(通用版)2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題跟蹤檢測(cè)(十一)立體幾何中的向量方法 理(重點(diǎn)生含解析).doc
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專題跟蹤檢測(cè)(十一) 立體幾何中的向量方法1(2018全國(guó)卷)如圖,邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧所在平面垂直,M是上異于C,D的點(diǎn)(1)證明:平面AMD平面BMC;(2)當(dāng)三棱錐MABC體積最大時(shí),求平面MAB與平面MCD所成二面角的正弦值解:(1)證明:由題設(shè)知,平面CMD平面ABCD,交線為CD.因?yàn)锽CCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,所以BCDM.因?yàn)镸為上異于C,D的點(diǎn),且DC為直徑,所以DMCM.又BCCMC,所以DM平面BMC.因?yàn)镈M平面AMD,所以平面AMD平面BMC.(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.當(dāng)三棱錐MABC的體積最大時(shí),M為的中點(diǎn)由題設(shè)得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1),(2,1,1),(0,2,0),(2,0,0),設(shè)n(x,y,z)是平面MAB的法向量,則即可取n(1,0,2),又是平面MCD的一個(gè)法向量,所以cosn,sinn,.所以平面MAB與平面MCD所成二面角的正弦值是.2.(2018唐山模擬)如圖,在四棱錐PABCD中,PC底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,ABAD,ABCD,AB2AD2CD,E是PB的中點(diǎn)(1)求證:平面EAC平面PBC;(2)若二面角PACE的余弦值為,求直線PA與平面EAC所成角的正弦值解:(1)證明:因?yàn)镻C平面ABCD,AC平面ABCD,所以ACPC.因?yàn)锳B2AD2CD,所以ACBCADCD,所以AC2BC2AB2,故ACBC.又BCPCC,所以AC平面PBC.因?yàn)锳C平面EAC,所以平面EAC平面PBC.(2)如圖,以C為坐標(biāo)原點(diǎn), , 的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,并設(shè)CB2,CP2a(a0)則C(0,0,0),A(0,2,0),B(2,0,0),P(0,0,2a),則E(1,0,a),(0,2,0),(0,0,2a), (1,0,a),易知m(1,0,0)為平面PAC的一個(gè)法向量設(shè)n(x,y,z)為平面EAC的法向量,則即取xa,則z1,n(a,0,1)依題意,|cosm,n|,解得a.于是n(,0,1),(0,2,2)設(shè)直線PA與平面EAC所成角為,則sin |cos,n|.即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為.3(2018西安質(zhì)檢)如圖,四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形,ACBDO,A1O底面ABCD,AB2,AA13.(1)證明:平面A1CO平面BB1D1D;(2)若BAD60,求二面角BOB1C的余弦值解:(1)證明:A1O平面ABCD,BD平面ABCD.A1OBD.四邊形ABCD是菱形,COBD.A1OCOO,BD平面A1CO.BD平面BB1D1D,平面A1CO平面BB1D1D.(2)A1O平面ABCD,COBD,OB,OC,OA1兩兩垂直,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)B2,AA13,BAD60,OBOD1,OAOC,OA1.則O(0,0,0),B(1,0,0),C(0,0),A(0,0),A1(0,0,),(1,0,0),(0,),(1,),(0,0)設(shè)平面OBB1的法向量為n(x1,y1,z1),則即令y1,得n(0,1)是平面OBB1的一個(gè)法向量設(shè)平面OCB1的法向量m(x2,y2,z2),則即令z21,得m(,0,1)為平面OCB1的一個(gè)法向量,cosn,m,由圖可知二面角BOB1C是銳二面角,二面角BOB1C的余弦值為.4(2018長(zhǎng)春質(zhì)檢)如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD為菱形,PA平面ABCD,E為PD的中點(diǎn)(1)證明:PB平面ACE;(2)設(shè)PA1,ABC60,三棱錐EACD的體積為,求二面角DAEC的余弦值解:(1)證明:連接BD交AC于點(diǎn)O,連接OE.在PBD中,PEDE,BODO,所以PBOE.又PB平面ACE,OE平面ACE,所以PB平面ACE.(2)由題易知VPABCD2VPACD4VEACD,設(shè)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a,則VPABCDSABCDPA1,解得a.取BC的中點(diǎn)為M,連接AM,則AMAD.以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),E,C,設(shè)n1(x,y,z)為平面AEC的法向量,則即取x1,則n1(1,3)為平面AEC的一個(gè)法向量又易知平面AED的一個(gè)法向量為n2(1,0,0),所以cosn1,n2,由圖易知二面角DAEC為銳二面角,所以二面角DAEC的余弦值為.5.(2018鄭州質(zhì)檢)如圖,在三棱錐PABC中,平面PAB平面ABC,AB6,BC2,AC2,D,E分別為線段AB,BC上的點(diǎn),且AD2DB,CE2EB,PDAC.(1)求證:PD平面ABC;(2)若直線PA與平面ABC所成的角為45,求平面PAC與平面PDE所成銳二面角的大小解:(1)證明:AC2,BC2,AB6,AC2BC2AB2,ACB90,cosABC.易知BD2,CD222(2)2222cosABC8,CD2,易知AD4,CD2AD2AC2,CDAB.平面PAB平面ABC,平面PAB平面ABCAB,CD平面PAB,CDPD,PDAC,ACCDC,PD平面ABC.(2)由(1)知PD,CD,AB兩兩互相垂直,可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,直線PA與平面ABC所成的角為45,即PAD45,PDAD4,則A(0,4,0),C(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,4),(2,2,0),(2,4,0),(0,4,4)AD2DB,CE2EB,DEAC.由(1)知ACBC,DEBC,又PD平面ABC,PDBC,PDDED,CB平面PDE,(2,2,0)為平面PDE的一個(gè)法向量設(shè)平面PAC的法向量為n(x,y,z),則令z1,得x,y1,n(,1,1)為平面PAC的一個(gè)法向量cosn,平面PAC與平面PDE所成的銳二面角的余弦值為,故平面PAC與平面PDE所成的銳二面角為30.6(2019屆高三洛陽聯(lián)考)如圖1,在直角梯形ABCD中,ADBC,ABBC,BDDC,點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn),將ABD沿BD折起,使平面ABD平面BCD,連接AE,AC,DE,得到如圖2所示的幾何體(1)求證:AB平面ADC;(2)若AD1,二面角CABD的平面角的正切值為,求二面角BADE的余弦值解:(1)證明:因?yàn)槠矫鍭BD平面BCD,平面ABD平面BCDBD,BDDC,所以DC平面ABD.因?yàn)锳B平面ABD,所以DCAB.又因?yàn)锳DAB,DCADD,所以AB平面ADC.(2)由(1)知AB平面ADC,所以二面角CABD的平面角為CAD.又DC平面ABD,AD平面ABD,所以DCAD.依題意tanCAD.因?yàn)锳D1,所以CD.設(shè)ABx(x0),則BD.依題意ABDDCB,所以,即.解得x,故AB,BD,BC3.法一:以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DB,DC所在直線為x軸,y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則D(0,0,0),B(,0,0),C(0,0),E,A,所以,.由(1)知平面BAD的一個(gè)法向量n(0,1,0)設(shè)平面ADE的法向量為m(x,y,z),則即令x,得y1,z1,所以m(,1,1)為平面ADE的一個(gè)法向量所以cosn,m.由圖可知二面角BADE的平面角為銳角,所以二面角BADE的余弦值為.法二:因?yàn)镈C平面ABD,所以過點(diǎn)E作EFDC交BD于F,則EF平面ABD.因?yàn)锳D平面ABD,所以EFAD.過點(diǎn)F作FGAD于G,連接GE,所以AD平面EFG,因此ADGE,所以二面角BADE的平面角為EGF.由平面幾何的知識(shí)求得EFCD,F(xiàn)GAB,所以EG,所以cosEGF.所以二面角BADE的余弦值為.7.如圖,在四棱錐PABCD中,側(cè)面PAD底面ABCD,底面ABCD是平行四邊形,ABC45,ADAP2,ABDP2,E為CD的中點(diǎn),點(diǎn)F在線段PB上(1)求證:ADPC;(2)試確定點(diǎn)F的位置,使得直線EF與平面PDC所成的角和直線EF與平面ABCD所成的角相等解:(1)證明:連接AC,因?yàn)锳B2,BC2,ABC45,由余弦定理得,AC2AB2BC22ABBCcos 454,得AC2,所以AC2BC2AB2,所以ACB90,即BCAC.又ADBC,所以ADAC,因?yàn)锳DAP2,DP2,所以AD2AP2DP2,所以PAD90,即PAAD,又APACA,所以AD平面PAC.又PC平面PAC,所以ADPC.(2)因?yàn)閭?cè)面PAD底面ABCD,側(cè)面PAD底面ABCDAD,PAAD,所以PA底面ABCD,所以直線AC,AD,AP兩兩互相垂直,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),直線AD,AC,AP分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),E(1,1,0),P(0,0,2),所以(0,2,2),(2,0,2),(2,2,2)設(shè)(0,1),則(2,2,2),F(xiàn)(2,2,22),所以(21,21,22),易得平面ABCD的一個(gè)法向量為m(0,0,1)設(shè)平面PDC的法向量為n(x,y,z),則即令x1,得n(1,1,1)因?yàn)橹本€EF與平面PDC所成的角和直線EF與平面ABCD所成的角相等,所以|cos,m|cos,n|,即,所以|22|,即|1|(0,1),解得,所以.即當(dāng)時(shí),直線EF與平面PDC所成的角和直線EF與平面ABCD所成的角相等8. 如圖,C是以AB為直徑的圓O上異于A,B的點(diǎn),平面PAC平面ABC,PAPCAC2,BC4,E,F(xiàn)分別是PC,PB的中點(diǎn),記平面AEF與平面ABC的交線為直線l.(1)證明:直線l平面PAC;(2)在直線l上是否存在點(diǎn)Q,使直線PQ分別與平面AEF,直線EF所成的角互余?若存在,求出AQ的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說明理由解:(1)證明:E,F(xiàn)分別是PC,PB的中點(diǎn),BCEF,又EF平面EFA,BC平面EFA,BC平面EFA,又BC平面ABC,平面EFA平面ABCl,BCl,又BCAC,平面PAC平面ABCAC,平面PAC平面ABC,BC平面PAC,l平面PAC.(2)以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CA為x軸,CB為y軸,過C垂直于平面ABC的直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,4,0),P(1,0,),E,F(xiàn).,(0,2,0),設(shè)Q(2,y,0),平面AEF的一個(gè)法向量為m(x,y,z),則即取z,得m(1,0,)又(1,y,),|cos,|,|cos,m|,依題意,得|cos,|cos,m,y1.直線l上存在點(diǎn)Q,使直線PQ分別與平面AEF,直線EF所成的角互余,AQ的長(zhǎng)為1.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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