(huì)懊悔出錯(cuò)了牌，一手好牌就此浪費(fèi)了．比如斗地主中，炸彈(四個(gè)相同的點(diǎn)數(shù)或雙王)，三帶一，連子，出現(xiàn)的概率很低，對(duì)子，單的概率很高，所以合理的安排出牌，勝利的次數(shù)就比較多．如果一個(gè)玩牌者經(jīng)過(guò)計(jì)算，認(rèn)定出牌A比出牌B獲勝的概率大，那么它會(huì)出牌A，盡管出牌A也有招致失敗的風(fēng)險(xiǎn)． 可見(jiàn)，在生活中，我們會(huì)遇到很多難題，當(dāng)我們從概率的角度進(jìn)行判斷，然后作出決策時(shí)，完全有可能犯錯(cuò)誤，不可能有絕對(duì)的把握正確．只是，我們總希望犯錯(cuò)誤的概率小一些，能夠使自己獲得最高的成功率．把握住事件出現(xiàn)的概率，我們就很容易的做出判斷解決問(wèn)題． 4．生日相同的問(wèn)題 如果一個(gè)班級(jí)有50位學(xué)生，那么其中至少有兩位學(xué)生生日相同的概率是多少？ 要直接計(jì)算50人中有至少2人生日相同比較困難．我們就先算出全部不同的概率．然后用1減去它就是至少有2人相同的概率了．我們可以這樣考慮：隨意找一位學(xué)生甲，他的生日可以是365(不考慮閏年)天中的任意一天，所以有365種可能，對(duì)于學(xué)生乙同樣有365種可能，所以50位學(xué)生生日的情況就有36550種生日不相同的情況，對(duì)于甲有365種可能，乙和甲不同就有364種，所以50位學(xué)生生日不同的情況有A種，所以生日不同的概率為，所以至少有兩位學(xué)生生日相同的概率為1－. 該問(wèn)題的概率較大，正說(shuō)明一些看似巧合的現(xiàn)象其實(shí)極為平凡，這也有助于我們破除迷信，樹(shù)立唯物主義的世界觀.